中科大史济怀数学分析课件 71-72.pdf

《中科大史济怀数学分析课件 71-72.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中科大史济怀数学分析课件 71-72.pdf（7页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 118第 7 章 函数的积分 第 7 章 函数的积分 7.1 积分的概念 7.1 积分的概念 几何背景 几何背景 设0f是有限闭区间,a b上的连续函数,由,0 x a x b y 和()yf x所围成的曲边梯形的面积S存在,如何计算S?解:解:(1)将,a b分割成n个小闭区间1,:1,2,kkkIxxkn,其中012naxxxxb,记11max()kkk nxx；(2)对每个小闭区间1,kkxx,任取1,kkkxx,建立和式 11()()nkkkkfxx,则 111111min()()()()max()()nnnkkkkkkkkkkkkf IxxSfxxf Ixx,；(3)0,0 ,成立

2、 max()min()kkf If Ib a,1,2,kn.于是,11()()nkkkkfxxS11max()min()()nkkkkkf If Ixx.这说明,101lim()()nkkkkfxxS.物理背景 1 物理背景 1 设质点在直线上以速度()v t运动,如何计算在时刻a到时刻b这段时间内该质点的位移L?解:解:(1)将时间段,a b分割成n个小时间段1,:1,2,kkkIttkn,其中012nattttb,记11max()kkk ntt；(2)对每个小时间段1,kktt,任取1,kkktt,建立和式 11()()nkkkkvtt,则 111111min()()()()max()()

3、nnnkkkkkkkkkkkkv IttLvttv Itt,；119(3)因为()v t是,a b上的连续函数,故0,0 ,成立max()min()kkv Iv Ib a,1,2,kn.于是,11()()nkkkkvttL11max()min()()nkkkkkv Iv Itt.这说明,101lim()()nkkkkvttL.物理背景 2 物理背景 2 设质点在力()F x的作用下从直线上的a处移动到b处,则也可用类似的方法计算力()F x对该质点所做的功.物理背景 3 物理背景 3 对于一根以()x为电荷密度的细直棒,也可用类似的方法计算该细直棒所带的总电量.定义 7.1 定义 7.1 设f

4、是有限闭区间,a b上的函数.(1)将,a b分割成n个小闭区间1,:1,2,kkxxkn,其中012naxxxxb,称11max()kkk nxx 为,a b的分割的模；(2)对 每 个 小 闭 区 间1,kkxx,任 取1,kkkxx,建 立 和 式11()()nkkkkfxx；(3)如果不论如何分法,1,kkkxx如何取法,总存在有限极限101lim()()nkkkkfxxI,则称f在,a b上(Riemann)可积,并称有限极限I为f在,a b上的(定)积分,记作()baf x dx.(称a为积分下限,b为积分上限,()f x为被积函数,()f x dx为被积表达式)命题(定积分的基本

5、性质)命题(定积分的基本性质)若函数,f g在有限闭区间,a b上可积,c 是常数,则 120(1)()bacdxc ba；(2)fg在,a b上成立()()bbaaf x dxg x dx；(3)fg也在,a b上可积,并且()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx；(线性性质)(4)()()bbaaf x dxf t dt.(定积分与积分变量无关)定理7.1(Newton-Leibniz公式)定理7.1(Newton-Leibniz公式)若,a b上的连续函数f有原函数F,则f在,a b上可积,并且()()|()()bbaaf x dxF xF bF a.直观证

6、明:直观证明:如图所示,以()G x表示阴影部分的面积,则 0()()lim()hG xhG xf xh.这说明G是f在,a b上的一个原函数,故()(),F xG xcxa b.于是,()()()()()()baf x dxG bG bG aF bF a.严格证明:严格证明:设1,:1,2,kkxxkn是,a b的分割,其中0ax 1x2nxxb.由 Lagrange 中值定理,可取1(,)kkktxx使得 11()()()()kkkkkF xF xf txx,1,2,kn.故 1111()()()()nnkkkkkkkf txxF xF x()()F bF a.0,0,1,kkkxx都成立

7、()()kkff tb a,1,2,kn.于是,11()()()()nkkkkfxxF bF a 1111()()()()nnkkkkkkkkfxxf txx 1111()()()()nnkkkkkkkkff txxxxba.121即 101()lim()()()()nbkkkakf x dxfxxF bF a.注记 7.注记 7.1 以后会看到,a b上的连续函数一定是可积函数；任意区间上的连续函数一定有原函数.定理 7.1 的推广(Newton-Leibniz 公式)定理 7.1 的推广(Newton-Leibniz 公式)若,a b上的可积函数f有原函数,F则 ()()|()()bbaa

