2021年中考数学压轴题精选(三).doc

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1、2010年中考数学压轴题精选(三)21、（2010黄冈）已知抛物线顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线作垂线，垂足为M，连FM（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时PFM为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PMPN恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.解：（1）a1，b2，c0（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为，横坐标为.此时，MPMFPF1，故MPF为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，PM与PN不可能相等，同理，当t，x1时

2、，PM与PN不可能相等.22、（2010济南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E求A、B、C三个点的坐标点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN求证：AN=BM在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.DCMNOABPlyEx解：令，解得：，A(1，0)，B(3，0)=，抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1代入，得y=2，C（1，2）.

3、在RtACE中，tanCAE=，CAE=60，由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，AC=BC，ABC为等边三角形， AB= BC =AC = 4，ABC=ACB= 60，又AM=AP，BN=BP，BN = CM， ABNBCM， AN=BM. 四边形AMNB的面积有最小值 设AP=m，四边形AMNB的面积为S，由可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，SABC=42=，CM=BN= BP=4m，CN=m， 过M作MFBC,垂足为F，则MF=MCsin60=，SCMN=，S=SABCSCMN=（）= m=2时，S取得最小值3. 23、（2010济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点

4、为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为. (2) 答：与相交.证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. (3) 解：如图，过点作平行于轴的直线

5、交于点.可求出的解析式为.设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 24、（2010晋江）已知：如图，把矩形放置于直角坐标系中，取的中点，连结，把沿轴的负方向平移的长度后得到.(1)试直接写出点的坐标；AOxBCMy(2)已知点与点在经过原点的抛物线上，点在第一象限内的该抛物线上移动，过点作轴于点，连结.若以、为顶点的三角形与相似，试求出点的坐标；试问在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最大.AOxDBCMyEPTQ解：(1)依题意得：； (2) ，. 抛物线经过原点，设抛物线的解析式为又抛物线经过点与点 解得：抛物线的解析式为.点

6、在抛物线上，设点.1)若，则， ，解得：(舍去)或，点.2)若，则， ，解得：(舍去)或，点.存在点，使得的值最大.抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.，点、点关于直线对称，要使得的值最大，即是使得的值最大，根据三角形两边之差小于第三边可知，当、三点在同一直线上时，的值最大. 设过、两点的直线解析式为， 解得：直线的解析式为.当时，.存在一点使得最大. 25、（2010）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.(1) 填空：度；(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；(3)若，以点为圆心，以5为半径作与直线相交于点、两

7、点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.ABC备用图(1)ABC备用图(2)解：(1)60；(2)与都是等边三角形，.(3)当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知，则，作于点，则，连结，则.在中，则.在中，由勾股定理得：，则当点在线段的延长线上时，与都是等边三角形，同理可得：.当点在线段的延长线上时，与都是等边三角形，.同理可得：，综上，的长是6. 26、（2010莱芜）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于两点，交轴于点.（1）求此抛物线的解析式；（2）若此抛物线的对称轴与直线交于点D，作D与x轴相切，D交轴于点E、F两点，求劣弧EF的长；（3）P为此抛物线在第二象限图像上

8、的一点，PG垂直于轴，垂足为点G，试确定P点的位置，使得PGA的面积被直线AC分为12两部分.（第26题图）xyOACBDEF解：（1）抛物线经过点， 解得.抛物线的解析式为：. （2）易知抛物线的对称轴是.把x=4代入y=2x得y=8，点D的坐标为（4,8）D与x轴相切，D的半径为8 连结DE、DF，作DMy轴，垂足为点M在RtMFD中，FD=8，MD=4cosMDF=MDF=60，EDF=120劣弧EF的长为： （3）设直线AC的解析式为y=kx+b. 直线AC经过点.，解得.直线AC的解析式为：. 设点，PG交直线AC于N，则点N坐标为.xyOACBDEFPGNM若PNGN=12，则PG

