中科大史济怀数学分析课件 107-108.pdf

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1、 19110.10.*7 幂级数在组合数学中的应用 幂级数在组合数学中的应用 定义 10.3 定义 10.3 称幂级数0nnna x的和函数()S x为数列na的母函数或生 成函数.例如,函数(1)(1)xx是数列nC的母函数.例 1 例 1 0,nkn knkC CC .作为推论,有220()()nknnnkCCn.解:解:0(1)(1)(1)nnnCxxxx 0000()()()nkkkkkn knkknkC xC xC Cx,1x.例 2例 2 110,npqp qp kq n kp q nkCCCp q .作为推论,有110(0)nppp kp nkCCq.解:解:(1)(1)000(

2、1)()pkkkkpkpp kp kkkkxCxCxCx；(1)0(1)qqkq kkxCx；1(1 1)(1)(1)10(1)(1)(1)p qnp qpqp qnnCxxxx 0000()()()npkqkpqnp kq kp kq n kkknkCxCxCCx ,1x.例 3例 3 01121,(2)nnnaaaaan.求出na的通项公式(Fibonacci 数).解:解:设0()nnnS xa x,则21212(),()nnnnnnxS xaxx S xax,故 2122()(1)1()1nnnnnS xxxxxaaax,21()1S xxx.于是,5 15 15 15 1222211

3、11()()()5S xxxxx 5 15 100221212551551nnnnxx 192151522001 151 15()()2255nnnnnnxx 1115152201()()5nnnnx.故 111515221()()5nnna.例 4例 4 2 1115152201()()5nknnn kkC(Fibonacci 数),n.解:解:记2 0nknn kkaC.当2 1nk 时有0kn kC；当2n 时有2 1nn,故 11111011()nnkkknn knknkkkaCCC 11112(1)1201nnkknknknnkkCCaa .再注意到011aa,便得到结论.19310

4、.8 从两个著名的例子谈起 10.8 从两个著名的例子谈起 例 1(Vander Waerden 1930 年作出,最早的例子由 Weierstrass 1875年作出)例 1(Vander Waerden 1930 年作出,最早的例子由 Weierstrass 1875年作出)存在上处处连续但处处不可微的函数.如图所示,设0()ux是上以 1 为周期的连续“分段线性”偶函数,01(),02uxxx.k,称1,22k k 为0()ux的“线性区间”.令 *01()(4),4nnnuxuxn.则易知 (1)()nux是以14n为周期的连续“分段线性”偶函数；(2)()nux的“线性区间”的长度为

5、1 12 4n,()nux的每个“线性区间”完全包含在1()nux的某个“线性区间”之内；(3)当,()x y xy位于()nux的同一个“线性区间”时,必有()()1nnuxuyxy.0()()nnS xu x显然在上一致收敛,故是上的连续函数.x,只要能找到数列 nxx 收敛于x,使得()()limnnnS xS xxx不存在,这就说明()S x在上处处不可微.,nx 必位于()nux的某个长度为1 12 4n的“线性区间”中,在这 194个“线性区间”中可取到nx使得114nnxx,故limnnxx.当0kn 时,nx和x都位于()kux的同一个“线性区间”中；当kn时,因为()kux的

6、周期是14k,114n是14k的整数倍,故()()knkuxux.于是,00()()()()()()nnknkknkkknnnS xS xuxuxuxuxxxxxxx 0(1)nknn偶数，为奇数；奇数，为偶数.这说明()()limnnnS xS xxx不存在.例 2(Schoenberg 1938 年作出,最早的例子由 Peano 1890 年作出)例 2(Schoenberg 1938 年作出,最早的例子由 Peano 1890 年作出)存在填满正方形的曲线.如图所示，设()t是上以 2 为周期的连续“分段线性”偶函数,131233230,0;()31,;1,1.ttttt 令 22211

7、1(3)(3)(),()22nnnnnnttx ty t,则()x t和()y t都是上的连续 函数.下面证明曲线()(),()(01)tx ty tt 能填满正方形0,1 0,1,即(,)0,1 0,1a b,能找到0,1c使得(),()x ca y cb.设11,22nnnnnnabab,其中,nnab为0或 1(即用 2 进制表示).将 1a,1b,2a,2b,记为1c,2c,3c,4c,再令123nnncc,则0,1c.可断言1(3),kkcck.这是因为当1k 时,有 1951123232233kkk nknnn knn kcccc 1122,033kkkcmm.故 11110,0;(3)(2)1,13kkkkkkccccc.当0k 时,有 01100213222,03333nnncccc.故 1010110,0;(3)(2)1,13ccccc.由断言,2221111(3)()222nnnnnnnnncacx ca,212111(3)()222nnnnnnnnncbcy cb.注记 注记 这里的病态函数和病态曲线是“分形几何”中“分形集”的典型例子.