数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--10章.pdf

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1、第十章第十章 函数项级数函数项级数 习 题 10.1 函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。Sn(x)=,(i)xnxe)1,0(，(ii)x；),1(+Sn(x)=x,xnxe),0(+；Sn(x)=sinnx,(i)x),(+，(ii)x,AA()；0A Sn(x)=arctan nx,(i)x)1,0(，(ii)x；),1(+Sn(x)=221nx+,x),(+；Sn(x)=nx(1-x)n,x 1,0；Sn(x)=nxlnnx,(i)x)1,0(，(ii)x)；),1(+Sn(x)=nnxx+1,(i)x)1,0(，(ii)x；),

2、1(+Sn(x)=(sin x)n,x,0；Sn(x)=(sin x)n1,(i)x0,，(ii)x,（0）；Sn(x)=nnx+1,(i)x),0(+，(ii)x,0(A()；0A Sn(x)=+xnxn1,(i)x),0(+,(ii)0,+x。解解（1）(i)，0)(=xS)()(sup),()1,0(xSxSSSdnxn=1=/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(0,1)(ii)，0)(=xS)()(sup),(),1(xSxSSSdnxn=+ne=)(0n，所以()nSx在上一致收敛。(1,)+（2），0)(=xS)()(sup),(),0(xSxSSSdnxn=+ne1=)(0

3、n，1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以()nSx在上一致收敛。(0,)+（3）(i)，0)(=xS)()(sup),(),(xSxSSSdnxn=+1=/0（n），所以()nSx在(,)+上非一致收敛。(ii)，当0)(=xSAn2，)()(sup),(,xSxSSSdnAAxn=nA)(0n，所以()nSx在,A A上一致收敛。（4）(i)2)(=xS，)()(sup),()1,0(xSxSSSdnxn=2=/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(0,1)(ii)2)(=xS，)()(sup),(),1(xSxSSSdnxn=+narctan2=)(0n，所以(

4、)nSx在上一致收敛。(1,)+（5）xxS=)(，由于nxnxxSxSn11)()(22+=，于是)()(sup),(),(xSxSSSdnxn=+)(0n，所以()nSx在(,)+上一致收敛。（6），0)(=xS=)1()1(nSnSnnn)11(/0（n），所以()nSx在0上非一致收敛。,1（7）(i)，由于0)(=xS0)0()0(=+SSn，且 2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m=)()(xSxSdxdn0)ln1(1+nxn，)2(n于是 nnxSxSSSdnxnln)()(sup),()1,0(=)(0n，所以()nSx在上一致收敛。(0,1)(ii)，0

5、)(=xS=)2()2(nSnSn2ln2/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(1,)+（8）(i)，0)(=xS=)11()11(nSnSnnnnn)11(1)11(+/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(0,1)(ii)，1)(=xS=+)11()11(nSnSn1)11(1)11(+nnnn/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(1,)+（9）=2,0021)(xxxxS，取,0nx，使得nxn11sin=，则2nx，=)()(nnnxSxSnn)11(/0（n），所以()nSx在0,上非一致收敛。（10）(i)，取=xxxS01,00)(),0(nx，使得nnx21si

6、n=，则 3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m=)()(nnnxSxS121/0（n），所以()nSx在(0,)上非一致收敛。(ii)，1)(=xS)()(sup),(xSxSSSdnn=,xn1sin1=)(0n，所以()nSx在,上一致收敛。（11）(i)，xexS=)(=)()(nSnSnnne2/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(0,)+(ii)，由于xexS=)(0)0()0(=+SSn，且当 充分大时，n=)()(xSxSdxdn011+xnenx，于是 )()(sup),(,0(xSxSSSdnAxn=nAnAe+=1)(0n，所以()nSx在(0,A

7、上一致收敛。（12）(i)xxS21)(=，=)1()1(nSnSnn232/0（n），所以()nSx在上非一致收敛。(0,)+(ii)xxS21)(=，Sn(x)=+xnxn1)(2111xSxxnx=+=xnxxnxxxSxSdxdn，可知)()(sup),(),xSxSSSdnxn=+)()(SSn=211+=nn)(0n，所以()nSx在,)+上一致收敛。2.设Sn(x)=n(nx-nx2)，则函数序列S(x)在上收敛但不一致收敛，且极限运算与积分运算不能交换，即 n 1,0nlim10)(xSndx 10limnSn(x)dx。证证 函数序列Sn(x)在上收敛于 1,00)(=xS。

