变式取向从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对.pdf

《变式取向从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《变式取向从“标准模式”到“非标准模式”——以“轴对.pdf（3页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2 0 1 4 年3 月教学导变式取向：从“标准模式如到“非标准模式”以“轴对称最值问题”解题教学为例江苏省如东县岔河镇岔南初级中学季卫东查阅各地中考、期中(末)试题，不难发现：“轴对称最值问题”一直是高频考点怎样做好这类最值问题的复习也是广大备考师生的重要工作本文基于从“标准模式”到“非标准模式”的变式取向，谈谈与此相关的解题教学建议，与同行开展复习研讨一、何谓“标准模式 与“非标准模式郑毓信教授在文l 中指出：“变式教学是中国数学教学传统中十分重要的一个重要组成部分”，并对教师开展变式教学提出如下的教学建议：“在数学概念的教学中，除去所谓的概念变式与标准形式以外，教师还应有意识的引入相应的

2、非概念变式和非标准形式”，并引用图1 讲解“标准图形”和“非标准图形”标准图形非标准图形上口今垂直菱形图l陟三角形的高事实上，广大一线教师在课堂教学中，对图l 中呈现出来的“标准图形”、“非标准图形”都能做到较好的变式教学然而在解题教学中，有些初任教师面对经典图形、模式图形时，往往就题讲题，缺少反思与变式，入宝山而空返比如，大家熟悉的利用轴对称的性质获得最值的问题标准模式如图2 所示，要在河边修一座水泵站，分别向张村和李村送水，水泵站修在河边哪个位置，可使所用的水管最短?(说明：河边用直线口表示，A 表示张村，B 表示李村)，曰B L、?：A 图2讲解：如图3 所示(1)作点A 关于直线n 的

3、对称点A。；(2)连接A。B 交直线n 于C，点c 就是所求的点反思：在解答“求作直线上一点，使它到直线同侧的两个点的距离之和最短”问题时，往往将其转化为“求直线上一点，使它到直线两侧的两个点距离之和最短”的问题进行求解进一步，就需要针对上述“标准模式”给出变式，下面提供两种“非标准模式”非标准模式1 如图4，某人每天先将羊群从驻地赶到河边饮水(直线口表示河流)，然后再赶到草地放牧(直线6 表示草地边界)，傍晚回到驻地C 请你设计出最短的放牧路线：B少。6C讲解：作点A 关于直线。的对称点图4A，连接A C，A C 交直线n 于点日，则最短的放牧路线为AB+B C 反思：上述解法中，用点A 关

4、于直线。的对称点A 代替点A，再由A7 曰酬曰，将折线4 B 邯C 转化为线段A C，从而运用“两点之间，线段最短”这一性质使问题得到解决非标准模式2 如图5 所示，两条公路以、D B 相交于点D，有一个村庄P，准备在两条公路旁分别建一誓万方数据学导航2 0 1 4 年3 月笔者实践发现，注意在解题教学中开展从“标准模式”到“非标准模式”后，学生更能变通，在复杂问题中找到转化、突破的途径下面以两道最值考题为例，具体说说从“标准模式”到“非标准模式”的教学建议建议二、从“标准模式”到“非标准模式”的教学如上举例，由轴对称的性质带来的最值应用在几何最值问题中占有很重要的位置，尽显作图的智慧，也是一

5、个高频考点，首先摘引与之相关的一道考题例l(2 0 1 3 年贵州省六盘水第2 4 题)(1)观察发现如图6，若点4、曰在直线m 的同侧，在直线m 上找一点P，使A P+B P 的值最小，作法如下：作点B 关于直线m 的对称点B，连搠曰，与直线m 的交点就是所求的点P，线段A B 的长度即为A P+B P 的最小值曰图6m曰D图7C如图7，在等边三角形A 曰C 中，A 日=2，点E 是A B 的中点，A D 是高，在A D 上找一点P，使日P+咫的值最小，作法如下：作点日关于4 D 的对称点，恰好与点C 重合，连接C E交A D 于一点，则这就是所求的点P，故拼，+咫的最小值为(2)实践运用如

6、图8，已知o D 的直径C D 为2，舵的度数为6 0。，点日是舵的中B点，在直径C D 上作出点P，使B P+cA P 的值最小，则日P 槲P 的最小值为(3)拓展延伸如图9，点P 是四边形A B c D内一点，分别在边A 曰、曰C 上作出点M、J 7、，使删+P 的值最小，保留作图痕迹，不写作法占讲解：(1)根据等边三角形的性质，可得日P+甩=C P+咫=C E，而蚀卅D，故本题可求_ 寸。7 毒l：-7 初中版图8D图9C(2)作点B 关于C D 的对称点E，连接似、0 B、D E、烈、咫，可求得A D E=9 0 0，则A O E 是等腰直角三角形根据勾股定理求出AE 的长度B n A

7、 聘E P+4P AE(3)过点盼别作边A B、B G 的垂线，垂足分别为点M、，点M、即为所求简解：(1)、3 曰P+咫=C E 甜D=、万曰2 一肋2=、2 2-1 2=3(2)、虿如图l O，作点B 关于c D 的对称点E，连接A E、0 A、D B、0 E、P A、咫由彳的度数为6 0。，且点B 是互刁的中点，得 B D C=厶4 0 曰=3 0o 由点曰、点E 关于C D 对称，得图1 0C D E=B D C=3 0 0，则A0 E=3 3 0 0=9 0o 由o O 的直径C D 为2，得0 A=O E=1 在R t AD E 中，A E=、伺矛；礤=、F 下=、虿B P+Ap=

