用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型_张士玉.pdf

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1、1996年12月第)(l卷第4期总26期北巧叮联合大学 学报J。、ur,l al)f13。,j,rlgU,1.0:1IT;11、,。r、It)I)ec.1996V()l_l()N。)45日n 1N(、.26用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型张士玉(_比京联 含人、并电 子自动化工程学院,北京,1()0101)【摘要利 用统计学中的IJo gis l ic数理模型,经过适当改造后可 以建立起主要 钢种的淬透性曲线的数学模型,并且具有较高的拟合性,误 差较小。结 合此种方 法,通过少量的实测点就可以作出 一般钢种 的淬透性曲线。此种方法在实践上对于机械 零件热处理的自动化;在理论 上对探索钢的物

2、理冶金机理,可能具有较大 的意义。关键词数理统计;淬 透性;模 型分类号02 12:T F 7 0 12以往利 用末端淬火 法测 定钢的淬透性曲线时,需要许多试样,在 测 量 了大量数据 后方 可找出规律。如果有一种数学模型,能够配合少量的测量数据,较快地确 定钢的淬透性曲线,将节 省许多工作量。在利用淬透性曲线进 行材料选 择、确 定零件临界尺寸及内部 硬度等实 际 工作时,如果有数 学 公式可供利用,将使工作较为方便,并较 易实现工作的规范化和自动化。淬透性曲线的表现 形 式较为复杂,有人作过钢的回火硬度曲线模型,但没 发现有 文献记载过淬透性曲线的数 学 模型。笔者认 为有必要建立淬透性

3、曲线的数学模型,故 进行了此项 研 究。荷 兰 生物 学 家Ve rhus t l为研 究人口发展过程 于1 8 37年提 出了L og is tc i数 理 模 型 的 思 想,本文将此 建模思想 引入对上 述问题 的研 究,效果较好。1Logistie模型设自变量为z,因变量为y,夕随二的增 加 而 增 加,y的极限值记为a,称为饱和 量。假定夕随二的增长率等于k(1一贝二)/。),即增长率随贝二)的增 加而减少,当.a(:)。时,增 长率趋向于零,此时,y达到饱和值。不 防先假设贝二)连续,可微,则在z到z十z内,贝)z的增 长 量为y(z十二)一y(二)=k(l一y(二)/a)y(二)

4、z于 是,夕(动 满足微 分方程d夕/dz=k(1一夕(二)/a)y(二)(1)方程(1)是Bern ou l li方 程,可得通解ay二1.oK:1卞户U(月)0)(2)式(2)即为Lo gs i tiC模型。式()l是 式(2)的 一 阶导 数。式(2)的二 阶导 数为d“夕/d二“=KZy收稿日期:19 96一06一2 4北京联合大学学报9196年12月图ly随自变里:而变化的曲线dy/dza/2图2dy/d:随y而变化的 曲线(l一Zy/。)(1一y/。)。令dZy/dz“=0,则1一Zy/。=0,y=。2/。当y二a/2时曲线有拐点。显然,当zo c时ya,即y=a为曲线(2)的水平

5、渐近线。根据指 数的性质,可以定性地判 定曲线的形状。在 开始 时,即 当z值较小时,y的变化率较小,以后 加大,在达到a2/处 出现 拐 点,在接近a处又变小。通过分析和计算,可描述出y一t和dyd/二一y的曲线,见图1和 图 2 o,在研究淬透性 曲线时,把 自变量二视为距水冷端距离,记为二,把硬度HRC作为因变量y,记为H。由于H是 随二的增 加而下降,所以不 可 直接应 用式(2),而 要 稍 有变化。现把某钢种 的最高 硬度记 为Hn二x,最低 硬度记为H二n,建立公式H=Hn a l、+Hm、一。/(1十床K勺令 当二o c时,H一Hm、,解 出a=Hn a lx,得公 式H=月n

