2123第二章 系统的数学模型--1--3节 控工胡月明--2014.pdf

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1、1第二章系统的数学模型第一节 复数与复变函数含义第节 复数与复变函数含义一、复数的表示1、实、虚部普通表示法例如：emZajbRZjIZ emZajbRZjIZ 它们实部相等，虚部符号相反，互为共轭复数，（即模相等，幅角相反）。特殊情况：当 a=0 时，此时复数Z为纯虚数。当 b=0 时，此时复数Z为实数。一、复数的表示2、极坐标表示法例如：3指数表示法22arctanbZabra3、指数表示法例如：4、矢量表示法表示为 S 复平面上的一点或一向量。arctan22bjjaZab er e 二、普通形式与指数形式的转换 emZajbRZjIZ22arctanbZabrabj sincosrZI

2、rZRme 22arctanemmerR ZIZIZR Zarctan22jjaZab er e 三、复数的运算设：111jerZ 222jerZ 则：（模相乘，幅角相加）（模相除，幅角相减）212121jerrZZ212121jerrZZ2四、复变函数的零极点 复变函数 F(s)是指自变量为复变量s=+j 的函数。例：例：当当 s=+j 时，求复变函数时，求复变函数 F(s)=s2+1 的实部的实部 u 和虚部和虚部 v。解：解：复变函数的实部122u复变函数的虚部2vF(s)s2+1(+j)2+12+j(2 )-2+1(2-2+1)+j(2 )四、复变函数的零极点 零点：使 F(s)=0

3、的点（即 F(s)的分子为零的解）极点：使 F(s)=的点（即 F(s)的分母为零的解）例：求函数的零极点。解：令 F(s)=0 的点：s1=1,s2=2，（二个零点）令F(s)=的点：s1=0,s2=3,s3=4（三个极点）32432110SSSSSsF第二节 典型输入第二节 典型输入 一般在无任何外作用时，系统处于平衡状态，当系统受到外作用后（可能是有用信号或干扰信号）其输出量将打破平衡发生变化。为了研究问题的方便，统一评定标准，以便进行横向比较，人为的给定了一些典型的输入信号。典型输入信号 的特点：典型输入信号 的特点：123、现场或实验室中易产生易获得。、工作中常遇到的，且能表示出系统

4、在实际工作条件下的性能。、数学表达式简单，便于理论计算和处理。一、阶跃信号阶跃信号表征系统信号输入的突变，如模拟电源突然接通、负荷突然变化、指令突然转换等。R00()tr t)(tr当 R=1 时称为单位阶跃信号,其数学表达式为00()1()1 0tr ttt()0Rtto0000()1()1 ttr ttttt若起始时间从t0开始，此时单位阶跃函数的数学表达式为0()1()r ttt1t)(tro0t3二、斜坡函数（速度函数）斜坡信号表征的是匀速变化的信号。)(tr00()0tr tRtt当 R=1 时称为单位斜坡函数,其数学表达式为0 0()0tr tttt0Rtt o三、抛物线函数（加速

5、度函数）单位加速度信号表征的是匀加速变化的信号。)(tr200()102tr tRtt当 R=1 时称为单位抛物线函数,其数学表达式为200()102tr tttt2o在许多工程实际中，常常会遇到具有冲击性质的物理量（即是一种集中在极短时间内作用的量）。例如：四、单位脉冲函数 在力学中，研究机械系统受冲击力作用后的运动情况。在电学中，研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流等等。要研究此类问题就会产生需要脉冲函数。如：在一个原来电流为零的电路中，设某一瞬时(设 t=0)输入一单位电量的脉冲，现请确定此时电路的电流 i(t)。解：现用 q(t)表示上述电路中的电量，则:四、单位脉冲函数 001

