考研试题分析八(多元函数微分学).pdf

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1、考研试题分析八（多元函数微分学）考研试题分析八（多元函数微分学）例例 1.(1991 年数学一、二)由方程2222=+zyxxyz所确定的函数),(yxzz=在点处的全微分)1,0,1(=dz_ dydx2 答案分析本题是隐函数全微分的题.有两种方法:其一是对方程两边求全微分,解出,另一种方法是先求出dzyzxz,.再利用全微分公式dyyzdxxzdz+=.解法一 对方程两边求全微分可得+xydzxzdyyzdx0222=+zyxzdzydyxdx 将1,0,1=zyx代入上式可得 0)(21=+dzdxdy 由此得到dydxdz2=解法二 设=),(zyxF2222+zyxxyz xF=22

2、2zyxxyz+;=yF222zyxyxz+;=zF222zyxzxy+222222zyxxyzzyxyzxFFxzzx+=;222222zyxxyzzyxxzyFFyzzy+=dzdxzyxxyzzyxyzx222222+dyzyxxyzzyxxzy222222+将1,0,1=zyx代入上式可得 dydxdz2=例例 2.(1998 年数学一)设)()(1yxyxyfxz+=,f具有二阶连续导数,则yxz2=_.答案)()()(yxyyxxyf y+1分析这是一道基本运算题,求复合函数的导数.依题意,f是一元函数.解答)()(1)(12yxyyxyfxxyfxxz+=;)()()()(1)(

3、122yxyyxxxyfxyxyfxxxyfxyxz+=)()()(yxyyxxyf y+=点评本题中的)(),(yxxyf+,其中间变量均是一元,如果考生误认为中间变量是二元,将出现yxyxff,等记号,从而无法化简导致错误.)()()()(xyf yxyxxyfxyfx=,)()()()(xyf xxyyxyfxyfy=.都是用表示,而不能将前一式写成)(xyf)()(xyf yxyfxx=,后一式写成 )()(xyf xxyfyy=.对于)(yxx+亦如此,)()(yxyxx+=+.而 2000 年数学一第四题 设)(),(xygyxxyfz+=,其中具有二阶连续偏导数,具有二阶连续导数

4、,求 fgyxz2.这个题目从题设条件中就可看出),(yxxyf,)(xyg的不同,前者二个中间变量,后者一个中间变量,要区别开.gxyfyf yxz+=2211 gxygxfyxf xyfyfyxf xyfyxz +=32222212212211121)(11)(2gxygxfyxfxyfyf +=322231122111 例例 3.（2001 年数学一）设函数在点处可微,),(yxfz=)1,1(,1)1,1(=f 3,2)1,1()1,1(=yzxz,),(,()(xxfxfx=,求13)(=xxdxd 分析求全导数,应用多元复合函数求全导数的法则求之.关键是弄清复合函数的复合关系.如果

5、),(,(),(,()(21xxfxfxxfxfx+=,就少复合了一次.解1)1,1()1,1(,1()1(=fff.),(,()(3)()(3)(223xxfxfdxdxxdxdxxdxd=),(),()(,(,(),(,()(321212xxfxxfxxfxfxxfxfx+=取,由于1=x3)1,1()1,1(,2)1,1()1,1(21=yxffff,故 13)(=xxdxd=51)32(32(3)1,1()1,1()(1,1()1,1()1(3=+=+yxyxffff.例例 4.(2002 年数学一)考虑二元函数的下面 4 条性质:),(yxf在点处连续,),(yxf),(00yx在点

6、处的两个偏导数连续,),(yxf),(00yx在点处可微,),(yxf),(00yx在点处的两个偏导数存在.),(yxf),(00yx若用表示可由性质推出性质Q,则有()QPP(A);(B);(C);(D).答案(A)分析本题考查下面因果关系的认知:3 记住上述因果关系,不难看出应选(A).如果误认为偏导数存在必然为连续函数,就有,就选择了(C).错误在于把一元函数的情形搬到二元函数中来了.例例 5.(2001 年数学二)设函数由方程所确定,则曲线)(xfy=1)cos(2=+exyeyx)(xfy=在点处的法线方程为_.)1,0(答案 022=+yx分析本题考查隐函数求导和曲线的法线方程,本

7、题应注意的是求法线方程而不是切线方程.解法一方程两边对求导,得 x0)sin()()2(2=+xyyxyeyyx 解得 )sin()sin(222xyxexyyedxdyyxyx+=+,所以 2)1,0(=dxdy 因此法线的斜率为21,法线方程为022=+yx.解法二设),(yxF1)cos(2+=+exyeyx)sin(22xyyeFyxx+=+,)sin(2xyxeFyxy+=+)sin()sin(222xyxexyyeFFdxdyyxyxyx+=+,则 2)1,0(=dxdy 因此法线的斜率为21,法线方程为022=+yx.例例 6.(1994 年数学二)在椭圆上求一点,使其到直线44