6、la、+Hm。一Hma x/(l+月e一K“)(3)令二=0时,H=Hm ax,得 召=(Hma x/Hm ln)一1,由数 学 原理 可知,公式(3)的负增量一dH/dx及负的二阶导数一d“H/d二2与公式(2)的一阶及二阶导数是相同的,因此其曲线的数学性质也是相同的。曲线在H=(Hma、+HZ n ln)2/处有拐点,硬度 曲线H从Hma x降到(HZ n a、十Hn l ln)2/,下降速度由零增 加 到 最快,在(Hm a、+Hm ln)/2处下降速度 由增 加变为 减少,在接近Hmn时,下降速 度趋零。曲线形态见图3。图3的H(二)曲线形 状与实 际的淬透性曲线及其它 一 些曲线在

7、形状上、特征 上是 很 吻合的。曲线的特征完 全 可以用金 属学的有关理论解释,在形状特点上也与金属转变时的形核率 曲线、转变的动力学曲线及 一 些扩散系数 曲线相似或相同。由此可以说明,利用L og ls t iC模型作为淬透性曲线或其它 一些金属学 问题 的数学模型,是 有充分理由的。2淬透性曲线模型的建立笔者曾不 止一次见过有文 献记载的有关用直线或二次曲线的回归方法建立钢的回火曲线方程,但一般都是分段建立方程,不 同的钢种形式 不 同,在理论上 和 实 践上都有其较大局限。所以最初 也是试图 用公式(3)建立回火方 程。下面是以4 5号钢为例所作的工作。4 5钢的Hma x确定为58,

8、Hon以退火 硬度为参考确定为16,月=(58/1 6)一1=2.6 25。由(3)式得4 5钢的回火方程形式 为H=74一58/(一+2.62 5e一K)表1为根据 4 5号钢的实测回火硬度计算的K值。由表1可明 显看出,K值不是常数,随温度t第10卷第4期张卜五:用数理统计方法建亿钢的淬透性 曲线模型增 加 而增 加,所以不妨 先 对K值与t作直 线回归分析。设:K=a+方z,求出K=8.95又10一4+1.01x10一st。考虑到实 用 场合,t1 00,所以近 似 认为:K二1.0 1X1 0一st,由此将方 程写 为:H二74一58/(l+2.62 5e一K,一)表1中列 出 了 由

9、此 二次方程计算的 一 系列Kl值。可以看出,Kl仍 然与t有关,但相关程度大为降低。作为一种处理方法,取K,的平均值,瓦二7.5 0 x1 0一“作为常数代入方程,以下 面这个方程计算4 5号钢回火的硬度值介绪沈侧恻翡卜一至水冷端距离二/m m介=7 4一58/(1+2.625e一75xo表1不同回火温度下“的实测值与K值温度“硬度HK(x10一3)K,(X10,1U C,J4,1工工J且n,n,56535l480.92 51.661.95453837687.3967.447343 047678.2617.654图3由公式(3)作出的淬透性曲线示意图表2为实 测值H与计算值育的对照。从表2中

10、看出,除620的一点外,其余 各点拟合程度很好。而62 0一 点 的误差,除了公式本 身的误差外,受测 量 误 差 影响极大。已知,当H二 拐)(4)、.尹、,夕声公 式(4)以拐 点为分界点,拐 点以上部分的曲线随二2而变化,拐 点以下部分的曲线随二而变化,以下 会验证,这样作与实际是 相 符合的。公式(4)中,Hma x为淬火后 所 能达到的最大平均硬 度,即 当二=0时的H值;Hn l ln为距 水冷端最远处,即二为最大时的平均 硬度;H为硬度HR C值;二为距水冷端距离,单位m m;夕=Hm二/Hn二。一l;x拐为在 拐点处,即当H=(Hma、十Hmln)2/时 的二值;K,二一n(月

11、+2)/二毅,K:=In(月+2)/二拐=二拐Kl。利用公式(4),只要做少量 的 实测 点,就可绘 出某钢种的淬透性曲线。首先在试样两端测 出Hma x和H二n,然 后关键的一 步是找 出拐 点 位置,即 硬 度 为(Hma、十Hm ln)2/处的位置二 拐。由于钢材的不均 匀性,常常要取平均值。在 作 图 中 发现,取平均 硬 度 为(Hma、+Hm ln)2/处 的位置作为二拐一般较为准 确,而 不是硬度定 为(H。、十Hn l ln)2/的平均 距离作为二拐。确 定 了拐点位置后,就可求出Kl与K:值,然 后代入 公式,计算出任意 点处的硬 度值。现以6 0S iZMn钢为例说明。先测