6、0tq tt由于电流强度是电量对时间的变化率，即:0limtdq tq ttq ti tdtt 所以：当 t 0 时，i(t)=0；当 t=0 时 000010limlimttqtqitt 上式表明：在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路中的电流强度，为此，我们引进一个新的函数:脉动函数R c(t)设当变化时，函数 R c(t)为一函数序列，当 0 时的极限0 0000ctRRttt 0limctRtRt当R=1 时称其为单位脉冲函数（狄拉克函数），记为(t)函数。单位脉冲函数是一个广义函数，没有普通意义下的函数值，所以它不能用通常意义下的“值的对应关系”来定义。0()00t

7、tt4(t)的图形如图所示,在工程中常用一个长度等于1的有向线段来表示它,该线段的长表示它的积分值,称为它的脉冲强度。显然，对任何 0，有 011ct dtdt所以同时单位脉冲函数也看做是单位阶跃函数的导函数 1t dt所以也可推出 0000111limttttttt 00000000000001111limlim1lim1ttttttttttdtdt dtttdttt五、正弦函数（谐波函数）对系统进行频域分析时，选用正弦信号作为系统的输入信号，分析系统的稳态响应。00()sin()0tr tRtt2ww第三节 拉普拉斯变换第三节 拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换的定义是本课程数学基础，其优点是能

8、将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量 s s 的乘积，（即将时间表示的微分方程，变成以 s s 表示的代数方程。）定义：设有实变数t 的连续函数函数f(t)，当t 0时，f(t)0；在t 0时有固定单值，定义函数f(t)的拉普拉斯变换0()()d()stF sf t etf tL复变量原函数象函数拉氏变换符号拉普拉斯变换拉普拉斯变换：在一定条件下，把实数域中的实变函数f(t)变换到复数域内与之等价的复变函数F(s)。0；在t 0 时有固定单值，定义函数f(t)的拉普拉斯变换为：一、拉普拉斯变换的定义0()()d()stF sf t etf tL复变量原函数象函数拉氏变换符号称：实数域中的实

9、变函数f(t)是复变函数F(s)的拉式反变换，记为：1()()f tF sL5拉氏变换是否存在取决于定义的积分是否收敛。拉氏变换存在的条件：当t 0 时，f(t)要连续，至少分段连续（有限段）当t 0)象函数F(s)=L f(t)1(t)(单位脉冲函数)121(单位阶跃函数)1s(单位阶跃函数)s3K(常数)Ks4t(单位斜坡函数)1s2序号原函数f(t)(t 0)象函数F(s)=L f(t)5tn(n=1,2,)n!sn+16e-at1s+a7tne-at(n=1,2,)n!(s+a)n+18sints2+29costss2+2二、拉普拉斯变换的基本性质1、线性性质若、是任意两个复常数，且：

10、11()(),f tF sL22()()f tF sL证明：12120()()()()dstf tf tf tf tetL0201d)(d)(tetftetfstst)()(21sFsF则：1212()()()()f tf tF sF sL2、实位移定理（延迟定理）若：()()asf taeF sL证明：拉式变换若存在则则：()()f tF sL()0f tata0()()dstf taf ta etta令L()00()d()d()saassasfeefeeF s2、实位移定理（延迟定理）若：()()asf taeF sL注意：该定理存在条件则：()()f tF sL所以上述定理应该严格表示为

11、：在不引起混淆的情况下可以省略1020taf taa、时、1asf tataeF sLat 18例：试比较求sin,sin1333tttLL例：试比较求解：sin,sin1333tttLL 13sinsinsincos33221tttttLLL两者的不同是由于原函数的积分起点不一致造成。2221321213121sssss332sin1si31n31ssettesLtL3、复位移定理（求反变换很有用）若：()()atef tF sa L证明证明：则：()()f tF sL证明证明：0()()datatstef tf t eet L()0()ds a tf t et)(asF例例1 1：解：1(