8、取nxn11=，则=)()(nnnxSxS+nnnnn2)11()11(，所以Sn(x)在上非一致收敛。1,0由于 nlim10)(xSndx=nlimxxxnnnd)(10221=，S10limnn(x)dx0=，所以 dx nlim10)(xSn10limnSn(x)dx。3.设Sn(x)=221xnx+，则 函数序列Sn(x)在),(+上一致收敛；)(ddxSxn在上不一致收敛；),(+极限运算与求导运算不能交换，即 nlimxddSn(x)=xddnlimSn(x)并不对一切 x成立。),(+解解（1）Sn(x)=221xnx+，0)(=xS，则 nxnxxSxSn211)()(22+

9、=)(0n，5课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以Sn(x)在),(+上一致收敛。（2）)(xSdxdn22222)1(1xnxn+=，)(lim)(xSdxdxnn=0001xx，取nxn21=，则)(nnxSdxd2512)(=nx/0（n），所以)(ddxSxn在上不一致收敛。),(+（3）由于在0=x处，xddnlimSn(x)，0=)(lim)(xSdxdxnn=1=，所以在处，0=xnlimxddSn(x)=xddnlimSn(x)不成立。4.设Sn(x)=n1arctan xn，则函数序列Sn(x)在),0(+上一致收敛；试问极限运算与求导运算能否交换，即

10、nlimxddSn(x)=xddnlimSn(x)是否成立?解解 Sn(x)=n1arctan，nxnnnxxxS211)(+=，=)(xSnlimSn(x)0=，0)(=xS，所以)1(21)1(limSSnn=，即 nlimxddSn(x)=xddnlimSn(x)在不成立。1=x5.设Sn(x)=，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列Snxxenn(x)在上 1,0 一致收敛；积分运算与极限运算可以交换，即 nlim10)(xSndx=S10limnn(x)dx；求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x0,1成立 nlimxddSn(x)=xddnlimSn(x)。6课后答案网 w

11、 w w.k h d a w.c o m解解 (1)S=)(xSnlimn(x)，令，得到0=)(xSn0)1(=nxennxnx1=，即=)()(sup),(1,0 xSxSSSdnxn11)1(=ennSn，所以0),(lim=SSdnn当且仅当1时成立，所以当1时，Sn(x)在 1,0上一致收敛。(2)S10limnn(x)dx，=100)(dxxS=10)(dxxSnnennn+)11(12，所以当且仅当2时，成立.nlim10)(xSndx=S10limnn(x)dx。(3)xddnlimSn(x)xdd=0)(=xS，xddSn(x)，)1(nxennx=由于)1(limnxenx

12、n=01 1,0(0 xx，所以当且仅当0,)(xSn在+ba,上一致收敛于。)(xS取,xx+ba,只要 xx,就成立 x+ba,时，有+nx1+ba,7课后答案网 w w w.k h d a w.c o m于是=)()(xSxSn,1,1x，成立1,0 x，成立 Mxn，于是)(xSxn 8课后答案网 w w w.k h d a w.c o m对一切成立，因此x 1,0 xn S(x)在0,1上一致收敛。9课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 习习 题题 10.2 一致收敛级数的判别与性质一致收敛级数的判别与性质 1.讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。，x0,

13、1；=0)1(nnxx ，=02)1(nnxx x0,1；，x=032ennxx)+,0；，(i)x=02ennxx)+,0，(ii)x)+,（0）；=+0231nxnx，x(-,+)；=+1344sinnxnnx，x(-,+)；，x0,1；=0)1()1(nnnxx =+12)1(nnxn，x(-,+)；=031sin2nnnx，(i)x(0,+)，(ii)x)+,（0）；=1sinsinnnnxx，x(-,+)；=+022)1(nnxx，x(-,+)；=+022)1()1(nnnxx，x(-,+)。解解（1），=nkknxxxS0)1()(11+=nx由于1+nx在非一致收敛，所以在上非一

