数学建模-房价分析.pdf

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1、2010 北京化工大学数学建模与计算机应用竞赛 论文题目：房价问题的数学建模 参赛队员：姓名：王佳宁 学号：200811183 参赛院系：化学工程学院 姓名：缪勇 学号：200811212 参赛院系：化学工程学院 姓名：欧阳再龙 学号：200811200 参赛院系：化学工程学院 2010 年 5 月 23 日 1 保证书保证书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则，我们完全明白在竞赛开始后不能以任何方式与队外的任何人讨论有关竞赛试题的求解内容，抄袭别人的成果也是违反竞赛规则的，如被发现将会受到严肃处置。我们也知道如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料）必须按照规定的参

2、考文献的表述方式在正文和参考文献中明确列出。为了确保竞赛的公正、公平性，我们保证严格遵守竞赛规则。2 房价中的数学建模 摘要 我国房地产业自20世纪末走出低谷以来，其迅猛发展的势头备受世人瞩目，不仅因其作为国民经济的支柱产业而对国家宏观经济运行产生巨大的影响，更因其与广大百姓的自身利益休戚相关而令人关注。住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。2008 年受国际金融危机的影响，部分购房需求受到抑制，2009 年在国家税收、土地等调控政策作用下，一度受到抑制的需求得到释放，适度宽松的货币政策使信贷规模加大，为房地产开发和商品房购买提供了比较充裕的资金，房地产市场供求大

3、增，带动了整体回升。但有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，另一方面，部分投机者也通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，也是导致房价居高不下的原因之一。因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。为此，国家在今年 4 月 17 日出台了关于坚决遏制部分城市房价过快上涨的通知（俗称为“新国十条”）的调控政策。论文以房价作为主要研究对象，通过对历年房价走势的分析，对房价进行作图、拟合，找出影响其涨落的因素；对未来房价的走势进行预测；研究“二手房”房价、租金、与房价间的关系；并通过历年来国家颁布的政策与房价之间的关系，分析政策所起的

4、作用。3 问题提出：问题提出：住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问题。近年来，随着我国经济的飞速增长，房价过快增长，且一直居高不下。介于此种现象，通过下面的工作，对此问题进行分析及预测。通过分析找出影响房价的主要愿因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析；选择北京地区，调查近些年房价的变化情况，并据此数据，预测下一阶段该地区的房价走势；联系“二手房”房价与出租房租金的变化，研究此地区三者之间的关系；最后，根据国家和各政府出台的一系列政策的时间与房价变化的情况，分析这些政策对房价调控所起的作用。基本假设：基本假设：首先，在

5、所调查城市中，由于各类房价差异很大，而对于大多数市民来说，关心最多的应该就是商品房的价格，因此我们选此城市的商品房价格，来作为这次调查的代表进行分析。其次，影响房价的客观因素主要有市场因素和非市场因素。其中，由房屋自身因素和环境因素组成的非市场因素在总影响中所占比重较小，且相对较稳定，可忽略其对房价涨落的影响；市场因素是房价的主要决定因素，其中主要包括政治因素、经济因素、行政因素和社会因素。目前的中国，社会局势相对稳定，故政治因素以及社会因素的影响便可以忽略，而其中经济因素中的土地成本和人们的收入水平是目前的主导因素，在行政因素中主要是国家地区通过颁布法令调节税率来，达到影响房价的目的，按国家

6、的规定营业税为商品房售价的 5%，土地交易契税税率为 3%，设定土地贷款年利率为 5.4%相应贷款年限设为两年。最后，房地产商对利益的追求即利润是形成房价的一个主观原因。在地价指数中，利润被设定为商品房售价的 10%。建立模型：建立模型：在模型中，通过对已知地价指数的算法和由搜集得到的数据的拟合，模拟出房价与地价、人们收入以及税率和综合成本（除了土地出让金以外，开发商完成楼盘开发所支付的费用）之间的一个数学关系。假设地价指数为 g，地价 G，房价指数 h，房价 H，营业税 R，综合成本 C，利润 S，容积率 V，土地交易契税税率 Q，土地贷款年利率 T，贷款年限 t，人们收入 x。其中地价指数

