中科大史济怀数学分析课件 171-173.pdf

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1、 308第 17 章 曲线积分 第 17 章 曲线积分 本章讲述第一型曲线积分(相当于一重积分的直接推广)、第二型曲线积分(数学和物理上的用途甚多)和第二型曲线积分与二重积分的关系Green 公式(相当于二维 Newton-Leibniz 公式).17.1 第一型曲线积分17.1 第一型曲线积分 弧长函数 弧长函数 设()()tt 是3中的一条可求长曲线.,t ,令,()(|)ts ts为部分曲线,|t的长度,则称()s t是可求长曲线的弧长函数.定义 17.1定义 17.1 设()()tt 是3中的一条可求长曲线,()s t是其弧长函数,f是(,)上的函数,1,:1kkttkn是,的分 割.

2、若不论如何分法,1,kkktt如何取法,总存在有限极限 101lim()()()nkkkkfs ts t,则称该极限为函数f在曲线上的第一型曲线积分(或对弧长的曲线积分),记成(,)f x y z ds.其物理意义是“具有非均匀线密度的曲线 的质量”.注记 17.注记 17.1 第一型曲线积分与曲线的参数表示和方向无关.注记 17.注记 17.1 当可求长曲线的弧长函数严格递增时,该曲线具有自然参数表示.显然,自然参数表示下的第一型曲线积分就是普通的一重积分.定理 17.1定理 17.1 设()()tt 是3中的一条光滑曲线,f是(,)上的连续函数,则(,)()()f x y z dsfttd

3、t.证:证:因为光滑曲线具有自然参数表示,而自然参数表示下的第一型曲线积分就是普通的一重积分,故(,)f x y z ds存在.由积分中值定理,309存在1,kkktt使得111()()()()()kktkkkkkts ts ttdttt,故 101(,)lim()()()nkkkkf x y z dsfs ts t 101lim()()()nkkkkkftt ()()fttdt.推论推论 ,a b上的1C函数()yx能确定平面1C曲线()(,()xxx()axb.若函数(,)f x y在(,)a b上连续,则 2(,)(,()1()baf x y dsf xxxdx.求弧长元素的方法 求弧长

4、元素的方法 平面曲线(,)0f x y 的弧长元素为 22ffxyfydx或 22ffxyfxdy；空间曲线(,)0(,)0F x y zG x y z的切向量之一为123,det,FFFxyzGGGxyze ee 123(,),其弧长元素为1dx或2dy或3dz.证:证:设曲线(,)0f x y 的参数表示为(,()x y x,则/ffxyy,故其弧 长元素为 2221()ffxyfyydxdx.设曲线(,)0(,)0F x y zG x y z的参数表示为(,(),()x y x z x,则(1,)y z 与 123(,)平行,3211(1,)(1,)y z ,故其弧长元素为221()()

5、yzdx 22212311dxdx.例 1(利用对称性)例 1(利用对称性)求xyds,其中 为球2222xyza与平面0 xyz的交线.解:解:22221136()()()xydsyzzxxy dsxyzxyzds 2231116662adsaaa .练习题 17.1(练习题 17.1(262P)1(1,2,4,5),2,3.31017.2 第二型曲线积分17.2 第二型曲线积分 术语 术语 设3V是非空点集,称V上的函数(,)f x y z为V上的数量场；称V上的向量值函数(,)(,),(,),(,)F x y zP x y z Q x y z R x y z为V上的向量场.定义 17.2

6、定义 17.2 设()(),(),()()tx ty t z tt 是3中的一条可求长曲线,(,),(,),(,)(,)P x y z Q x y z R x y zF x y z是(,)上的向量场,1,:1kkttkn 是,的分割.若不论如何分法,1,kkktt 如何取法,总存在有限极限 101lim()()()nkkkkFtt,则称该极限为F在曲线上的第二型曲线积分(或沿曲线的环量),记成(,)F x y zd或(,)(,)(,)P x y z dxQ x y z dy R x y z dz.其物理意义是“非均匀力场对沿曲线运动的质点所做的功”.注记17.注记17.2 第二型曲线积分与曲线

