((完整版))二次函数图像与性质总结(含答案)-推荐文档.pdf

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1、 二次函数的图像与性质二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2.的性质：2yaxc上加下减。3.的性质：2ya xh左加右减。4.的性质：2ya xhk的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上00，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x 随的增大而减小；时，有最小值yx0 x y00a 向下00，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大值yx0 x y0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0c，轴y时，随的增大而增大；时，0 x yx0 x

2、随的增大而减小；时，有最小值yx0 x yc0a 向下0c，轴y时，随的增大而减小；时，0 x yx0 x 随的增大而增大；时，有最大值yx0 x yc的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上0h，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小值yxxhy00a 向下0h，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大值yxxhy0的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质0a 向上hk，X=h时，随的增大而增大；时，xhyxxh随的增大而减小；时，有最小值yxxhy二、二次函数图象的平移二、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成

3、顶点式，确定其顶点坐标；2ya xhkhk，保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2yaxhk，【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(k0)【|k|【y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2 2.平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”hk概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成cbxaxy2ymcbxaxy2（或）mcbxaxy2mcbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成cbxaxy2mcbxaxy2（或）cmxbmxay)()(2cmxbmxay)

4、()(2 三、二次函数三、二次函数与与的比较的比较2ya xhk2yaxbxc从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过2ya xhk2yaxbxc配方可以得到前者，即，其中22424bacbya xaa2424bacbhkaa，k0a 向下hk，X=h时，随的增大而减小；时，xhyxxh随的增大而增大；时，有最大值yxxhyk四、二次函数四、二次函数图象的画法图象的画法2yaxbxc五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确2yaxbxc2()ya xhk定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的

5、点y0c，0c，、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴2hc，x10 x，20 x，x对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.xy五、二次函数五、二次函数的性质的性质2yaxbxc 1.当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为0a 2bxa 2424bacbaa，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当2bxa yx2bxa yx时，有最小值2bxa y244acba 2.当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当0a 2bxa 2424bacbaa，时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，2bxa yx2bxa yx2

6、bxa 有最大值y244acba六、二次函数解析式的表示方法六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：（，为常数，）；2yaxbxcabc0a 2.顶点式：（，为常数，）；2()ya xhkahk0a 3.两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.12()()ya xxxx0a 1x2xx注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以x240bac用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1.二次项系数a二次函数中，作为二

7、次项系数，显然2yaxbxca0a 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越0a aa大；当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越0a aa大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决aaa定开口的大小2.一次项系数b 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴ab 在的前提下，0a 当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；0b 02bay当时，即抛物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的右侧0b 02bay 在的前提下，结论刚好与上述相反，即0a 当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；0b 02bay当时，即抛

8、物线的对称轴就是轴；0b 02bay当时，即抛物线对称轴在轴的左侧0b 02bay总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，ababx2y0aby0ab概括的说就是“左同右异”总结：3.常数项c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；0c yxy 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；0c yy0 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置cy 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的abc，二次函数解析式的确定：二

9、次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；x4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式八、二次函数图象的对称八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于轴对称x 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcx2yaxbxc 关于轴对称后，得到的解析式是；2y

10、a xhkx2ya xhk 2.关于轴对称y 关于轴对称后，得到的解析式是；2yaxbxcy2yaxbxc关于轴对称后，得到的解析式是；2ya xhky2ya xhk 3.关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc2yaxbxc 关于原点对称后，得到的解析式是；2ya xhk2ya xhk 4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）关于顶点对称后，得到的解析式是；2yaxbxc222byaxbxca 关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk2ya xhk 5.关于点对称 mn，关于点对称后，得到的解析式是2ya xhkmn，222ya xhmnk 根据对称的性质，显

11、然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择a合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式二次函数图像参考：二次函数图像参考：y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2y=x22y=2x2y=x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=2x2-4y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2十一、十一、【例题精讲例题精讲】一

12、、一元二次函数的图象的画法一、一元二次函数的图象的画法【例 1】求作函数的图象64212xxy【解】)128(21642122xxxxy 2-4)(214-4)(21 2222xx以为中间值，取的一些值，列表如下：4xxx-7-6-5-4-3-2-1y25023-223025【例 2】求作函数的图象。342xxy【解】)34(3422xxxxy7)2(7)2(22xx先画出图角在对称轴的右边部分，列表2x 【点评】画二次函数图象步骤：(1)配方；(2)列表；(3)描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。二、一元二次函数性质二、一元二次函