14、致收敛。1,0=0)1(nnxx 1,0（2）设，则在上 nnxxxu2)1()(=1,0)2()(0+nnuxunn2)2(4+=与nxn1=),0+，则 =+=mnknkxu1)(+2)1(nxnnex+?2)2(nxnnex22nnxnex22nnxnenx+=2en)(n，所以不满足 Cauchy 收敛原理的条件，由此可知在上非一致收敛；=02ennxx=02ennxx),0+(ii)设，则当2)(nxnxexu=221n时，关于 在)(xunx),+上单调减少，所以 nnexu2)(0，由于收敛，由 Weierstrass 判别法，在=02nne=02ennxx),+上一致收敛。（5

15、）设231)(xnxxun+=，则当时，1n2321)(nxun，由于=02321nn收敛，由 Weierstrass 判别法，=+0231nxnx在),(+上一致收敛。（6）设344sin)(xnnxxun+=，则当时，1n341)(nxun，由于=0341nn收敛，2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m由 Weierstrass 判别法，=+1344sinnxnnx在),(+上一致收敛。（7）设，则nnxxxa)1()(=nnxb)1()(=)(xan对固定的关于是单调的，且在上一致收敛于零，同时 1,0 xn 1,01)(0=nkkxb，由 Dirichlet判别法，在

16、上一致收敛。=0)1()1(nnnxx 1,0（8）设21)(xnxan+=，则nnxb)1()(=)(xan对固定的关于是单调的，且在上一致收敛于零，同时),(+xn),(+1)(1=nkkxb，由 Dirichlet判别法，=+12)1(nnxn在上一致收敛。),(+（9）(i)设xxunnn31sin2)(=，取nnx32=),0(+，则+=nnnxu2)(，即在上非一致收敛，所以)(xun),0(+=031sin2nnnx在),0(+上非一致收敛；(ii)设xxunnn31sin2)(=，则当),+x时，nnxu321)(，由于nn=3210收敛，由 Weierstrass 判别法，=

17、031sin2nnnx在),+上一致收敛。（10）设nxan1)(=，nxxxbnsinsin)(=，由于与 无关且单调趋于)(xanx 3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m零，所以对固定的)(xan),(+x关于 是单调的，且在上一致收敛于零，同时 n),(+=nkkxb1)(=nkkxxx1sin2sin22cos22cos)21cos(2cos+=xxnx，由 Dirichlet 判别法，=1sinsinnnnxx在),(+上一致收敛。（11）设nnxxxu)1()(22+=，取0120=e，对任意的正整数 N，取与)(2Nnnm=nxn1=),(+，则 =+=mnk

18、nkxu1)(122)1(+nnnxx+?222)1(nnnxxnnnxx222)1(+nnnxnx222)1(+021=e，所以=+022)1(nnxx不满足Cauchy收敛原理的条件，由此可知=+022)1(nnxx在上非一致收敛。),(+（12）设nnxxxa)1()(22+=，则nnxb)1()(=)(xan对固定的关于是单调的，且在上一致收敛于零，同时),(+xn),(+1)(1=nkkxb，由Dirichlet 判别法，=+022)1()1(nnnxx在),(+上一致收敛。2.证明：函数=+=021cos)(nnnxxf在(0,2)上连续，且有连续的导函数。证证 由于111cos2

19、2+nnnx，=+0211nn收敛，由 Weierstraass 判别法，=+021cosnnnx 在(0,2)上一致收敛，所以=+=021cos)(nnnxxf在(0,2)上连续。设=)(x=+=)1cos(02nnnx=+021sinnnnxn，由于+12nn单调趋于零，且对任 意的0，当 x2,时，=nkkx1sin=2sin22cos21cosxxxn+2sin1，4课后答案网 w w w.k h d a w.c o m由 Dirichlet 判别法，可知=+021sinnnnxn在2,上一致收敛，即=+021sinnnnxn在)2,0(上内闭一致收敛，因此=)(x=+021sinnn