7、的参数表示无关,但与方向有关,即(,)(,)F x y zdF x y zd.术语 术语 若()()tt 是3中的光滑曲线,则称()t dt为光滑曲线在()t处的有向弧长元素.记()t为在()t处与方向一致的单位切向量,显然有()()()t dtttdt.定理 17.2 定理 17.2 设()()tt 是3中的光滑曲线,(,)F x y z是(,)上的连续向量场,则(,)()()F x y zdFtt dt.证:证:设1,:1kkttkn 是,的分割,1,kkktt,则有 ()()()()()kkkkkkktto t ,111()()()()()kkkkkkktto t ,311故 111()

8、()()()()kkkkkkktttto tt.于是 101lim()()()nkkkkftt 101lim()()()(1(1)nkkkkkftto ()()Ftt dt.函数的零重积分函数的零重积分 对于n中的点a,规定它有两个方向；若n元函数 f的定义域包含a,则规定f在a点正向的积分()aff a,在a点负向的积分()aff a.Newton-Leibniz 公式的另一表述Newton-Leibniz 公式的另一表述 对于中的有向线段,Ia b,规 定其诱导边界为,Ib a.于是,若f是I上的1C函数,则 IIfdf.推广的 Newton-Leibniz 公式 推广的 Newton-L

9、eibniz 公式 设()(),(),()()tx ty t z tt 是3中的光滑曲线,规定其诱导边界为(),().若f是(,)的邻域上的1C函数,则 fdf.其中df理解为第二型曲线积分fffxyzdxdydzgradf d.证:证:()()()fffdft ()()()()()()fffxyztx tty ttz tdt ()()gradftt dtdf.例 1例 1 求xydx,其中曲线如下图所示.解:解:110001 0 xydxt dtt dt 0.312例 2例 2 求xdxydyzdz和zdxxdyydz,其中曲线是球2x 222yza与平面0 xyz的交线；从第一卦限看,的方

10、向是逆时针的.解:解:在(,)x y z处与方向一致的单位切向量为 123(,)(1,1,1)11333,det 1,1,1(,),x y zaaae e ezy xz yxx y z ,故 ,0 xdxydyzdzx y zds.,zdxxdyydzz x yds 22213()()axyzyzzxxy ds 2222()()222123()x y zxyzaxyzds 2332223aadsaa.例 3 例 3 求12xdyydx,是平面上以逆时针为正向的圆周(0)aB.解:解:的参数表示为()(cos,sin)(02)tat att,故 22222211220cossinxdyydxat

11、at dta.练习题 17.2(练习题 17.2(267P)2(1,2,5),3,4(2),6,8,9,10.31317.3 Green 公式17.3 Green 公式 平面区域的诱导边界 平面区域的诱导边界 设2D是有界闭区域,其边界由有限条光滑的简单曲线所组成,则规定D的诱导边界 D为这有限条光滑的简单曲线,并按下述方式确定其正向当直立的旅行者沿这有限条光滑的简单曲线的正向行走时,其左手总是指向D的内部.定理 17.3(Green 公式相当于二元函数的 Newton-Leibniz 公式)定理 17.3(Green 公式相当于二元函数的 Newton-Leibniz 公式)设2D是有界闭区

12、域,其边界由有限条光滑的简单曲线所组成,D是其诱导边界,(,)(,),(,)F x yP x y Q x y是D上的1C(也称连 续可微)向量场,则 (,)(,)(,)(,)QPxyDDP x y dxQ x y dyx yx ydxdy.证:证:只需证明PyDDdxdyPdx即可.将D分割成有限个小闭区域:1iDik,其中iD 如下图所示.由于第二型曲线积分的往复抵消作用,只需证iiPyDDdxdyPdx即 可.一方面,()()ibxPPyyDaxdxdydy dx (,()(,()baP xxP xxdx.另一方面,1234iDPdxPdxPdxPdxPdx(,()(,()bbaaP xx

13、 dxP xx dx.314例 1 例 1 设D与定理 17.3 相同,则12()DDxdyydx.解:解:11221(1)()DDydxxdydxdyD.例2 例2 求22xdy ydxxy,其中如下图所示.解:解:222222(0)ydx xdyydx xdyydx xdyxyxyxyBD 2222()()yxxyxyxyDdxdy 22222222 222 2()2()2()()xyxxyyxyxyDdxdy 00Ddxdy,故 2222(0)xdy ydxydx xdyxyxyB 21(0)Bydxxdy 2222.练习题 17.3(练习题 17.3(273P)1(3),2(1),3,4,5,6,7.