非等间距序列的灰色模型.pdf

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1、第33卷第10期2003年10月数学的实践与认识MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORYVol133No110Octo.,2003非等间距序列的灰色模型王钟羡1,吴春笃2,史雪荣3(11 江苏大学理学院力学系,江苏 镇江212013;南京理工大学理学院,南京210094)(2.江苏大学生物与环境工程学院,江苏 镇江212013)(3.盐城师范学院数学系,江苏 盐城224002)摘要:在对原始数据序列的一次累加生成时,考虑序列的间距,提出了对非等间距序列建立GM(1,1)模型的基本理论和方法.通过对算例进行的计算,表明本文提出的方法概念明确、计算方便、有较高

2、的拟合和预测精度.对解决各个领域中广泛存在的非等间距序列的建模拟合和预测问题提供了一种比较好的方法.关键词:非等间距序列;灰色模型;预测;拟合1绪言收稿日期:2002210231基金项目:江苏省自然科学基金资助项目(项目编号:BK99109)灰色系统理论自创建以来,在各个领域得到了广泛的应用.但是灰色系统模型的建立大多基于等间距序列.而在实际工作中所得到的原始数据往往是非等间距的序列,因此建立非等间距序列的GM(1,1)模型有广泛的现实意义.文1通过在原来非等间距序列中添加线性插值得到等间距序列后,建立了GM(1,1)模型.本文研究表明,若在对原始数据序列的一次累加生成(1-A GO)时,考虑

3、序列的间距并将其作为乘子,则建立非等间距序列的GM(1,1)模型的方法与等间距序列相同.本文对文2给出的算例进行了计算.结果表明本文提出的方法概念明确、计算方便、有较高的拟合和预测精度.2非等间距序列灰色模型的建立2.1基本理论定义1设序列X(0)(ki)=x(0)(k1),x(0)(k2),x(0)(kn),若间距ki=ki-ki-1,i=2,3n(1)不为常数,则称X(0)(ki)为非等间距序列.定义2设序列X(1)(ki)=x(1)(k1),x(1)(k2),x(1)(kn),若其中x(1)(ki)=ij=1x(0)(kj)kj,i=1,2n(2)则称X(1)(ki)为非等间距序列X(0

4、)(ki)的一次累加生成(1-A GO)序列.定理1非等间距序列X(0)(ki)若按公式(2)构造一次累加生成序列X(1)(ki),则对生成序列建立的白化微分方程dx(1)(t)dt+ax(1)(t)=u,t0,)(3)的离散化方程可表示为 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/x(0)(ki+1)=aZ(1)(ki+1)+u,i=1,2n-1(4)其中Z(1)(ki+1)为x(1)(t)在离散区间ki,ki+1上的背景值.证明将生成序列X(1)(ki)的白化

5、微分方程dx(1)(t)dt+ax(1)(t)=u,t0,)在区间ki,ki+1上积分,则有ki+1kidx(1)(t)+aki+1kix(1)(t)dt=uki+1kidtx(1)(ki)=ij=1x(0)(kj)kjki+1kidx(1)(t)=x(1)(ki+1)-x(1)(ki)=x(0)(ki+1)ki+1又x(1)(t)在区间ki,ki+1上的背景值为Z(1)(ki+1)aki+1kix(1)(t)dt=aki+1kiZ(1)(ki+1)dt=aZ(1)(ki+1)ki+1x(0)(ki+1)=aZ(1)(ki+1)+u证明完毕.定理2对于公式(2)构造的一次累加生成序列X(1)(

6、ki)的白化微分方程dx(1)(t)dt+ax(1)(t)=u若规定t=k1时,x(1)(k1)=x(0)(k1).则其响应函数为x(1)(ki)=x(0)(k1)-uae-a(ki-k1)+ua,i=1,2,(5)还原后模型表达式为x(0)(ki+1)=1ki+1(1-eaki+1)x(0)(k1)-uae-a(ki+1-k1),i=1,2,(6)证明对于微分方程dx(1)dt+ax(1)=u若令p=x-ua则有dpp=-adt即p=e-at+c令c0=ec则有p=x-ua=c0e-at由(2)式:当t=k1时,x(1)(k1)=x(0)(k1),故c0=x(0)(k1)-uaeak1即71

7、10期王钟羡,等:非等间距序列的灰色模型 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/x(1)(t)=x(0)(k1)-uae-a(t-k1)+ua对一次累加生成序列X(1)(ki),则有x(1)(ki)=x(0)(k1)-uae-a(ki-k1)+ua又x(1)(ki+1)-x(1)(ki)=x(0)(ki+1)ki+1x(0)(ki+1)=1ki+1x(1)(ki+1)-x(1)(ki)=1ki+1(1-eaki+1)x(0)(k1)-uae-a(ki+1-k1

8、)证明完毕.由定理1可知,在按公式(2)建立累加生成序列X(1)(ki)后,就可以用等间距序列的建模方法,建立非等间距序列的GM(1,1)模型.具体步骤如下:1)按公式(1)求非等间距序列的间隔ki(i=2,3n);2)按公式(2)求一次累加生成(1-A GO)序列X(1)(ki)=x(1)(k1),x(1)(k2),x(1)(kn);3)用最小二乘法求生成序列X(1)(ki)的白化微分方程中的待辩识参数a、u,即a=a,uT=BTB-1BTyn其中yn=x(0)(k2),x(0)(k3),x(0)(k4),x(0)(kn)TB=-Z(1)(k2)1-Z(1)(k3)1?-Z(1)(kn)1其