20、nxn在(0,2)上连续。再由逐项求导定理，可知)()(xxf=在(0,2)上成立，即=+=021cos)(nnnxxf在(0,2)上有连续的导函数。3.证明：函数在=1e)(nnxnxf),0(+上连续，且有各阶连续导函数。证证 对任意的0aA+，当,xa A，成立0nxannene，且 0annne=收敛，由 Weierstraass 判别法，在,上一致收敛，即在 0nxnne=a A0nxnne=(0,)+上内闭一致收敛，所以0()nxnf xne=在(0,)+上连续。设=)(x0()nxnne=20nxnn e=，与上面类似可证明在上内闭一致收敛，因此20nxnn e=(0,)+=)(

21、x20nxnn e=在(0,)+上连续。再由逐项求导定理，可知)()(xxf=在(0,)+上成立，即0()nxnf xne=在上有连续的导函数。(0,)+注意到在),2,1()1(11?=+kennnxkk),0(+上都是内闭一致收敛的，所以上述过程可以逐次进行下去，由数学归纳法，可知在上有各阶连续导函数。=1e)(nnxnxf),0(+4.证明：函数=11nxn在(1,+)上连续，且有各阶连续导函数；函数=1)1(nxnn在),0(+上连续，且有各阶连续导函数。证证 设=)(xf=11nxn，对任意1aA+，当,xa A，成立110 xann，且11ann=收敛，由 Weierstraass

22、 判别法，=11nxn在,上一致收敛，即 a A=11nxn在(1上内闭一致收敛，所以,)+=)(xf=11nxn在(1,)+上连续。又xxnnndxdln1=，且对任意1aA+，=1lnnxnn在,上一致收a A 5课后答案网 w w w.k h d a w.c o m敛，即=1lnnxnn在上内闭一致收敛，则(1,)+=1lnnxnn在上连续。由逐项求导定理，可知(1,)+=)(xf=1lnnxnn，即在)(xf(1,)+上有连续导函数。利用xkkxkknnndxdln)1(1=),2,1(?=k，可以证明=1ln)1(nxkknn在(1上内闭一致收敛，同理可得在,)+)(xf),1(+上

23、有各阶连续导函数。设=)(xg=1)1(nxnn，由 Dirichlet 判别法，可知对任意，0aA+=1)1(nxnn在,上一致收敛，即a A=1)1(nxnn在(0,)+上内闭一致收敛，所以=)(xg=1)1(nxnn在上连续。(0,)+又xnxnnnndxdln)1()1(1+=，同样由 Dirichlet 判别法，可知对任意，0aA，xn1关于 单调，且对于一切n),0 x与一切n，成立110，N，Nnm，成,dcx立)()()(21xuxuxumnn+?，成立NNnm+=mnkkau1)(与+=mnkkbu1)(。再由un(x)在上的单调增加性，可知对一切,ba,bax，成立+=+=

24、+=mnkkmnkkmnkkbuauxu111)(,)(max)(Nnm，),(+aax,成立2)(1+=mnkkxu。再令+ax,得到+=2)(1mnkkau,这说明在=1)(nnxuax=收敛，与条件矛盾，所以在(a,a+)上必定非一致收敛。=1)(nnxu10 证明函数项级数=+22ln1lnnnnx在aa,上是一致收敛的，其中 是小于的任意固定正数。a2ln22证证 +nnx2ln1ln在上单调增加，所以 aa,+nnxnna22ln1lnln1ln+nna2ln1ln，nna2ln1lnnna2ln)(n。由于=22lnnnna收敛，所以=22ln1lnnnna收敛，再由习题 8 可

25、知=+22ln1lnnnnx在上一致收敛。aa,11设=12tan21)(nnnxxf。（1）证明：在)(xf2/,0上连续；（2）计算26)(dxxf。解解（1）对一切2,0 x，有 nnx2tan210 n21，9课后答案网 w w w.k h d a w.c o m由于=121nn收敛，由 Weierstraass 判别法，可知=12tan21nnnx在2,0上一致收敛，从而=12tan21)(nnnxxf在2,0连续。（2）由（1），=12tan21nnnx在2,6上一致收敛，由逐项积分定理，=26)(dxxf2622tannnxdx1112cos23cosln+=nnn11112co