13、数性质x-2-1012y76543【例 3】求函数的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。962xxy【解】7)3(79626222xxxxxy 由配方结果可知：顶点坐标为，对称轴为；)73(，3x 当时，013x7miny 函数在区间上是减函数，在区间上是增函数。3(，)3，【例 4】求函数图象的顶点坐标、对称轴、最值。1352xxy ，103)5(232ab2029)5(431)5(44422abac 函数图象的顶点坐标为，对称轴为)2029,103(2029x 当时，函数取得最大值05 103x2029mazy 函数在区间上是增函数，在区间上是减函数。103,(),3【点评】

14、要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：(1)配方法；如例 3(2)公式法：适用于不容易配方题目(二次项系数为负数或分数)如例 4，可避免出错。任何一个函数都可配方成如下形式：)0(44)2(22aabacabxay【二次函数题型总结二次函数题型总结】1.关于二次函数的概念关于二次函数的概念例 1 如果函数是二次函数，那么 m 的值为 1)3(232mxxmymm。例 2 抛物线的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 422xxy。2.关于二次函数的性关于二次函数的性质质及及图图象象-1OX=1YX例 3 函数的图象如图所示，)0(2acbxaxy则 a、b、c，的符号cb

15、acba为 ，例 4 已知 abc=0 9a3bc=0,则二次函数 y=ax2bxc 的图像的顶点可能在（）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限 （C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3.确定二次函数的解析式确定二次函数的解析式例 5 已知：函数的图象如图：那么函数解析式为（）cbxaxy2（A）（B）322xxy322xxy（C）（D）322xxy322xxy4.一次函数一次函数图图像与二次函数像与二次函数图图像像综综合考合考查查例 6 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax2+bx+c(a0),它们在同一坐标系中的大致图象是().例 7 如图：ABC 是边长为 4 的等边三角

16、形，AB 在 X 轴上，点 C 在第一象限，AC 与 Y轴交于点 D，点 A 的坐标为（-1，0）（1）求 B、C、D 三点的坐标；（2）抛物线经过 B、C、D 三点，求它的解析式；cbxaxy23o-13yx8642-2-4-6-8-10-5510DOCAB【练习题练习题】一、选择题一、选择题1.二次函数的顶点坐标是()247yxxA.(2,11)B.（2，7）C.（2，11）D.（2，3）2.把抛物线向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）22yx A.B.C.D.22(1)yx 22(1)yx 221yx 221yx 3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()2ykxk(0)kyk

17、x 4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:a,b 同号;当和时,2(0)yaxbxc a1x 3x 函数值相等;当时,的值只能取 0.其中正确的个数是()40ab2y x A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个5.已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbxc a图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（x20axbxc121.3xx和）.B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36.已知二次函数的图象如图所示，则点在（）2yaxbxc(,)ac bcA第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的个数为（）222xxxA.0 个 B.

18、1 个 C.2 个.3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA.B.22yxx22yxx C.或 D.或22yxx22yxx 22yxx 22yxx二、填空题二、填空题9二次函数的对称轴是，则_。23yxbx2x b 10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2），当0 时，函数值随自变量xy的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。x12抛物线的顶点为 C，已知直线过点 C，则这条直线与两坐22(2)6y

19、x3ykx 标轴所围成的三角形面积为 。13.二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位,再向2241yxx22yxbxc下平移 2 个单位得到的,则 b=,c=。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心M 处 5 米的地方，桥的高度是 (取 3.14).三、解答题：三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过(1,-6),且与轴的交点为(0,).30 xy52(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值随 x 的增大而增大?y16.某种爆竹点燃

20、后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 2012hv tgt（0t2），其中重力加速度 g 以 10 米/秒2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.17.如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交2yxbxc3yx点 A、B，此抛物线与轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.x（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使：5：4 的点 PAPCSACDS的坐标。第 15 题图一，选择题、1A 2C

21、3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、9 10-3 11如等（答案不唯一）4b x224,24yxyx 121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为,由题意可得2bxcyax解得 所以15,3,22abc 215322yxx(2)或-5 (2)1x 3x 16（1）由已知得，解得当时不合题意，舍去。211520102tt123,1tt3t 所以当爆竹点燃后 1 秒离地 15 米（2）由题意得，可2520htt 25(2)20t知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间2t 内，爆竹在上升17（1）直线与坐标轴的交点 A（3，0），B（0，3）则解得3yx9303bcc 23bc 所以此抛物线解析式为（2）抛物线的顶点 D（1，4），与轴的另223yxxx一个交点 C（1，0）.设 P，则.2(,23)a aa211(423):(4 4)5:422aa 化简得2235aa当0 时，得 P（4，5）或 P（2，5）223aa2235aa4,2aa 当0 时，即，此方程无解综上所述，223aa2235aa2220aa满足条件的点的坐标为（4，5）或（2，5）32652baabcc