12、 得试 样 的Hm a、二6 2,Hm l。二犯,月=62/32一1=0.9 4,拐点位置为 1 3m m,此处 硬度为4 7,由此得到6 0S iZMn钢的淬透性曲线的数学模型 为62/(1+0.94e一,。0 638沈62/(1+0.94e,83王(x镇13)(二)13)l廿几一4Q一一H按此公式计算出的各点硬度值列成表4。表4由公式计算的6 0s iZMn钢淬透性试样各点的硬度值x/m m11131415171820212427303 6H6 1.661.258.554.35O.84 7.046.145.243.642.84l.440.83 9.037.63 6.534.8将表1的计算值

13、与实测淬透性曲线对比,见图12,可以看出拟 合性极 好,部分点误差极小 或重合,最大的误差小于5%。3对淬透性曲线模型的进一步验证按照前述方法,利用 公式(4)对几十种钢种建立淬透性曲线模型,与手册中的实 测 曲线相对第01卷第4期张月:川数理统 计方法建立钢的淬透性 曲线模型照,一般都相当 吻合或误差 很小(小干5%)。有时有 一点误差,笔者认 为与Hmln的确 定有 关。由于Hon缺少实验 数据,只能 用手 册中的 实测曲线的最低平均硬度再适 当 下降一点或用该钢的正火硬 度代替。经验证明,这 样做 虽然大体正确,但 仍有一 定误差。由于文章篇幅所限,此处只列出1 1种在 成分上 和曲线形

14、状上 较有代表性的钢种,表5为这n种钢淬透性曲线模型 的参数,图4至图巧绘 出了计算点与实 测 曲线的对照,图中圆点为计算点,实线曲线为机械工程手册(第3卷)中的淬透性曲线经 描拓 而成。表51 1种 钢淬透性曲线模型的参数钢种月。飞 a x月值拐点位置H拐x拐/门拐,x拐/m m0 0U n砚.4,内jOn,且,l勺,一3 54520Cr20CrMnTi4OCr50CrV A5 5SIMnMoVNb65MnC Cr1512G几N14A40CrNIMo2.3 301.7 102.00 01.88 02.22 00.9400.9101.00 01.60 00.3300.30432.539.03

15、0.031.038.04 7.048.04 7.045,03 5.05 3.010.51 l2 122.00.0916 00.0 64 700.0 328 00.00 6 9 20.0 10 0 00.00 2040.0013 00.00 9960.0106 00.001 9 20.001720.36 6 00.291 00.213 00.0 9 6 80.12000.04690.0 3710.10 5 00.11600.04030.0 379、lI6Q八伪,、,、OL曰,主,一11t.l,.1内、,、,J,4rJ.tU n7苦盯J UO八,12,一、曰0 0%、4斗亡、了66洲U乙门4了04

16、关于公式(4)的进一步探讨在 利 用公式(4)对钢 的 淬透性 曲线建立 了数学模型后,有必要 对这一 问题作进一步的探讨和研究,扩展更广 阔更实 用的用途,并在理论 上揭示 更深 层次的问题。笔者认为有如下三方面的工作值得 探讨:山-一去-,06121824303 6土翘屡03之侧豁2 00 l303 6至水冷端距离,/m m图435钢的淬透性曲线至水冷端距离x/mm图545钢的淬透性曲线26北京联合大学学报1996年12月沈侧写605 004032 0沈侧圈601218246033至水冷端距离二/m m至水冷端距离x/mm图6C04r钢淬透性曲线图74C0rINMo钢淬透性曲线65 0 0

17、04032 0丈侧图65 0 0040 2 03翔侧写061218243036601218246033至水冷端距离x/mm图82 0Cr钢淬透性曲线至水冷端距离x/mm图9OZcMrnTi钢淬透性曲线f、.)日65 0 04()勺j七侧黔沈侧豁川匕_二_一L-一一J沁一占J卜we一601218240336至水 冷端距离二/mm图0121c介N弘A钢淬透性曲线至水;令端距离r/m m图1 1“Mn钢淬透性曲线第01卷第4期张士 玉:用数理统计方法建立钢的淬透性曲线模型50卜nU4沈翘叫瞬沈侧粤_占.一一目.601218246033J .占-一月_-一山-一,一 一 一一一一 一J 一一61218