8、22=+yx0632=+yx的距离最短.分析点到直线),(yx0632=+yx的距离|632|131+=yxd,因此问题变成了求函数在限制条件下的极值问题.d4422=+yx解问题可以转化成求函数=),(yxf2)632(+yx,4在限制条件下的极值问题,构造拉格朗日函数 4422=+yx),(yxL=2)632(+yx)44(22+yx那么 02)632(4=+=xyxxL 08)632(6=+=yyxyL 04422=+=yxL 消去,解得53,58;53,582211=yxyx,于是,1311,131),(),(2211=yxyxdd 由问题的实际意义知最短距离是存在的,因此53,58即

9、为所求的点.例例 7.(2002 年数学一)设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy坐标面,其底部所占的区域为 75|),(22+=xyyxyxD,小山的高度函数为 xyyxyxh+=2275),(.(1)设为区域上一点,问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为,试写出的表达式.),(00yxMD),(yxh),(00yxg),(00yxg(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点,也就是说,要在D的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点,试确定攀登起点的位置.7522=+xyyx),(yxg分析和解法一(1)高度函数在点处的梯

10、度是),(yxh),(00yxMjyxixyyxgradhyx)2()2(),(0000),(00+=由梯度的几何意义知,沿此梯度方向,高度函数的方向导数取最大值,并且这个最大值就是此梯度的模,于是),(yxh 5),(00yxg200200)2()2(yxxy+=002020855yxyx+=(2)令,),(),(2yxgyxf=xyyx85522+=依题意,只需求二元函数在约束条件下的最大值点.),(yxf7522=+xyyx令),(yxLxyyx85522+=)75(22+xyyx,则,0)2(810=+=yxyxLx,0)2(810=+=xyxyLy =L07522=+xyyx 消去,

11、解得 35,35;35,35;5,5;5,544332211=yxyxyxyx,于是得到 4 个可能的极值点)35,35(),35,35(),5,5(),5,5(4321MMMM 又150)()(;450)()(4321=MfMfMfMf.故)5,5(),5,5(21MM可以作为攀登起点.分析和解法二 把山看作曲面,山岗某一处坡度的大小就是曲面在该处的切平面与水平面的夹角的大小,也就是切平面的法线与轴的夹角(锐角的那个)的大小.山曲面 zz),(yxh=在点处的切平面法向量是),(yxM1,yxhh,设它与轴的夹角(锐角的那个)为z,那么.8551)2()2(1)()(11cos222222x

12、yyxyxxyhhyx+=+=+=由此可见,为了要在的边界线上找出使D7522=+xyyx最大,只要cos最小,也只要二元函数在条件下找最大值.以下同解法一.xyyx85522+7522=+xyyx例例 8.(1994 年数学四)某养殖场饲养两种鱼,若甲种鱼放养(万尾),乙种鱼放养xy(万尾),收获时两种鱼的收获量分别为 xyx)3(和)0()24(yyx,6求使产鱼总量最大的放养数.解 设总产量为,则,zz=xyyxyx224322+由极值的必要条件,得方程组0223=yxxz 0244=xxyz 0,方程组的唯一解)2(234,223220220=yx.记222=xzA,22=yxzB ,

13、422=yzC 有,因此在处有极大值.又由问题的实际意义,知最大值是存在的,所以即最大值.0,0)2(4222yx=.02)24(,023)3(00000000yyyxxxyx 综上所述,和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数.0 x0y例例 9.(2005 年数学四)设二元函数则),1ln()1(yxxezyx+=+._)0,1(=dz 答案 dyeedx)2(2+分析利用二元函数的全微分公式dyyzdxxzdz+=,再在yzxz,中以 0,1=yx代入.解应用二元复合函数求偏导数法则得)1ln(yxeexzyxyx+=+,yxxeyzyx+=+11,所以 +dxyxeedzyxyx)1ln(+=

14、+dyyxxeyx+11,7以代入得 0,1=yx dyeedxdz)2(2)0,1(+=.例例 10.(2005 年数学四)设具有二阶连续偏导数,且)(uf+=yxyfxyfyxg),(,求yxgyxgx22222.解利用复合函数偏导数的链锁法则,可得+=yxfxyfxyxg2,=22xg+yxfyxyfxyxyfxy12423,1+=yxfyxyxfxyfxyg=22yg+yxfyxyxfyxyxfyxxyfx322221 +=yxfyxxyfx3221 于是 yxgyxgx22222=+yxfyxxyfxyxyfxy2222 yxfyxxyfxy222 =xyfxy2.例例 11.(20

15、04 年数学三)函数由关系式),(vuf)(),(ygxyyxgf+=确定,其中函数可微,且)(yg0)(yg,则vuf2=_.答案 2)()(vgvg 分析第一种解法可令解出=,)(vyuyxg),(),(vuyyvuxx=代入 8)(),(ygxyyxgf+=以求出,再计算所求的偏导数.),(vuf第二种解法是,在题给的等式两边求偏导,使出现待求的vuf2,从而解之.解法一令即=,)(vyuyxg=,)(vyygux )(a代入原式得 )()(),(vgvguvuf+=,两边对求偏导得 u,)(1vguf=两边对v求偏导得 22)()(vgvgvuf=.解法二在等式)(),(ygxyyxg

