工科数学分析练习题.pdf

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1、 1一、填空题 1.23(,)uf x y zxyyz在点(2,1,1)M处的梯度为_.2.设222()()()Axyz iyxz jzxy k，则divA _.3.设22uxyz在点（1,1,1）处方向导数的最大值是 .4.L是抛物线2yx从点(1,1)A到(1,1)B的一段弧，则dLxy x .5.11(1)3nnnnxn的收敛域为 .6.已知0)1()2ln(nnnxax，02x，则na .7.已知 2()dd()xayxy yxy是某函数的全微分，则常数a .8.设函数2(),01f xxx,而1()sin,nnS xbn xx .其中 102()sin,(1,2,)nbf xn xd

2、xn ,则1()2S 等于_.9.设曲面为922yx介于0z及3z间的部分的外侧，则221)dSxy （.10.设)(uf为可微函数，且,0)0(f则22322201lim()dtxytfxyt .11.设 L 为取正向的圆周224xy，则曲线积分(1)d(2)dxxLy yexyexy .12.设是曲面22yxz介于1,0zz之间的部分，则曲面积分22()dIxyS .13.曲线0453203222zyxxzyx在点(1,1,1)处的切线方程是 .14.球面222yxaz在柱面22xyax内部的部分的表面积A=.15.函数2ln()2uxyzyz在点)1,3,1(处沿方向)1,1,1(l方向

3、的方向导数lu=_.二、选择题 1.考虑二元函数(,)f x y在点00(,)xy 处的下面四条性质：连续；可微；00(,)xfxy与00(,)yfxy存在；00(,)xfxy与00(,)yfxy连续.若用PQ表示可由性质 P 推出性质 Q,则有（）（A）；（B）；（C）；（D）.22.下列级数中,收敛的是()(A)1222)!(nnn；(B)12!nnnnn；(C)22sin1nn；(D)1)2(1nnnn.3.当0k 时,级数21)1(nnknn是()(A)条件收敛；(B)绝对收敛；(C)发散；(D)敛散性与k的值有关.4.设常数0k且21nna收敛，则级数21|(1)nnnank()（A

4、）发散；（B）绝对收敛；（C）条件收敛；（D）敛散性与k有关。5.设1)1(nnna条件收敛,则()(A)1nna收敛,(B)1nna发散,(C)11)(nnnaa收敛,(D)12nna和112nna都收敛.6.设级数1nnu收敛,则必定收敛的级数为()(A)1)1(nnnnu (B)12nnu (C)1212)(nnnuu (D)11)(nnnuu 7.若1)1(nnnxa在2x处收敛,则此级数在1x处()(A)条件收敛,(B)绝对收敛,(C)发散,(D)收敛性不确定.8.设幂级数1nnnxa的收敛半径为 3,则幂级数11)1(nnnxna的必定收敛的区间为()(A)(2,4)(B)2,4

5、(C)(3,3)(D)(4,2)9.设函数2222422,0(,)0,0 xyxyxyf x yxy ,则在点（0，0）处（）（A）连续且偏导数存在；（B）连续但偏导数不存在；（C）不连续但偏导数存在；（D）不连续且偏导数不存在。10.已知曲面224yxz在点 P 处的切平面平行于平面0122zyx，则点 P 的坐标是（）(A)(1,1,2)；(B)(1,1,2)；(C)(1,1,2)；(D)(1,1,2)3三、计算题 1.求曲线222226:xyzzxy上点(1,1,2)M处的切线方程和法平面方程.2.求函数)4(),(2yxyxyxf在由直线0,0,6xyyx所围成的闭区域D上的最值.3.

6、求圆柱面yyx222被锥面22yxz和平面0z割下部分的面积S.4.求抛物面224zxy的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面22(1)1xy内部的部分的体积为最小.5.计算2(223)d(1)dLxxyyxxyy，其中L是从(0,0)O沿曲线2xy 到)1,1(A的弧段.6.求22 dLxys ，其中L是曲线 cossinxattt,sincosyattt(20 t).7.计算曲面积分2222d d()d d(0),ax y zzax yaxyz 其中为下半球面222zaxy 的上侧.8.计算32222d dd dd d()x y zy z xz x yxyz,其中是椭球面2222221xyz

7、abc,取外侧.9 计算曲面积分2d dd dd dxz y zyz z xzx y ，其中 是球面2222xyzR（32RzR ）部分的下侧.10.计算33311d d()d d()d dyyIxy zfyz xfyx yzzyz ，其中)(uf具有连续导数,是球面2222Rzyx的外侧.11.计算二次积分4221lndd1yxyxx.12求22()dxyV ，其中是由曲面)(254222yxz及平面5z所围成的闭区域.13.计算222()d()d()dLyxzIxzxyxyzyz .其中L为球面2224xyz在第一象限的边界曲线，从z轴正向看去为逆时针方向.14.计算22dd()dLIx

8、xy yxyz .其中L为抛物面221zxy 在第一象限的边界曲线，从 z 轴正向看去为逆时针方向.15.计算32ddd3LxIx y xyxy z .其中曲线L：22221xyzyx 从z轴正向看去为逆时针方向.416.计算()d()d()dLIyzxzxyxyz ，其中L为球面2222xyzR与平面tan(0)2yx 的交线，从x轴正向看去为逆时针方向.22(cossin)IR 17.求幂级数11nnxn n 的收敛区间及和函数.18.求幂级数 112!nnnnxn 的收敛区间及和函数。19.将函数21()2f xxx展开成 1x 的幂级数.20.将0arctan()dxxf xxx 展开为x的幂级数.四、证明题 1.证明：若lim0nnnaa，则级数1nna发散；2.若limnnnaa，且级数11()nnnn aa收敛，其和为，证明级数1nna收敛，并求和.3.设正项数列na单调下降,且1)1(nnna发散,证明:级数11)1(nnnaa收敛.4.设正项数列na,nb满足11(0nnnnabba 为常数),证明:级数1nna收敛.5.设)(uf有连续导数,L是上半平面上从点A（a，b）到B（c，d）的直线段，22211()d()1dLxIy f xyxy f xyyyy.试证：当cdab 时，badcI.