8、f x dxF xF bF a.证:证:设1,:1,2,kkxxkn是,a b的分割,其中01axx 2nxxb.由 Lagrange 中值定理,可取1(,)kkktxx使得 11()()()()kkkkkF xF xf txx,1,2,kn.故 1111()()()()nnkkkkkkkf txxF xF x()()F bF a.于是,101()lim()()()()nbkkkakf x dxf txxF bF a.练习题 7.1(练习题 7.1(258P)1(1),3,4(2),5,6(1,2),7(2,5),8.问题 7.1(问题 7.1(260P)1.1227.2 可积函数的性质 7.

9、2 可积函数的性质 定理 7.2(可积的必要条件)定理 7.2(可积的必要条件)若函数f在有限闭区间,a b上可积,则它必在,a b上有界.证:证:(反证法)假定f在,a b上可积,但f在,a b上无界,不妨设f在,a b上无上界.对于,a b的任意分割1,:1,2,kkxxkn,f必在某个小闭区间001,kkxx上无上界,故只要让k10,()kkxxkk固定,让0001,kkkxx变化使得0()kf足够大,便能得到 111()()nkkkkfxx.这说明不可能存在有限极限101lim()()nkkkkfxx,从而与f在,a b上可积相矛盾.定理 7.3(积分区间的可加性)定理 7.3(积分区

10、间的可加性)设f是有限闭区间,a b上的函数,c(,)a b.若f分别在,a c和,c b上可积,则f必在,a b上可积；反之,若f在,a b上可积,则f必在,a c和,c b上可积,此时有 ()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx.证:证:有关可积性的结论易由7.6的Lebesgue定理得到.对于,a b的分割,其分点为0101mna xxxc yyyb ,任取1,kkkxx(1,2,)km,1,kkkyy(1,2,)kn,相应于分割的和式便为 1111()()()()mnkkkkkkkkfxxfyy,故 11011()lim()()()()mnbkkkkkkakkf x

11、 dxfxxfyy ()()cbacf x dxf x dx.123约定 约定 对于,a b上的可积函数f,约定 (1)()()abbaf x dxf x dx；(2)()0aaf x dx.于是,a b ,总成立()()()f x dxf x dxf x dx.定理 7.4定理 7.4 设f是有限闭区间,a b上的非负连续函数,那么(1)0f()0baf x dx；(2)0f()0baf x dx.证:证:因为(1)和(2)是同一个结论,故只需证(1).“”.假定0,xa b使得0()0f x,则存在0,a bx ,使得,x 成立00011()()(),()()22f xf xf xf xf

12、 x,故()()()()bbaaf x dxf x dxf x dxf x dx 00110()0()()022f x dxf x.“”.显然.定理 7.5(第一积分中值定理)定理 7.5(第一积分中值定理)设函数,f g在有限闭区间,a b上连续.若g在,a b上不改变符号,则必存在(,)a b使得 ()()()()bbaaf x g x dxfg x dx.作为推论,必存在(,)a b使得 ()()()baf x dxfba.证:证:不妨设0,0gg,故()0bag x dx.记min(,),max(,)mf a bMf a b,则当,xa b时有 ()mf xM,1()()()()()(

13、)()bbbaaamMg xf x g xg xg x dxg x dxg x dx,1241()()()bbaamf x g x dxMg x dx.当1()()()bbaamf x g x dxMg x dx时,由连续函数的介值定理知,(,)a b使得1()()()()bbaaff x g x dxg x dx.当()1()()babag x dxf x g x dx m(或M)时,()1()()babag x dxf xm g x dx0,故f gmg(或f gMg)(定理 7.4).取 (,)a b使得()0g,故()fm(或()fM).注记 7.注记 7.5 当g在(,)a b上不取

14、零值时,第一积分中值定理可看作是Cauchy 中值定理；其推论可看作是 Lagrange 中值定理.证:证:令H是f g在,a b上的原函数,G是g在,a b上的原函数.由Cauchy 中值定理,(,)a b 使得()()()()()()H bH aHG bG aG()()()fgg()f,即()()()()bbaaf x g x dxfg x dx.令F是f在,a b上的原函数.由 Lagrange 中值定理,(,)a b 使得()()()F bF ab aF()f,即()()()baf x dxfba.第一积分中值定理推论的几何解释 第一积分中值定理推论的几何解释 见图示.练习题 7.2(练习题 7.2(263P)1,2,4(2),5,6,7,8,10.