18、24303 6至水冷端距离二/mm图126051:Mn钢淬透性曲线至水冷端距离、汀m m图1 3SOCrv A钢淬透性曲线沈侧罄七侧圈061218243 036至水冷端距 离r/m m至水冷端距离二/mm图1 455 s iMnMov Nb钢淬透性曲线图 1 5G cr 15钢淬透性曲线1)将所有必要的钢种建立淬透性曲线数学模型,其中有关参数经大量验证后确定下来,以保证模型的准 确性,然 后结 合“确 定淬透层深度的线解图”5 1,编制出一套计算机软件。以此方法可力求作到,当已知一个某钢种某形状某尺寸的实际 机械零件,在采用某种淬火方式后,求出该零件的淬透层深度并绘出零件内部各深度的硬度曲线。

19、这一工作具有 较大的实际 意义,对机械零件金属材料的选择、力学性能 潜力的发挥、技术指 标 的制定以及产品质量的提高均有 帮助,也是建立热处 理 柔性系统(FCM)的前期工作之 一。2)利 用公式(4),可否对其它热 处理曲线或其它物 理 冶金方面 的曲线建立数学模型?笔者在 尝试了对一些钢种的回火硬度曲线建 立数 学模型后 发 现,对 于某种钢,如4 5钢很有效,而对于某些钢则效果不好,这是由于回火转变又有更多的复杂原因和情况所致。笔者又观察到,本文模型与金属转变 中的形核率及 晶体生 长速度曲线极为相似。由此看来,可以尝试利 用本文所述原理对其它有关物理 冶金中的曲线建立数学模型。3)利用

20、公式(4)建立淬透性曲线模型,虽 然大大减少了实验数据量,但并未完全离开实验数据,可否作到 当已知某成分钢种后,不经 实验,完全靠计算求出淬透性曲线?公式(4)中的Hma x,北京联合大学学报9 916年12月Hm川两参数,有的学者认为,可能根据钢的碳 当量 确 定,那么Kl与K:呢?是否与原子 量,原子价健 及结合力有关?如 果此问题得以解决,将是物理冶金 学的 一 个重大突破。令干常吞J二目卜乙本文所述,主要说明 了三点问题:1)利 用公式(4)可以较准确地对各类主要钢种建立起淬透性曲线的数学模型,与实测曲线相比,符合程度较好,误差 一般不超 过5%。2)利用本文原理,在测 定一个新钢种的

21、淬透性曲线时,可以配合数学模型,大大减少工作量,缩短工作时间,减少物资的投入。3)利 用本文提出的方法,可以建立一套软件系统用于 生 产和科研 实践,从而作到对常用钢种的机械零件,较方便地计算出其淬透层深度和 内部硬度分布。致谢:感谢北京科 技大学孙 祖庆教授 对本文的指 导。参考文献集体编写.机械工程手册(第3卷).北京:机械工业出版社,198 2.9集体编写.社会经济统计学原理教科书.北京:中国统计出版社,198 0.49 0何 文章,张 宪彬.利用Lo gs i tc i模型预测耐用消费品社会拥有量.数理统计与管理,1 99 4,(1):2 1一2 3刘国勋.金属学 原理.北 京:冶金工

22、业出版社,198 0.23 2,23 6,27 9刘水锉.钢 的热处理.北京:冶金工业 出版社,198 1.16 1崔 岂.钢铁材料及有色金属材料.北京:机械工业出版社,198 1.4 2InstitutingtheCu rve sofQuench ing DegreebyMathematic al Statistic sZhangS hiyu(C ollegeofEleero rni。and Automati。Engine e ringofBU U,Beiiing,100101)Abstr a ctTheeurve smo deofSte elSque n ehingdegr e eC an

23、beestab lishedbytheLogistiCmode.Itha s玩tte reor r e spo ndentand lit tlee or rigendum.Usingthisway,thequenehingdegr eee urv esofthegene r al kindsofsteele a nbeestab lished byafewte sringpoints.Itwill beimportane eforthepra etie eofF CMinhe at一tr e atmentandthethe o ryofphysie almetallurgyifeontinu ereserehingthisway.Keywo rdse ur v e s;qu enehing;marhematie alstatisties