7、满足如下关系：g=H-R-C-S*V/1+Q+T*t.(1)式中，=666.67/100000；首先，在计算地价对房价的影响时，按国家的相关规定可知，我们可以假设某年Q=H*3%，T=H*5.4%，t=2，故（1）式中分母为一常数，设其为，另假设A=/；R=H*5%；S=H*10%；V=1；由所查得的数据可知，北京地区的综合成本在20003000元，可先假设其为2500。通过查得的地价与土地指数的数据，利用软件做出拟合，得出二者之间的数学关系，代入（1）式便可得出地价对房价的影响；其次，在研究人们收入对房价的影响时，可先将地价对房价的影响关系设定为一常数，通过对查得的人们收入与房价数据进行拟合

8、，得出二者之间的数学关4系，并联合第一步以及房屋价格、土地价格和人民收入的实际查得数据，确定出常数 M；最后，房价与综合地价、人们收入以及各年间政府调控所带来的利率等的上下波动，确定出最后的房价模型。模型求解：模型求解：由(1)式 g=H1-R-C-S*V/1+Q+T*t可得：H1=A/V*g+S+C+R.(2)；假设各变量间相互独立；由表一数据:表一 地价地价指数 地 价 指 数（g）100 100 100.6 102.5 103.8 105.2 109.4 111.6 地价（G）/元 2208 2271 2331 2384 3288 3636 3799 4285 作图拟合出图形如图 1-1

9、：图 1-1 地价指数-地价表 由软件分析拟合得出之间满足如下关系式：G=A+B1*g+B2*g2.(3)；式中，A=-113133.35,B1=2030.02,B2=-8.77;将（3）式求解得出 g 的表达式：g1=2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54.(4);g2=2030.02+（152883.68-35.02G）1/2/17.54 (舍去)；因 g2所得解时的 G 超出实际值，故将其舍去。将（4）式代入（2）式得：5 H1=A/V*2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54+S+C+R.(5);由假设知，在确定的某一年份，

10、R=H1*5%；S=H*10%；V=1；C=2500;代入可得：H1=17.07*2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54+2500/0.4(6);接下来求解人均收入与房价的关系:由表二数据：表二 人均收入与房价 人 均 收 入（x）/元 11577.812464 13882.617116.5 19533.322417 24576 27678 房价（H2）/元 4716 4767 4456 4747 5853 8792 11377 15000 作图拟合得出图形如图 1-2：图 1-2 人均收入-房价表 由软件分析拟合得出之间满足如下关系式：H2=A+B1*x+B2

11、*x2(7);式中，B1=-1.632;B2=5.823E-5;注：H2=H2+M-A （其中 M 为由人均收入与地价共同确定的常数）；由式 H=H1+H2 经 H1 和 H2整合得出 H=17.07*2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54+2500/0.4-1.632*x+5.823E-5*x2+M .(8);6根据表三数据：表三 各年地价、房价与人均收入 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 地价(G)/元 2208 2271 2331 2384 3288 3636 3799 4285 房价(H)/元 4716

12、 4767 4456 4747 5853 8792 11377 15000 人均收入(x)/元 11577.8 12464 13882.617116.519533.322417 24576 27678 由（8）式得 M=H-17.07*2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54+2500/0.4-1.632*x+5.823E-5*x2 (9)由表三数据得出 M 在不同年份的值如表四：表四 不同年份 M 值 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 M/元 5284.79 5531.60 5349.885072.654796

13、.845314.105468.52 4501.91平均值/元 5165.04 将 M 值代入（8）式得：H=17.07*2030.02-（152883.68-35.02G）1/2/17.54+2500/0.4-1.632*x+5.823E-5*x2+5165.04 （10）；（注：模型中地价 G 有一最大值，超过此限，在一定范围内可按 4365.61 计算）为此，我们已得出房价与地价、人均收入之间的关系。接下来，我们利用已知年份的地价及人均收入来求出各年份的房价计算值，得出数据如表五：表五 各年份房价实际值计算值 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 20

