(完整版)1.3.1二项式定理(导学案)人教A版.doc

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1、1.3.1二项式定理 (导学案) 一、学习目标：1. 能从特殊到一般理解二项式定理；2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念二、教学重点、难点重点：用计数原理分析的展开式得到二项式定理。难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。三、教学过程.（一）提出问题：引入：二项式定理研究的是的展开式。如，那么：=? =? =? 更进一步：=？（二）对展开式的分析 展开后其项的形式为：考虑，每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为恰有1个取的情况有种，则前的系数为恰有2个取的情

2、况有 种，则前的系数为所以 类似地 思考：=?问题：1)展开后各项形式分别是什么？ 2)各项前的系数代表着什么？(各项前的系数 就是在4个括号中选几个取的方法种数)3)你能分析说明各项前的系数吗？每个都不取的情况有1种，即,则前的系数为;恰有1个取的情况有种，则前的系数为恰有2个取的情况有 种，则前的系数为;恰有3个取的情况有 种，则前的系数为恰有4个取的情况有种，则前的系数为 则 推广：得二项展开式定理：一般地，对于有右边的多项式叫做的二项展开式：二项展开式的通项，记作 ： 二项式系数注1）二项展开式共有项，每项前都有二项式系数2）各项中的指数从n起依次减小1，到0为此各项中的指数从0起依次

3、增加1，到n为此如三、典型例题例1：求的展开式思考：（1）展开式的第3项是多少？ （2）你能否直接求出展开式的第3项？（3）展开式的第3项的系数是多少？ （4）展开式的第3项的二项式系数是多少？例2：（1）求的展开式的第4项的系数变式：的展开式的第4项的二项式系数是 _反思：要注意二项式系数与系数的区别（2）求展开式中的系数。4、求展开式中的常数项和中间项.五.练习达标练习1.化简: 练习2. 在的展开式中含项的系数是 练习3. 求的展开式中的常数项； 若的展开式中第6项与第7项的系数相等，求及展开式中含的项1.3.1二项式定理 (课后作业)1. 求展开式中第8项； 2. 求的展开式中的常数项

4、.3.求展开式的前4项； 4. 展开式中的系数是 _.5.二项式展开式中第2项的二项式系数为多少，第2项的系数为多少。6.求展开式中的第8项，指出其系数和二项系数各是多少。7.写出的展开式中含的项，并说明它是展开式的第几项？8.已知二项式（1）求第4项；（2）求展开式第4项的二项式系数；（3）求展开式第4项的系数。高考链接1（2011天津高考）在的二项展开式中，的系数为 （2009北京高考）若，则= 。3(2011重庆高考)(其中)的展开式中的系数相等，则 。4.(2010四川高考)的展开式的第四项 。1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质 学习目标 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属

5、于”关系；2. 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；3. 掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. 学习过程 一、课前准备（预习教材P32 P35，找出疑惑之处）复习1：写出二项式定理的公式： 公式中叫做 ， 二项展开式的通项公式是 ，用符号 表示 ，通项为展开式的第 项. 在展开式中，共有 项，各项次数都为 ，的次数规律是 ，的次数规律是 ，各项系数分别是 .复习2：求 展开式中的第4项二项式系数和第4项的系数.二、新课导学 学习探究探究任务一：杨辉三角的来历及规律 问题1：在展开式中，当n1，2，3，时，各项的

6、二项式系数有何规律？ 新知1：上述二项式系数表叫做“杨辉三角”，表中二项式系数关系是 探究任务二 二项式系数的性质 问题2：设函数，函数的定义域是 ，函数图象有何性质？（以n6为例） n=7时函数图像是对称的吗？对称轴在哪？新知2：二项式系数的性质 对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,图象的对称轴是.练习1 在(ab)展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( )A 第项 B 第项 C 第项 D 第项 若的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等，则n .反思：为什么二项式系数有对称性？ 增减性与最大值 ：从图象得知，中间项的二项式系数最 ，左边二项式系数逐渐 ，右边

7、二项式系数逐渐 .当n是偶数时，中间项共有 项，是第 项，它的二项式系数是 ，取得最大值；当n是奇数时，中间项共有 项，分别是第 项和第 项，它的二项式系数分别是 和 ，二项式系数都取得最大值.练习：的各二项式系数的最大值是 各二项式系数的和：在展开式中，若，则可得到 即 典型例题例1求的展开式中系数最大的项变式：在二项式(x-1)的展开式中, 求二项式系数最大的系数的项； 求项系数最小的项和最大的项.小结：在展开式中， 要正确区分二项式系数和项系数的不同，可以利用通项公式，找到二项式系数和项系数的关系来达到目的.例2 证明：在展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.变式：

8、 化简: ; 求和：.小结：取特殊值法（又称赋值法）在解决有关二项式系数和时经常使用的一种 ，除此之外还有倒序相加法. 动手试试练习1： 在(1+x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 ；（用符号表示即可） 在(1-x)的展开式中，二项式系数最大的是第 项为 . （同上）练习2：若，则 ， .三、总结提升 学习小结1. 二项式系数的三个性质2. 数学方法 ： 赋值法和递推法 学习评价 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在的展开式中，系数最大的项是第 项；2. 在的展开式中，二项式系数最大的是第 项，项系数最小的项是第 项；3. 计算= 4. 若，则 ； 5. 化简： 1.3

9、.2 杨辉三角与二项式系数的性质课后作业基础巩固强化1.若(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11的值为()A2 B1 C2 D12(2011烟台月考)如果(3x)n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中的系数是()A7 B7 C21 D213若(x1)2n的展开式中，x的奇次项系数和与(x1)n展开式的各项系数和的差为480，则(x1)2n的展开式中第4项是()A120x4 B210x4 C120x7 D210x65(2012陕西礼泉一中期末)在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，含x4项的系数是首项为2，公差为3的等差数列的(

10、)A第11项 B第13项 C第18项 D第20项6在()24的展开式中，x的幂指数为整数的项共有()A3项 B4项 C5项 D6项7(2011广东理)x(x)7的展开式中，x4的系数是_(用数字作答)8若(2x2)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n_.9若(2x3)3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a0a12a23a3_.10在(1x)3(1)3(1)3的展开式中，x的系数为_(用数字作答)11CCCCC_.12CCCCC_.能力拓展提升1.(2012山西六校模拟)若(xy)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且xy1，xy0，则x的取值范围是()A(，) B，) C(， D(1，)2在()n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是_3已知(2x)n.(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项