26、s23cosln+=+=nnnn，再利用例题 9.5.3 的结果=1sin2cosnnxxx，得到 26)(dxxf=2sin266sinln23ln=。12设=+=13cos)(nnnnxxf。（1）证明：在)(xf),(+上连续；（2）记，证明：=xdttfxF0)()(22215122F。证证（1）对一切，有 x),(+2331cosnnnnx+，由于=1231nn收敛，由 Weierstraass 判别法，可知=+13cosnnnnx在上一致收敛，所以),(+=+=13cos)(nnnnxxf在),(+上连续；（2）由于=+13cosnnnnx在),(+上一致收敛，由逐项积分定理，=)

27、(xF=xdttf0)(=+=xndtnnnt031cos=+13sinnnnnnx,10课后答案网 w w w.k h d a w.c o m于是=+=132sin12nnnnnF=+131)12()12()12()1(nnnnn，这是一个 Leibniz 级数,它的前两项为22与3031，所以 22230312215122nkAkxdx002=+=nkkA021ln，由于+=+=+nkkAA021lnlim，可知，所以反常积分发散。+=+AAdxxf0)(lim+0)(dxxf 11课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 10.3 幂级数幂级数 1.求下列幂级数的收敛

28、半径与收敛域。=+1)2(3nnnnxn;nnxn)1(12111+=?;=122)1(nnnnnx;=+1)1(1)1ln()1(nnnxnn；nnnxn=21!31;222lnnnnxnn=;nnnxnn=1!；nnxnn=12!)2()!(;nnxnn=+1!)12(!)!2(。解解（1）设=+1)2(3nnnnxn=1nnnxa，3lim=nnna，所以收敛半径为31=R。当31=x时，=1nnnxa=+1)32(1 1nnn，级数发散。当31=x时，=1nnnxa=+1)32()1(1nnnn，级数收敛。所以收敛区域为=31,31D。（2）设nnxn)1(12111+=?=1)1(n

29、nnxa，1lim=nnna，所以收敛半径为1=R。当时，2=xnnnxa)1(1=+=11211nn?，级数发散。当时，0=xnnnxa)1(1=+=11211)1(nnn?，通项不趋于零，级数也发散。所以收敛区域为。(2,0=D)52课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（3）设=122)1(nnnnnx=1nnnxa，=nnnalim212)1(lim2=nnnnn，所以收敛半径为2=R。当2=x时，=1nnnxa=1)1(nnn，级数收敛。所以收敛区域为2,2=D。（4）设=+1)1(1)1ln()1(nnnxnn=+=1)1(nnnxa，1lim=nnna，所以收敛半

30、径为1=R。当时，0=x=+1)1(nnnxa=+=11)1ln()1(nnnn是 Leibniz 级数，所以收敛。当时，2=x=+1)1(nnnxa=+=11)1ln(nnn，级数发散。所以收敛区域为。(0,2=D（5）设nnnxn=21!31=1)1(nnnxa，=+nnnaa1lim032!2)!1(3lim11=+nnnnnnn，所以收敛半径为+=R,收敛区域为()+=,D。（6）设222lnnnnxnn=1nnnxa，=nnnalim1lnlim22=nnnnn，所以收敛半径为1=R。当时，显然收敛，所以收敛区域为1=x=1nnnxa1,1=D。（7）设nnnxnn=1!=1nnnx

31、a，=+nnnaa1limennnnnnn1!)1()!1(lim1=+，所以收敛半径为。eR=当ex=时，=1nnnxa=1)(!nnnenn，应用 Stirling 公式!nnnen+212)(n，53课后答案网 w w w.k h d a w.c o m可知级数的通项nnenn)(!不趋于零，因而发散。所以收敛区域为。()eeD,=（8）设nnxnn=12!)2()!(=1nnnxa，=+nnnaa1lim41)!()!2()!1(2)!1(lim22=+nnnnn，所以收敛半径为4=R。当时，4=x=1nnnxannnn)4(!)2()!(12=，应用 Stirling 公式!nnne

32、n+212)(n，可知级数的通项nnn)4()!2()!(2不趋于零，因而发散。所以收敛区域为。()4,4=D（9）设nnxnn=+1!)12(!)!2(=1nnnxa，=+nnnaa1lim1!)!2(!)!12(!)!32(!)!22(lim=+nnnnn，所以收敛半径为1=R。当时，1=x=1nnnxa=+=1!)12(!)!2()1(nnnn是 Leibniz 级数，所以收敛。当时，1=x=1nnnxa=+=1!)12(!)!2(nnn，令!)!12(!)!2(+=nnbn，=+)1(lim1nnnbbn21，由 Raabe 判别法可知级数发散。所以收敛区域为。)1,1=D2.设 ab