16、f+=两边对求偏导 2 次,得 x ,0)(,1)(2=ygfygfuuu但按已知,0)(yg,所以.0=uuf在等式两边对求偏导,得 1)(=ygfuy 0)()()(=+ygfygxfygfuvuuu 以代入,并解出得 0=uufuvf )()()()(2ygygfygygfuuv=,其中vuyx,满足方程组,从而)(a)()(2vgvgfuv=例例 12.(2003 年数学三)设具有二阶连续偏导数,且满足),(vuf,12222=+vfuf 又 9)(21,),(22yxxyfyxg=,求2222yfxf+.分析利用求偏导数的链锁法则求二元复合函数的偏导数.解 ,vfxufyxg+=.v

17、fyufxyg=vfvfxvufxyufyxg+=2222222222.vfvfyvufxyufxyg+=2222222222.22xg22yg+22222222)()(vfyxufyx+=.22yx+=例例 13.(2003 年数学一)已知函数在点(0,0)的某个邻域内连续,且),(yxf1)(),(lim22200=+yxxyyxfyx,则(A)点(0,0)不是的极值点.(B)点(0,0)是的极大值点.),(yxf),(yxf(C)点(0,0)是的极小值点.),(yxf(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为的极值点.),(yxf答案(A)解由在点(0,0)的连续性及),(yxf1)(

18、),(lim22200=+yxxyyxfyx 知.0)0,0(=f且+=+1)(),(222yxxyyxf,其中0lim00=yx 则 222222)()(),(yxyxxyyxf+=令xy=,得)(44),(22442xoxxxxxxf+=+=令xy=,得)(44),(22442xoxxxxxxf+=+=10从而在(0,0)点的邻域内始终可正可负,又),(yxf0)0,0(=f,由极值定义可知在点(0,0)没有极值,故应选(A).),(yxf例例 14.(2004 年数学一)设是由方程确定的函数,求),(yxzz=0182106222=+zyzyxyx),(yxzz=的极值点极值.分析是求二

19、元函数的极值问题.应用隐函数求偏导法则求两个偏导数,并求出函数的驻点.再求二阶偏导数,判断是否为极值点.解法一方程 0182106222=+zyzyxyx 两边分别对yx,求偏导得 02262=xzzxzyyx )(a 0222206=+yzzyzyzyx )(b令=00yzxz,得=+=,0103,03zyxyx故 =,3yzyx将上式代入,可得 0182106222=+zyzyxyx=3,3,9zyx 或=.3,3,9zyx方程两边分别对)(ayx,求偏导得,0222222222=xzzxzxzy,02222622=yxzzxzyzyxzyxz 方程两边对)(by求偏导得 11 .0222

20、222022222=yzzyzyzyyzyz 所以,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22=yzCyxzBxzA 故,03612=A,从而点(9,3)是的极小值点,极小值为),(yxz.3)3,9(=z 类似地,由,35,21,61)3,3,9(22)3,3,9(2)3,3,9(22=yzCyxzBxzA 可知,03612=ACB又061=A,所以点)3,9(是的极大值点,极大值为),(yxz.3)3,9(=z解法二令 182106),(222+=zyzyxyxzyxF应用隐函数求偏导法则得 zyyxzyyxFFxzzx+=32262 zyzyxzyzyxFFyz

21、zy+=+=103222206 由0,0=yzxz解得,与原式联立解得驻点为 yzyx=,3 与)3,9(1P)3,9(2P.再求二阶导数,11)3()(1222PPxzyxzyzyxzA+=,6124112=Pyy 111)(3()(3)(122PPyzyxzyzyyxzB+=12 ,21)6(4112=Pyy 11)1)(103()(10()(1222PPyzzyxzyyzzyyzC+=,35204112=Pyy 于是,03612=A,从而点是的极小值点,极小值为)3,9(1P),(yxz.3)3,9(=z对于驻点,类似地可求得 2P,35,21,61=CBA 于是,03612=ACB又061=A,从而)3,9(2P是的极大值点,极大值为),(yxz.3)3,9(=z例例 15.(2003数学一)曲面与平面22yxz+=042=+zyx平行的切平面方程是_.答案 542=+zyx分析利用偏导数先求曲面的法向量,使其与已知平面的法向量平行,再求切点的坐标,最后写出切平面的点法式方程.解令,则022=+=zyxF)1,2,2(=yxn,又已知平行的法向量为)1,4,2(1=n,由于,所以 1|nn ,114222=yx 由此解得切点的坐标为(1,2,5),所以切平面方程为 0)5()2(4)1(2=+zyx,化简得.542=+zyx 13