9、中Z(1)(ki)称为x(1)(t)在区间ki-1,ki上的背景值.4)将参数a、u代入还原模型式(6),计算X(0)(ki)的估计值X(0)(ki).3模型检验方法设(ki)=x(0)(ki)-x(0)(ki),i=1,2n为模型的残差,x=1nni=1x(0)(ki),s21=1nni=1(x(0)(ki)-x)2分别为X(0)(k)的均值和方差,=1nni=1(ki),s22=1nni=1(ki)-)2分别为残差的均值和方差,则1.C=s2s1称为均方差比值.对给定的C0 0,当CC0时,称模型为均方差比合格模型.2.p=P(k)-0,当pp0时,称模型81数学的实践与认识33卷 199

10、4-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/为小误差概率合格模型.表1给出了精度检验等级.表1精度检验等级参照表精度等级指标临界值相对误差 0(%)均方差比值C0小误差概率p0一级0.010.350.95二级0.050.500.80三级0.100.650.70四级0.200.800.604算例为便于比较,本文采用文2的算例.算例中给出的钛合金疲劳强度随温度的变化数据见表1.在这里用表2数据直接建立模型,因此可令ki=100,130,170,210,240,270,310,

11、340,380表2钛合金疲劳强度与温度的关系温度(T?C)100130170210240270310340380疲劳强度-1560.00557.54536.10516.10505.60486.10467.40453.80436.40背景值采用传统GM(1,1)模型的两点平滑计算公式Z(1)(ki+1)=x(1)(ki+1)+x(1)(ki)2(7)采用本文提出的方法,用M atlab编程计算可得a=0100098、u=566103340,拟合结果及模型精度见表3、4.当采用文2的方法,计算得a=01001126、u=161831676,拟合结果及模型精度同样见表3、4.从表中结果可知,本文方法

12、的模型精度要比文2方法的高.表3几种方法拟合值及误差(%)用原始数据拟合用变换数据拟合本文方法文2方法本文方法文2方法拟合值相对误差拟合值相对误差拟合值相对误差拟合值相对误差5600560056005600557.210.059554.820.131563.04-0.986541.322.91538.35-0.419536.49-0.357537.06-0.180557.34-3.96517.55-0.282516.28-0.231512.31-0.734527.94-2.29500.011.106499.201.147494.282.239480.005.06485.450.134485.0

13、20.166481.201.008468.503.62469.02-0.346469.01-0.323468.26-0.184476.27-1.90453.110.151453.490.164457.30-0.772447.691.35437.78-0.315438.52-0.312448.17-2.698453.103.83若按文2的方法,对原始数据进行如下处理:t=T?50-1;X0=(-1-400)?50即ki=1,1.6,2.4,3.2,3.8.4.4,5.2,5.8,6.6x0(ki)=3.2,3.1508,2.722,2.322,2.112,1.722,1.348,1.076,0.

14、728用本文方法,计算得到a=0124896、u=41307046.用文2方法,计算到a=0125865、u=519133149,两种方法的拟合结果及模型精度同样见表3、4.从表中结果可知,即使对原9110期王钟羡,等:非等间距序列的灰色模型 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/始数据变换后,本文方法的模型精度仍要比文2方法的高.表4几种模型的精度方法平均相对误差均方差比值C小误差概率p模型等级原始的数据变换的数据本文方法0.00310.0531.00一级文

15、2方法0.12691.6010.11四级本文方法0.00980.0391.00一级文2方法0.02770.0981.00二级从表3、4的结果可以看出本文的方法由于考虑了序列间距的影响,因此模型精度有较大的提高.4结论本文给出了建立非等间距GM(1,1)模型的基本理论和基本方法.通过对算例的计算,表明提出的方法概念明确、计算方便、有较高的拟合和预测精度,是一种比较好的方法.对解决各个领域中存在的非等间距序列的建模拟合和预测问题具有广泛的使用价值.参考文献:1傅立著.灰色系统理论及其应用M.北京:科技文献出版社,1992.2罗佑新,周继容.非等间距GM(1,1)模型及其在疲劳试验数据处理和疲劳试验

16、在线检测中的应用J.机械强度,1999,18(3).A GrayM old for Non-equidistant SequenceWAN G Zhong2xian1,WU Chun2du2,SH IXue2rong3(1.Faculty of Science,Jiangsu U niversity,Zhenjiang Jiangsu 212013,China;School of Science,NU ST,N anjing 210094,China)(2.School of Biological and Environmental Engineering,Jiangsu U niversit

17、y,Zhenjiang Jiangsu212013,China)(3.Department ofM athematics,Yancheng TeachersCollege,Yancheng Jiangsu 224002,China)Abstract:Considering the spacing interval in pri mary accumulating generating of pri m itivedata sequence,the basic theory and approach for establishing aGM(1,1)model for non2equidista

18、nt sequence are presented,Examples show that the approach raised is definite inconcept,convenient in calculation,good in fitting and precise in prediction,thus providing agood solution to the problem sof fitting and prediction in establishingmodels for non2equidistantsequence.Keywords:Non2equidistant Sequence;grey model;prediction;fitting02数学的实践与认识33卷 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/