((完整版))三角函数及解三角形知识点总结-推荐文档.pdf

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1、1.任意角的三角函数的定义任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，P是的终边上的任意一点（异(,)x y于原点），它与原点的距离是，那么，220rxysin,cosyxrr tan,0yxx 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。2.三角函数在各象限的符号：三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）sincostan3.3.同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：22221sincos1,1tancos（2）商数关系：（用于切化弦）sintancos平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换4.三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式

2、roxya的 的 的P（x,y)诱导公式（把角写成诱导公式（把角写成形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）2k）xxkxxkxxktan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(）xxxxxxtan)tan(cos)cos(sin)sin(sin)2cos(cos)2sin(sin)2cos(cos)2sin(5.5.特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值度030456090120135150180270360弧度06432233

3、456322sin012223213222120106.6.三角函数的图像及性质三角函数的图像及性质sinyxcosyxtanyx图像定义域RR,2x xkkZ值域1,11,1R最值当时，22xkkZ；max1y当时，22xkkZmin1y 当时，2xkkZ；当max1y2xk时，kZmin1y 既无最大值也无最小值周期性22奇奇函数偶函数奇函数cos13222120122232101tan03313无31330无0偶性单调性在2,222kk上是增函数；kZ在32,222kk上是减函数kZ在上2,2kkkZ是增函数；在2,2kkkZ上是减函数在,22kk上是增函数kZ对称性对称中心,0kkZ对

4、称轴2xkkZ对称中心,02kkZ对称轴xkkZ对称中心,02kkZ无对称轴7.7.函数函数图象的画法图象的画法：sin()yAx“五点法”设，令0，求出相应的值，计算得出五XxX3,222x点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。8.图像的平移变换图像的平移变换：函数函数的图象与的图象与图象间的关系图象间的关系：sin()yAxksinyx要特别注意特别注意，若由得到的图象，则向左或向右平移应平移sinyxsinyx个单位|例例：以变换到为例sinyx4sin(3)3yx向左平移个单位（左加右减）sinyx3sin3yx横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）13sin 33y

5、x纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）sinyx13 sin 3yx向左平移个单位（左加右减）9sin39yxsin 33x纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）4sin 33yx注意：在变换中改变的始终是 x。9 9、三角恒等变换、三角恒等变换1.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式：两角和与差的正弦、余弦、正切公式：(1）cossincossin)sin(2）cossincossin)sin(3）sinsincoscos)cos(4）sinsincoscos)cos(5）tantan1tantan)tan(tantantan1 tanta

6、n(6）tantan1tantan)tan(tantantan1tantan(7)=(其中,辅助角所在象限由点所在的象sincosab22sin()ab(,)a b限决定,，该法也叫合一变形).2222sin,cos,tanbabaabab(8)4tan(tan1tan1)4tan(tan1tan11010、二倍角公式、二倍角公式（1）aaacossin22sin （2）1cos2sin21sincos2cos2222aaaaa（3）aaa2tan1tan22tan 11.11.降幂公式：降幂公式：（1）22cos1cos2aa （2）22cos1sin2aa 12.12.升幂公式升幂公式（1

7、）（2）2cos2cos122sin2cos12（3）（4）2)2cos2(sinsin122cossin1（5）2cos2sin2sin13.13.三角变换：三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：)sin(cossin22baba其中2222sin,cosbabbaa，比如：xxycos3sin)cos)3(13sin)3(11()3(1222222xx )cos23sin21(2xx)3sincos3cos(sin2xx)3sin(2x注意:“凑角”运用：，121414、三角形中常用的关系：、三角形中常用的关系：)sin(sinCBA，)cos(cosC

8、BA，2cos2sinCBA，)(2sin2sinCBA，)(2cos2cosCBA常见数据：常见数据：6262sin15cos75,sin75cos1544 ，,3215tan3275tan1515、正弦定理：在、正弦定理：在中，中，、分别为角分别为角、的对边，的对边，为为CAabcACR的外接圆的半径，则有的外接圆的半径，则有（R R 是三角形外接圆半是三角形外接圆半CA2sinsinsinabcRCA径）径）注：正弦定理的变形公式：注：正弦定理的变形公式：，；2 sinaRA2 sinbR2 sincRC，；sin2aRA sin2bR sin2cCR:sin:sin:sina b cC

9、A1616、余弦定理：在余弦定理：在中，有中，有CA，2222cosabcbcA2222cosbacac2222coscababC注：余弦定理的推论：注：余弦定理的推论：，222cos2bcabcA 222cos2acbac 222cos2abcCab1717、三角形面积公式：、三角形面积公式：111sinsinsin222CSbcabCacAA 两两两两两两两两两两两两21ABCS 两两21ABCS注：（注：（1 1）如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为直角；直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；

10、如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第（课本第 6 6 页右下角）页右下角）例如例如、是是的角的角、的对边，则：的对边，则：若若，则，则abcCAAC222abc；90C 若若，则，则，C C 为钝角为钝角222abc18090C若若，则，则；C C 为锐角为锐角222abc900C（2 2）在三角形中一些重要的知识点；）在三角形中一些重要的知识点；1.1.,CBA)0(,两CBA2.2.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。3.3.大角对大边，小角对小边，等角对等边。大角对大边，小角对小边，等角对等边。4.4.在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。在三角形中，如果某一边不是最大的边，那么这条边所对的角一定是锐角。5.5.在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，在三角形中，如果某一边是最大的边，那么它所对的角可能是锐角，直角，钝角。钝角。