33、0，求下列幂级数的收敛域。nnnnxnbna=+12;=+1nnnnbax;a x+b x2+a2 x3+b2 x4+an x2n-1+bn x2n +。解解（1）anbnannnn=+2lim，所以收敛半径为aR1=。当ax1=时，nnnnxnbna=+12=+=12)1()1(nnnnnanbn，级数收敛。54课后答案网 w w w.k h d a w.c o m当ax1=时，nnnnxnbna=+12=+=121nnnanbn，级数发散。所以收敛区域为=aaD1,1。（2）abannnn11lim=+，所以收敛半径为aR=。当ax=时，=+1nnnnbax的通项不趋于零，级数发散，所以收

34、敛区域为。),(aaD=（3）设a x+b x2+a2 x3+b2 x4+an x2n-1+bn x2n+，则=1nnnxc=nnnclimaannn=12lim，所以收敛半径为aR1=。当ax1=，的通项不趋于零，级数发散，所以收敛区域为=1nnnxc=aaD1,1。3.设 与的收敛半径分别为R=0nnnxa=0nnnxb1和R2,讨论下列幂级数的收敛半径：(1);(2);=02nnnxa=+0)(nnnnxba(3)。=0nnnnxba解解（1）设的收敛半径为=02nnnxaR。当1Rx 时，发散，所以=02nnnxa1RR=。（2）设的收敛半径为=+0)(nnnnxbaR。55课后答案网

35、 w w w.k h d a w.c o m当x()21,minRR，21RR 时，发散。=+0)(nnnnxba但当时，的收敛半径有可能增加，例如，收敛半径为1，21RR=+0)(nnnnxba=0nnnxa=0nnx=0nnnxb=0121nnnx收敛半径也为1，但的收敛半径为。=+0)(nnnnxba2所以。()21,minRRR（3）设的收敛半径为=0nnnnxbaR。由nnnnbalimnnnalimnnnblim，可知。21RRR 上式等号可能不成立，例如，收敛半径为1，=0nnnxa=02nnx=0nnnxa=+=012nnx，收敛半径也为1，但的收敛半径为=0nnnnxba+=

36、R。4.应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。=1nnnx；=+0212nnnx；=121)1(nnnxn；=+1)1(nnnnx；=+1)1(nnxnn；=+12)!2(1nnnx；=+1!1nnxnn。解解（1）级数的收敛半径为=1nnnx1=R，当1=x时，级数发散，所以定义域为。)1,1(=D设，=1)(nnnxxS=11)()(nnnxxxSxf，利用逐项求积分，得到 56课后答案网 w w w.k h d a w.c o m=xdxxf0)(=110nnxdxnxxxxnn=11，所以=xxdxdxxS1)(2)1(xx=。（2）级数=+0212

37、nnnx的收敛半径为1=R，当1=x时，级数发散，所以定义域为。)1,1(=D设=+=0212)(nnnxxS，=)()(xxSxf=+01212nnnx，利用逐项求导，得到 20211)(xxxfnn=，所以=xxdxxxS0211)(xxx+=11ln21。（3）级数的收敛半径为=121)1(nnnxn1=R，当1=x时，级数发散，所以定义域为。)1,1(=D设，=121)1()(nnnxnxS=1121)1()()(nnnxnxxSxf，利用逐项求积分与上面习题（1），得到=xdxxf0)(=11201)1(nnxndxxn=11)1(nnnnx2)1(xx+=，所以+=2)1()(xx

38、dxdxxS3)1()1(xxx+=。（4）级数=+1)1(nnnnx的收敛半径为1=R，当1=x时，级数收敛，所以 57课后答案网 w w w.k h d a w.c o m定义域为。1,1=D设=+=1)1()(nnnnxxS，=)()(xxSxf=+11)1(nnnnx，利用逐项求导，得到xxxfnn=11)(11，于是=)(xf)1ln(10 xxdxx=，所以=)(xS=xdxxfx0)(1)1ln()11(1xx，1,1)x，而11(1)1(1)nSn n=+。注意也可利用在 1(1)S()S x,1上的连续性，由极限得到。1(1)lim()1xSS x=（5）级数的收敛半径为=+

