中科大史济怀数学分析课件 125.pdf
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1、 22412.5 Fourier 积分和 Fourier 变换12.5 Fourier 积分和 Fourier 变换 背景背景 若()f x是(,)l l上绝对可积的可导函数,则(,)xl l ,有 01()(cossin)2nnnannf xaxbxll 111()()cos)cos2llllnnnf t dtf ttdtxllll 1()sin)sinllnnf ttdtxlll 111()()cos()2llllnnf t dtf ttx dtlll.考虑l 的情形.设()f x是上绝对可积的可导函数,则0l,(,)xl l,记 nnul,便有 1111()()()cos()()2lln
2、nnllnf xf t dtf tu tx dt uul 01()cos()()f tu tx dt dul.(未严格证明)或x,有 011()()cos)cos()sin)sinf xf tutdtuxf tutdtux du.Fourier 积分 Fourier 积分 设()f x是上的绝对可积函数,令 1()()cosa uf tutdt,1()()sinb uf tutdt 则称 0()cos()sina uuxb uux du 为函数()f x的 Fourier 积分,记为 0()()cos()sinf xa uuxb uux du.定理 12.16定理 12.16 若()f x是上
3、的绝对可积函数,则函数 1()()cosa uf tutdt 和 1()()sinb uf tutdt 都在(,)上一致连续.证:证:由含参变量积分的性质(第 20 章).225定理 12.17(Dirichlet 积分)定理 12.17(Dirichlet 积分)设()f x在上绝对可积,1()()cosa uf tutdt,1()()sinb uf tutdt,则 0()()cos()sinSxa uuxb uux du 01sin()()(0)tf xtf xtdtt.证:证:()cos()sina uuxb uux1()cos()f tu tx dt,故 0()()cos()sinSx
4、a uuxb uux du 01()cos()f tu tx du dt (含参变量积分的性质)1()sin()f ttx dttx 1()sin()f xssdsstxs 01sin()()(0)sf xsf xsdss.定理 12.18(局部化定理)定理 12.18(局部化定理)若()f x是上的绝对可积函数,则它的Fourier 积分在0 x 处的收敛性质由()f x在0 x附近的性质所唯一确定.证:证:设0是固定的常数.0,可取0M 足够大使得 001sin()()2Mtf xtf xtdtt;再取00,使得0成立 001sin()()2Mtf xtf xtdtt;(定理 12.1)于
5、是 00001sin()()()tSxf xtf xtdtt 001sin()()tf xtf xtdtt.定理12.19(Dini判别法)定理12.19(Dini判别法)设()f x是上的绝对可积函数,0,0 x.226若存在常数S使得00()()2()f xtf xtSg tt在(0,)上绝对可积,则()f x的 Fourier 积分在0 x处收敛到S.证:证:0()SxS0001sin()()2 tf xtf xtSdtt 0001()()2sinf xtf xtStdtt 001sin()()tf xtf xtdtt2sinStdtt 0().推论 12.1推论 12.19 若()f
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