14、08 H 实际值/元 4716 4767 4456 4747 5853 8792 11377 15000 H 计算值/元 4596.2 4400.4 4271.2 4839.4 6221.2 8642.9 11073.5 15663.1 作图比较 H 实际值与计算值得出图 1-3：7 图 13 房价年份图 由图表可知，根据所建模型求得的房价计算值与实际值基本一致，误差范围在 0.0170.077 之间，拟合程度较高。由所得模型可看出，在房价形成过程中，地价与人均收入占主导因素，地价的升高以及人均收入的增长都对房价的升高具有促进作用。而在地价与人均收入中，地价占有较大比重。房地产商投机通过囤积土

15、地，造成土地资源短缺，进而通过地价来影响房价。通过所得模型及已知数据，可先根据时间与地价、人均收入的数据如表六：表六 时间与地价、人均收入表 时间 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 地价 2208 2271 2331 2384 3288 3636 3799 4285 人均收入 11577.812464 13882.617116.519533.3 2241724576 27678 将数据作图拟合得图 14 8 图 14 拟合出公式得：G=-641230.60+321.40y (11)x=-4784540+2396.21y (y 代表年份).(12);

16、预测：当 y=2009 时，将其代入式（11）、（12）可求的相应的 G 与 x 的值，将二值代入式（10）得：H2009=18787.4 元 实际值 H=19725 元 百分误差 w%=4.75%据此可看出此模型预测性可信度较高。接下来，预测 2010 年房价：方法同上，得出 2010 年预测值：H2010=23386.6 元 经查得的 09 年北京市房价、二手房价以及租价的数据如表七：表七 09 年北京市房价、二手房价以及租价 9时间 200901 200902 200903 200904 200905 200906 200907 200908 200909 200910 200911 2

17、00912 房价 15825 15914 15920 16370 16472 1714317541185061905019740 21512 22959二手房价 8900 9100 9650 10850 10950 1135012045124201212011950 13150 14100租价 2308 2290 2318 2294 2293 2273 2427 2486 2514 2503 2500 2458 由表作图得出图 15 图 15 由图表分析可知：房价和二手房价有很好的同步增长，租价总体来讲也随二者呈上升趋势。原因可能如下：由于大量的房屋是用于出租获取收益，因此租金的多少与房价直接

18、挂钩，影响着购买与建设。当租金回报率高时，人们会购进更多的住房用于出租，房价会在购买需求增加时上升。如果由于房价的上升使租金回报率过度下降时，购买行为就会减少，使房价上升的幅度降低或下降。当房价下降到租金回报率提升到增加购买需求时，租金又影响着房价的上升，并靠市场中的供求关系保持上升中的相对平衡。租金影响着房价，房价影响着租金，相互制约。但是总体的房租和房价都是在一个较长的周期中保持上升的趋势，因为人均收入是始终保持着上升而非下降的趋势的，人们对生活享受的追求是只会上升而不会下降的。而二手房价直接与商品房价相关，商品房价的上升会直接导致二手房供给量减少，从而使二10手房价格上升。在 07 年国

19、家出台了关于加强商业性房地产信贷管理的补充通知和关于加大闲置土地处置力度的通知，市场反应在当年房价出现暴涨，而在政策出台后全年房价出现明显下跌。具体原因：模型式（8）是在将一系列利率和贷款年限设为一定值求得的，现实生活中利率与房价有一定的比例关系，利率越大，房价也会越高，国家通过出台政策，对利率的大小进行调控，从而达到对房价的调整。根据模型可看出，地价与人均收入在房价中占主导因素，而国家可以通过宏观调控来影响地价，另外国家对利率的调控也会影响到房价的涨落，国家通过颁布一系列法令，来达到此宏观调控的目的，所以购房或租房者应及时了解国家对房价出台的政策法令，了解市场行情，分析房价走势，以便能够以较优的价格买房。11