12、)3F sf ts已知，求。11 ts已知：L则：33311ts stetsf te L例例2 2：()sinatf tewtF s已知，求。例例2 2：解：已知()sinatf tewtF s已知，求。22sinwwtswL则：2222(sinats s aF sewtwswwsaw）L9例例3 3：()tf tteF s已知，求。例例3 3：解：已知()tf tteF s已知，求。21tsL则：212111ts se tss L4、微分定理若：()()(0)f tsF sfL证明：则：()()f tF sLf(0)是t=0 时的f(t)值()()dstf tf t etL0000()()d

13、d()()()d()(0)stststf tf t etef tef tsf t etsF sfL同理，对于二阶导数的拉普拉斯变换：扩展：2()()(0)()fts F ssff tL12321()()(0)(0)(0)()()nnnnnnnfts F ssfsfsfsftft L例例1 1：解：已知()cosf twtF s已知，求。22sinwwtswL则：0221(cossin1sinsintF swtwtwswtwtwssw?）LLL5、终值定理若：则：)(lim)(lim0ssFtfst()()f tF sL证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有t000lim()dlim()(0)st

14、ssf tetsF sf由于，上式可写成1lim0stse00()dlim()(0)sf ttsF sf)0()(lim)0()(lim0fssFftfst写出左式积分105、终值定理若：则：)(lim)(lim0ssFtfst()()f tF sL定理存在的条件：从t 定义域看，当t 时，f(t)有意义（有极限）。从s定义域看，若已知F(s)时，当sF(s)的分母多项式之根（极点）位于不包括虚轴（原点除外）的左半s平面时，定理成立。注意：极点在原点时，系统稳定于某值，有极限存在，但其值通常偏离预定平衡点，工程实际中常认为其不可用。例例1 1：1limtF sf tsa已知，求。例例1 1：解

15、：由终值定理 1limtF sf tsa已知，求。00lim()lim()limtsssf tsF ssa则：（1）当a0 时，s=a，（2）当a0 时，s 位于右半平面，无极限。（3）当a=0 时，sF(s)=1，lim()0tf tlim()1tf t事实上：atf te。0lim0lim0attsesF sa 000limlim00lim1lim0attstsesF saesF sa 三、拉普拉斯反变换1、拉普拉斯反变换的定义将象函数F(s)变换成与之相对应的原函数f(t)的过程，称之为拉普拉斯反变换。其公式：拉氏反变换的求算有多种方法，如果是简单的象函数，可直接查拉氏变换表；对于复杂的

16、，可利用部分分式展开法部分分式展开法。jjd)(j21)(aaatsesFtf简写为：1()()f tF sL 如果把f(t)的拉氏变换F(s)分成各个部分之和，即)()()()(21sFsFsFsFn 假若F1(s)、F2(s)，Fn(s)的拉氏反变换很容易由拉氏1()2()n()变换表查得，那么11111212()()()()()()()()nnf tF sF sF sF sf tf tf tL L L L 11例：解：2123sF sf tss已知，求。2222211123212s ssssF sssss 应用复位移性质 atef tF sa L 11221cos212tsf tF se

17、tsL L 但是：当F(s)不能很简单地分解成各个部分之和时，则采用部分分式展开法将F(s)分解成各个部分分式之和，然后对每一部分查拉氏变换表得到其每一部分对应的拉氏反变换对每部分查拉氏变换表，得到其每部分对应的拉氏反变换函数，最后将得出的所有每一部分对应的拉氏反变换函数叠加起来就是要得的F(s)的拉氏反变换f(t)函数。2、部分分式展开法在系统分析问题中，F(s)常具有如下形式：)()(sBsAsF式中A(s)和B(s)是s 的多项式，B(s)的阶次较A(s)阶次要高。对于这种称为有理真分式的象函数F(s)，分母B(s)应首先进行因式分解，才能用部分分式展开法，得到F(s)的拉氏反变换函数。

