((完整版))三角函数图像与性质知识点总结-推荐文档.pdf

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1、函数函数图图像与性像与性质质知知识识点点总结总结1 1、三角函数图象的性质三角函数图象的性质1 1“五点法五点法”描图描图(1)(1)y ysinsin x x的图象在的图象在0,20,2上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为 (0,0)(0,0)(，0)0)(2(2，0)0)(2，1)(32，1)(2)(2)y ycoscos x x的图象在的图象在0,20,2上的五个关键点的坐标为上的五个关键点的坐标为 (0,1)(0,1)，(，1)1)，(2(2，1)1)(2，0)(32，0)2.2.三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质函数函数性质性质y ysinsin x xy ycosco

2、s x xy ytantan x x定义域定义域R RR R x x|x xk k，k k2ZZ图象图象 值域值域 1,11,1 1,11,1R R对称性对称性对称轴：对称轴：x xk k(k kZ)Z)；2对称中心：对称中心：(k k，0)(0)(k kZ)Z)对称轴：对称轴：x xk k(k kZ)Z)对称中心：对称中心：(k k，0)0)2(k kZ)Z)对称中心：对称中心：(k2，0)(k kZ)Z)周期周期2222单调性单调性单调增区间单调增区间_ _22k k，2 2k k2(k kZ)Z)；2单调减区间单调减区间22k k,2,2k k 232(k kZ)Z)单调增区间单调增区间

3、22k k，2 2k k (k kZ)Z)；单调减区间单调减区间22k k，2 2k k(k kZ)Z)单调增区间单调增区间(k k，k k)22(k kZ)Z)奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数3.3.一般地对于函数一般地对于函数f f(x x)，如果存在一个非零的常数，如果存在一个非零的常数T T，使得当，使得当x x取定义域内的取定义域内的每一个值时，都有每一个值时，都有f f(x xT T)f f(x x)，那么函数，那么函数f f(x x)就叫做周期函数，非零常数就叫做周期函数，非零常数T T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期叫做这个函数的周

4、期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的函数的周期一般指最小正周期周期一般指最小正周期)4.4.求三角函数值域求三角函数值域(最值最值)的方法：的方法：(1)(1)利用利用 sinsin x x、coscos x x的有界性；的有界性；关于正、余弦函数的有界性关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是由于正余弦函数的值域都是 1,11,1，因此对于，因此对于 x xRR，恒有，恒有1sin1sin x x11，1cos1cos x x11，所以，所以 1 1 叫做叫做y ysinsin x x，y ycoscos x x的上确界，的上确界，1 1 叫做叫做y ysinsin

5、 x x，y ycoscos x x的下确界的下确界.(2)(2)形式复杂的函数应化为形式复杂的函数应化为y yA Asin(sin(xx)k k的形式逐步分析的形式逐步分析xx的范的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响最值的影响.(3)(3)换元法：把换元法：把 sinsin x x或或 coscos x x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最最值值)问题问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：利用换元法求三角函数最值时

6、注意三角函数有界性，如：y ysinsin2 2x x4sin4sin x x5 5，令，令t tsinsin x x(|(|t t|1)|1)，则，则y y(t t2)2)2 21111，解法错误，解法错误.5.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y yA Asin(sin(xx)(0)0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x x所在的区间所在的区间.应特别注意，应应特别注意，应在函数的定义域内考虑在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同注意区分下列两题的单调增区间不同;利

7、用换元法求复合利用换元法求复合函数的单调区间函数的单调区间(要注意要注意x x系数的正负号系数的正负号)(1)(1)y ysinsin；(2)(2)y ysinsin.(2x4)(42x)6 6、y yA Asin(sin(xx)B B的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：虑：A A的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即A A；最最高高点点最最低低点点2B B的确定：根据图象的最高点和最低点，即的确定：根据图象的最高点和最低点，即B B；最最高高点点最最低低点点2的确定：结合图象，先求出周期，然后由的确

8、定：结合图象，先求出周期，然后由T T(0)0)来确定来确定；2的确定：把图像上的点的坐标带入解析式的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y yA Asin(sin(xx)B B，然后根，然后根据据 的范围确定的范围确定 即可，例如由函数即可，例如由函数y yA Asin(sin(xx)K K最开始与最开始与x x轴的轴的交点交点(最靠近原点最靠近原点)的横坐标为的横坐标为(即令即令xx0 0，x x)确定确定.二、三角函数的伸缩变化二、三角函数的伸缩变化先平移后伸缩先平移后伸缩的图象的图象sinyx 向左(0)或向右(0)平移个单位长度得得的图象的图象sin()yx()横坐标伸长(0 1)1到

9、原来的纵坐标不变得得的图象的图象sin()yx()AAA 纵坐标伸长(1)或缩短(0 1)为原来的倍横坐标不变得得的图象的图象sin()yAx(0)(0)kkkA AA A AA AA A A A A得得的图象的图象sin()yAxk先伸缩后平移先伸缩后平移的图象的图象sinyx(1)(01)AAA 纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得得的图象的图象sinyAx(01)(1)1()横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得得的图象的图象sin()yAx(0)(0)向左或向右平移个单位得得的图象的图象得得的图象的图象sin()yAxx(0)(0)kkk 向上或向下平移个单位长度sin()yAxk .