9、GN=32，PG=GN.即=.解得：m1=3， m2=2（舍去）.当m=3时，=.此时点P的坐标为. 若PNGN=21，则PGGN=31， PG=3GN.即=.解得：，（舍去）.当时，=.此时点P的坐标为.综上所述，当点P坐标为或时，PGA的面积被直线AC分成12两部分 27、（2010丽水）小刚上午7：30从家里出发步行上学，途经少年宫时走了步，用时10分钟，到达学校的时间是7：55为了估测路程等有关数据，小刚特意在学校的田径跑道上，按上学的步行速度，走完100米用了150步(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分？小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米？t(分)Os(米)A

10、BCD(第27题)(2)下午4：00，小刚从学校出发，以45米/分的速度行走，按上学时的原路回家，在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后，赶紧以110米/分的速度回家，中途没有再停留问：小刚到家的时间是下午几时？小刚回家过程中，离家的路程s(米)与时间t(分)之间的函数关系如图，请写出点B的坐标，并求出线段CD所在直线的函数解析式解：(1)小刚每分钟走120010=120(步)，每步走100150=(米)，所以小刚上学的步行速度是120=80(米/分)小刚家和少年宫之间的路程是8010=800(米)少年宫和学校之间的路程是80(25-10)=1200(米)(2)(分钟)，所以小刚到家的时间是

11、下午5：00小刚从学校出发，以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米，用时分，此时小刚离家1 100米，所以点B的坐标是（20，1100）线段CD表示小刚与同伴玩了30分钟后，回家的这个时间段中离家的路程s(米)与行走时间t(分)之间的函数关系，由路程与时间的关系得 ，即线段CD所在直线的函数解析式是2分(线段CD所在直线的函数解析式也可以通过下面的方法求得：点C的坐标是（50，1100），点D的坐标是（60，0）设线段CD所在直线的函数解析式是，将点C，D的坐标代入，得 解得所以线段CD所在直线的函数解析式是)28、（2010丽水）ABC中，A=B=30，AB=把ABC放

12、在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O(如图)，ABC可以绕点O作任意角度的旋转OyxCBA(第28题)11-1-1(1)当点B在第一象限，纵坐标是时，求点B的横坐标；(2)如果抛物线(a0)的对称轴经过点C，请你探究：当，时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由解：(1) 点O是AB的中点，设点B的横坐标是x(x0)，则，解得，(舍去)点B的横坐标是(2)当，时，得()以下分两种情况讨论情况1：设点C在第一象限(如图甲)，则点C的横坐标为，OyxCBA(甲)

13、11-1-1由此，可求得点C的坐标为(，)，OyxCBA(乙)11-1-1点A的坐标为(，)，A，B两点关于原点对称，点B的坐标为(，)将点A的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点A的纵坐标；将点B的横坐标代入()式右边，计算得，即等于点B的纵坐标在这种情况下，A，B两点都在抛物线上情况2：设点C在第四象限(如图乙)，则点C的坐标为(，-)，点A的坐标为(，)，点B的坐标为(，)经计算，A，B两点都不在这条抛物线上 (情况2另解：经判断，如果A，B两点都在这条抛物线上，那么抛物线将开口向下，而已知的抛物线开口向上所以A，B两点不可能都在这条抛物线上)存在m的值是1或-1(，因为这条抛物线的对

14、称轴经过点C，所以-1m1当m=1时，点C在x轴上，此时A，B两点都在y轴上因此当m=1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上)29、（2010龙岩）如图，抛物线交x轴于点A（2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若直线yx交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC试判断EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PFED交直线MN下方的抛物线于点F问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由（1）解：

15、（法一） 设所求的抛物线解析式 点A、B、C均在此抛物线上 所求的抛物线解析式为 顶点D的坐标为（1，） （法二） 设所求的抛物线解析式 点C在此抛物线上， ， 所求的抛物线解析式为 即， 顶点D的坐标为（1，） （2）EBC的形状为等腰三角形 证明：（法一） 直线MN的函数解析式为 ON是BOC的平分线 B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，4） CO=BO=4， MN是BC的垂直平分线 CE=BE，即 ECB是等腰三角形。（法二） 直线MN的函数解析式为 ON是BOC的平分线， COE =BOE B、C两点的坐标分别为（4，0）、（0，4） CO=BO=4，又 CE=BE， COEBOE