18、)(sB将分母B(s)进行因子分解，写成：12()()()()()()nA sA sF sB sspspsp式中，p1，p2，pm称为B(s)的根，或F(s)的极点，它们可以是实数，也可能为复数。如果是复数，则一定成对共轭的。下面分二种情况讨论(1)分母B(s)无重根此时，F(s)总可以展成简单的部分分式之和。即 12()()()()()()nA sA sF sB sspspsp12()()()()nppp1212nnaaaspspsp式中，ak(k=1,2,n)是常数(待定系数）系数ak称为极点s=pk处的留数。k12kkk12()()()()()spaaA sspspspB sspspak

19、的值可以用在等式两边乘以(s+pk)，并把 s=pk代入的方法求出。即kkknkknk()()spasaspsppspa12在所有展开项中，除去含有ak的项外，其余项都消失了，因此留数ak可由下式得到k()a()()kA sspB sksp()B s因为f(t)时间的实函数，如p1 和p2 是共轭复数时，则留数1 和2 也必然是共轭复数。这种情况下，上式照样可以应用。共轭复留数中，只需计算一个复留数1(或2)，而另一个复留数2(或1)，自然也知道了。例1:求F(s)的拉氏反变换f(t)，已知 2332ssssF解：解：21)2)(1(3233212sssssssssF)(由留数的计算公式，得2

20、)2)(1(3)1(11sssss223(2)1(1)(2)sssss 因此 11121()12f tF sssL L L 查拉氏变换表，得2()2ttf tee解：分母多项式可以因子分解为2 521222ssssF例2:求F(s)的拉氏反变换f(t)，已知225(12)(12)sssjsj 进行因子分解后，可对F(s)展开成部分分式 122212251212sF ssssjsj 112212(12)(12)(12)sjssjsjsj 2122(12)12sj 由留数的计算公式，得24 121041045112 12442jjjjjjj 12(12)(12)12sjsjjj 由于2 与1 共轭

21、，故2512j 所以 11551122()12125511jjf tF ssjsjjj L L 11(12)(12)22121255()(1)(1)22jtjtjjsjsjf tjeje L L13(12)(12)55()(1)(1)22jtjtf tjeje(12)(12)(12)(12)52jtjtjtjteejee22225()()tj tj ttj tj tj2222()()2tj tj ttj tj teeejeee222222j 522j tj tj tj ttteeeeeejtetett2sin52cos2下面再举一例子看另一种求法解：因子分解为 2311ss 211sF ss

22、ss 例3:求F(s)的拉氏反变换f(t)，已知 23122111ssF sssss ss 求K1 1200111sSsF ssss 求其根2求2，3212311ssssss 221 213411 4132222jbbacjsa ，令132js 2231313131311322132jjjjjj 232223332213313422113322242222jjj 23231112223332221 2323231110 223122211122113221111331223sF ssssssssssss 22222222131322313132222122313132222sssssss14

23、2222131322313132222sF ssss 11223331cossin232ttf tetet(2)分母分母 B(s)有重根有重根若有三重根，并为p1，则F(s)的一般表达式为 3123()()()()()nA sF sspspspsp11321123111pspsps式中系数2,3,n仍按照上述无重根的方法(留数计算公式)，而重根的系数11,12,13可按以下方法求得。3223nnspspsp131111()()0spspF s！131211d()()1dspspF ss！231d()()F131312()()2dspspF ss！依此类推，假如有k个p1重根，则广义式为：111

24、1d()()!drkirspspF srs0,1,2,11,2,rkik例4:已知F(s)，求L-1F(s)。32132）（ssssF解 32s1312112ssF 1111233sssssF）（p1=1，p1有三重根。由上述公式2)1(32)1(132311sssss02232)1(d23ssss022)1()1(d11312ssssss 1221)1(32)1(dd21113232213sssssss！1()f tF sL 11132201111sss（）（）（）L L L 有因此，得：ttteteettf）（10)(22查拉氏变换表，有151:已知，求f(t)。2243sF sss作业作业作业作业 312ttf tee2:已知，求f(t)。24321sF sss 22884tttf teete