39、1)1(nnxnn1=R，当1=x时，级数发散，所以定义域为。)1,1(=D设，=+=1)1()(nnxnnxS=+=11)1()()(nnxnnxxSxf，利用逐项求积分与上面习题（1），得到=xdxxf0)(=+110)1(nnxdxxnn=+=1)1(nnxn1)1(12=x，所以=1)1(1)(2xdxdxxS3)1(2xx=。（6）级数=+12)!2(1nnnx的收敛半径为+=R，所以定义域为。设),(+=D=+=12)!2(1)(nnnxxS，则=112)!12()(nnnxxS，由与 xexSxS=+)()(xexSxS=)()(，即可得到 58课后答案网 w w w.k h d

40、 a w.c o m)(21)(xxeexS+=。（7）级数=+1!1nnxnn的收敛半径为+=R，所以定义域为。设),(+=D=+=1!1)(nnxnnxS，则=xdxxS0)()1(!11=+xnnexnx，所以=)1()(xexdxdxS1)1(+xex。注注 本题也可直接利用例题 10.3.6，得到=+=1!1)(nnxnnxS+=11)!1(nnnxx=1!1nnxn1)1(+xex。5.设 f(x)=,则不论在 x=r 是否收敛，只要=0nnnxa=0nnnxa=+011nnnxna在 x=r 收敛，就成立 rxxf0d)(=+011nnnrna，并由此证明：10d11lnxxx=

41、121nn。证证 由于=+011nnnxna在 x=r 收敛，可知=+011nnnxna的收敛半径至少为r，所以的收敛半径也至少为=0nnnxar。当)rx,0，利用逐项积分，得 到=+=xnnnxnadxxf0011)(。由于101+=+nnnrna收敛,可知101+=+nnnxna在r,0连续,令 rx，得到=+=rnnnrnadxxf0011)(。对xxxf=11ln1)(利用上述结果，就得到 59课后答案网 w w w.k h d a w.c o m=1011lnxdxx=1011nndxnx=1101211nnnndxnx。6.证明：(1)y=04)!4(nnnx满足方程 y(4)=

42、y;(2)y=02)!(nnnx满足方程 xy +y -y=0。证证（1）连续 4 次逐项求导，得到=)4(y=144)!44(nnnxynxnn=04)!4(。（2）应用逐项求导，可得=11!)!1(nnnnxy，=22!)!2(nnnnxy，于是+=+1yxy=21!)!1(nnnnnx=+=221)!1(1nnnxynxnn=02)!(。7.应用幂级数性质求下列级数的和=112)1(nnnn;=121nnn;=+114)2(nnnn;=+022)1(nnn;=+0)12(31)1(nnnn;=22)1(21)1(nnnn;=+01!2)1(nnnn。解解（1）设，令=11)1()(nnn

43、nxxf=111)1()()(nnnnxxxfxg，利用逐项求积分可得 2)1(1)(xxg+=，于是 2)1()(xxxf+=，所以 92)21(2)1(11=fnnnn。60课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（2）设=11)(nnxnxf，利用逐项求导可得 xxf=11ln)(，所以=121nnn=)21(f2ln。（3）首先由逐项求积分可得211)1(1xnxnn=。设，再利用逐项求积分，得到=+=11)2()(nnxnnxf=xdxxf0)(2312)1(xxnxnn=+，于是 32)1()3()(xxxxf=，所以=+=+)41(4)2(11fnnnn2711。（

44、4）设，利用逐项求积分可得=+=02)1()(nnxnxf=xdxxf0)(=+=+01)1(nnxn21)1(xxnxnn=，于是 3)1(1)(xxxf+=，所以=+022)1(nnn12)21(=f。61课后答案网 w w w.k h d a w.c o m（5）设=+=0212)1()(nnnxnxf，令=+=01212)1()()(nnnxnxxfxg，利用逐项求导可得 xxgarctan)(=，于是 xxxfarctan)(=，所以 63)31()12(31)1(0=+=fnnnn。（6）首先由逐项求导可得)1ln()1(11xxnnnn+=+。设=221)1()(nnnxnxf，