16、 CE=BE即 ECB是等腰三角形 （法三） 点E是抛物线的对称轴和直线的交点 E点的坐标为（1，1） 利用勾股定理可求得 CE= BE= CE=BE ，即 ECB是等腰三角形 （3）解：存在 PFED 要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PF=ED 点E是抛物线的对称轴和直线的交点 E点的坐标为（1，1） ED ， 点P是直线上的动点 设P点的坐标为（k, k） 则直线PF的函数解析式为x=k 点F是抛物线和直线PF的交点 F的坐标为 PF= 当时，点P的坐标为（1，1），F的坐标为（1，） 此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形 当时，点P的坐标为（

17、1，1），F的坐标为（，） 此时，四边形PFDE是平行四边形 30、（2010龙岩）如图，将直角边长为的等腰直角三角形ABC绕其直角顶点C顺时针旋转角（090），得A1B1C，A1C交AB于点D，A1B1分别交于BC、AB于点E、F，连接AB1（1）求证：ADCA1DF；（2）若=30，求AB1A1的度数；（3）如图，当=45时，将A1B1C沿CA方向平移得A2B2C2，A2C2交AB于点G，B2C2交BC于点H，设CC2=x（0x），ABC与A2B2C2的重叠部分面积为S，试求S与x的函数关系式图 图 备用图（第30题图）解：（1）证明：如图，根据旋转变换的性质易知CAD=FA1D ， 1=

18、2 ， ADCA1DF （2）解：图（法一） CA=CA1=CB=CB1= 点A、A1、B、B1均在以C为圆心 半径为的圆上， AB1A1= （法二） 如图， AC=B1C， 4=3， ，A1CB1=90 ACB1=120， 4=30 AB1A1=CB1A14=4530=15 （法三）如图， AC=B1C， 4=3， CAB=CB1A1 CAB3=CB1A14，即 B1AB=AB1A1 5=B1AB+AB1A1， 5=2AB1A1 ADCA1DF 5= ， AB1A1= （3）解：A1B1C在平移的过程中，易证得AC2G、HB2E、A2FG、C2HC、 FBE均是等腰直角三角形，四边形AC2B

19、2F是平行四边形 AB=2 当=45时，CE=CD=AB=1情形：当0x1时（如图所示），A2B2C2与ABC的重叠部分为五边形C2HEFG （法一） S五边形C2HEFG=S平行四边形AC2B2FSRtAC2GSRtHB2E C2C=x CH=x，AC2=，B2E=HE= AG=C2G=AC2= S平行四边形AC2B2F=AC2CE=（）1=图 SRtAC2G=AG2= SRtHB2E=B2E2= S五边形C2HEFG= = （法二） S五边形C2HEFG= SRtA2B2C2SRtA2FGSRtHB2E C2C=x AC2=，B2E= C2G=AC2=A2G=A2C2C2G = SRtA2

20、B2C2=A2=1 SRtA2FG=A2G2= SRtHB2E =B2E2= S五边形C2HEFG= = （法三） S五边形C2HEFG= SRtABCSRtAC2GSRtC2HCSRtFBE C2C=x AC2=，CH=，BE= AG=C2G=AC2= SRtABC=A=1 SRt AC2G =AG2= SRtC2HC =C2C2= SRtFBE =BE2= S五边形C2HEFG= = 情形：当1x时（如图所示）， A2B2C2与ABC的重叠部分为直角梯形C2B2FG （法一） S直角梯形C2B2FG=S平行四边形C2B2FASRtAC2G=AC2CEAG2= （法二） S直角梯形C2B2FG= SRtA2B2C2SRtA2FG图= 18用心 爱心 专心