8、E P+AP AE=1(3)如图1 1，过点P 分别作边A B、B C 的垂线，垂足分别为点M、，点M、即为所求口教学建议：这道考题引导D考生经历了“观察发现”、“实图1 1践运用”到“拓展延伸”，本身就是示范数学学习或探究的一种“范式”或“套路”(章建跃语)利用这样的考题进行解题教学时，不仅让学生学会解题，更重要的是要引导学生体会这种试题的设问指向、研究套路，这也是渗透从“标准模式”到“非标准模式”的思想值得一说的是，在图1 1 中“脚“P 的值最小”，教学时还可以追问“使m 州的周长最小”的作法是不是回到图5 的那种情形呢?从这个角度看，我们倡导从“标准模式”到“非标准模式”的变式取向，本

9、质上也是要加强关联教学例2(2 0 1 0 年天津市第2 5 题)在平面直角坐标系中，矩形D AC B 的顶点0 在坐标原点，顶点A、曰分别在戈轴、y 轴的正半轴上，D A=3，衄_ 4，D 为边D 日的中点(1)若E 为边伽上的一个动点，当C 加的周长最小时，求点E 的坐标；(温馨提示：如图1 2，可以作点D 关于戈轴的对称点D，连接与戈轴交于点E，此时C 胞的周长是最小的这样，图1 2万方数据2 0 1 4 年3 月教学导你只需求出D E 的长，就可以确定点E 的坐标了)(2)若E、助边D A 上的两个动点，且E B 2，当四边形c D E 瑚周长最小时，求点E、瑚坐标讲解：第一问与图2

10、类似，是“标准模式”第二问可以看成是一类“非标准模式”，由于D C、髓的长不变，所以取C G 胡F，作D 关于戈轴的对称点D，连接D G，交戈轴于E t C F?G E，女鼍砖专D E+C F 最，、简解：(1)限于篇幅，过程略点E 的坐标为(1，O)(2)如图1 3，作点D 关于x 轴的对称点D，在C B 边上截取C G=2，连接D G，与并轴交于点E，在鲋上截取E F 兰2 由G c E F，G c=E F，得四边形G E 心为平行四边形，则G E 兰C F又D C、E F 的长为定值，则此时图1 3得到的点E、腋四边形E 确周长最小由D E 踞觚D，o E 咄倒踞则器=等则D E：望!望

11、：里堡：望：竺：!堡垒二鱼堡!：三丛：土。1Dr BD t B63则D 肚D E+E 聘二+2=二33点E 的坐标为I，o l，点肭坐标为，o)教学建议：这类考题由浅及深，教学时要注意这样的特点，先唤起学生对“标准模式”的理解，然后在深刻理解的基础上思考变式问题、“非标准模式”，并学会积累变式问题或可能变式的方向三、两点思考上面我们主要结合轴对称的性质带来的最值模式，就“标准模式”和“非标准模式”做了些个性化的阐释，以下再从解题教学这个更大的视角谈两点思考：一是要重视向学生传递“模式识别”策略；二是引导学生学会反思并积累模式1 向学生传递“模式识别”策略罗增儒教授在数学解题学引论：1 中指出：

12、“学习数学的过程中，所积累的知识经验经过加工，会得出有长久保存价值或基本重要性的典型结构与重要类型模式，将其有意识地记忆下来当遇到一个新问题时，我们辨认它属于哪一类基本模式，联想起一个已解决的问题，以此为索引，在记忆贮存中提取出相应的方法来加以解决，这就是模式识别的解题策略”上文关注的模式问题就是指向“模式识别”解题教学中，要重视向学生传递“模式识别”策略，如引导学生发现上面例题中的模式(有资料上也称“将军饮马”模式)，并保持对“非标准模式”(如图4、5、8、1 3)的认识2 引导学生反思并积累模式向学生传递“模式识别”策略后，重要的是引导学生学会反思并积累模式解题教学中，教师要善于“获取答案

13、并继续前进”(舍费尔德语)，并要求学生也要有解后反思的意识具体来说，第一，引导学生整理“错题集”，宽泛来说，“错题本”是一种能够提高学习效率、提升学习质量、夯实学习基础、创造优秀成绩的重要手段，即“错题本”上不一定只是“错题”，它应该包括“错题”“模式题”(包括标准和非标准)等第二，倡导“数学写作”也是不错的方式。如马岷兴提出“数学作文”的五点价值：“数学作文”反映出学生的数学观和数学教学观，“数学作文”能促进学生的创新能力，“数学作文”开辟了一条了解学生的新渠道，“数学作文”彰显学生的个性，“数学作文”提升学生的元认知能力 3 此外，近年来，江苏刘东升老师开展的“数学反思小文章 卅的研究，“

14、实际上就是把学习的过程完整化，加强学生对自己学习过程的自我监控和调节，使学生对知识的理解得到升华，获得更好的数学认知结构，同时在数学思想方法、解题策略等方面也得到系统化，效果肯定会好的”(5 (章建跃语)笔者是将错题集和数学反思写作结合在一起，刚刚在所教班级推行，并且重视让学生梳理、积累“标准模式”与“非标准模式”，已取得了不错的效果参考文献：1 郑毓信多元表征理论与概念教学(续)J 中学数学教学参考(上)，2 0 1 l(6)2 罗增儒数学解题学引论 M 西安：陕西师范大学出版社2 0 0 8 3 马岷兴关于“数学作文”的实践与思考 J 中学数学教学参考(上)，2 0 0 2(1 2)4 刘东升学生撰写“反思小文章”：容易做，值得做缘于学生“讲题”活动 J 中学数学教学参考(中)，2 0 1 2(5)5 刘东升“点评者”的情怀例谈数学教师的点评艺术 J 中学数学(下)，2 0 1 2(8)田初中版寸哼擞l?_万方数据