45、令=+=2121)1()()(nnnxnxxfxg，则=)(xg=21)1(nnnxn)1ln()1(111xxxnnnn+=+，于是+=xdxxxxxf0)1ln(1)(2141)1ln()1(21+=xxxx，所以=22)1(21)1(nnnn)21(f=23ln4383=。（7）设=+=01!)1()(nnnxnxf，令()()f xg xx=，则 0(1)()!nnxng xxen=，因此()()xf xxg xxe=。所以=+01!2)1(nnnn=)2(f22e。62课后答案网 w w w.k h d a w.c o m8 设正项级数发散，且=1nna=nkknaA10lim=nn

46、nAa，求幂级数的收敛半径。=1nnnxa解解 设幂级数的收敛半径为，的收敛半径为。由 nnnxa=11RnnnxA=12RnnAa 0，可知；又由发散，可知21RR=1nna11R。由于 1limlim1111=+nnnnnnnAaAAA，可知。结合上述关系,得到12=R11=R。9设=122)(nnnxnxf。（1）证明在)(xf21,21上连续，在21,21上可导；（2）在)(xf21=x处的左导数是否存在？证证（1）=122nnnxn的收敛半径为21=R，且在21=x，级数收敛，由 Abel 第二定理，=122nnnxn在21,21上一致收敛，所以=122)(nnnxnxf在21,21

47、 上连续。由于nnxndxd2212=nnxn，且对任意0，=112nnnxn在21,21上 一致收敛，即=112nnnxn在21,21上内闭一致收敛，由函数项级数的逐项求导定理，=122)(nnnxnxf在21,21上可导，且=112)(nnnxnxf。（2）在)(xf21=x处的左导数不存在。令,则xt2=122)(nnnxnxf=12nnnt。令=12)(nnntxg。利用逐项求导 63课后答案网 w w w.k h d a w.c o m定理，可以得到=tduuutg0)1ln()(，其中。应用 LHospital 法则，得到 1,1t21)21()(lim21xfxfx=ttduuu

48、duuut0101)1ln()1ln(12lim+=tttttduuut111)1ln(2lim)1ln(12lim。64课后答案网 w w w.k h d a w.c o m习 题 10.4 函数的幂级数展开函数的幂级数展开 1.求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围：1+2x-3x2+5x3，x0=1;21x，x0=-1;22xxx，x0=0;sin x，x0=6;ln x，x0=2;34x2，x0=0;11+xx，x0=1;(1+x)ln(1-x),x0=0;lnxx+11，x0=0;xx1e,x0=0。解解（1）令tx=1，则 1+2x-3x2+5x3 32)1

49、(5)1(3)1(21+=ttt32512115ttt+=32)1(5)1(12)1(115+=xxx。因为级数只有有限项，所以收敛范围是),(+=D。（2）由)1(111+=xx=+=0)1(nnx，应用逐项求导得到 21x=+=11)1(nnxn=+0)1)(1(nnxn。级数的收敛半径为1=R。当与时，级数发散，所以收敛范围是2=x0=x)0,2(=D。（3）22xxx)1)(2(xxx+=+=xx221131=002)1(31nnnnnnxxnnnnx=+=012)1(131。级数的收敛半径为1=R。当时，级数发散，所以收敛范围是1=x)1,1(=D。（4）sinsin()66xx=+

50、=)6cos(6sinxcossin()66x 1课后答案网 w w w.k h d a w.c o m201(1)()2(2)!6nnnxn=+2103(1)()2(21)!6nnnxn+=+。级数的收敛半径为+=R，所以收敛范围是),(+=D。（5）lnln2(2)xx=+=221ln2lnxnnnnxn)2(2)1(2ln11+=+。级数的收敛半径为2=R。当时，级数为4=x=+11)1(2lnnnn，收敛；当0=x时，级数为=+112lnnn，发散。所以收敛范围是(4,0=D。（6）324x=343221xnnnnxn2023312)1(4=。级数的收敛半径为2=R。当时，级数为2=x