实验一计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式.ppt

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1、 实验一实验一计算复变函数极限、微分、积分、计算复变函数极限、微分、积分、留数、泰勒级数展开式留数、泰勒级数展开式 （一）（一） 实验类型：验证性实验类型：验证性（二）（二） 实验类别：基础实验实验类别：基础实验（三）（三） 实验学时数：实验学时数：2学时学时1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限2、MATLAB求复变函数微分求复变函数微分3、MATLAB求复变函数积分求复变函数积分4、MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式MATLAB实现内容实现内容1、MATLAB求复变函数极限求复变函数极限

2、用函数用函数limit求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】 syms z f=;limit(f,z,z0) 返回极限结果返回极限结果例例1 求求 在在z=0的极限的极限 解解 syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans = 1zzezfzsin)(MATLAB基本命令基本命令. 例例2 设设 sin()zfzz求0lim( )zf z1lim( )zif z .解解 【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*

3、sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)2、 MATLAB求复变函数微分求复变函数微分用函数用函数diff求复变函数极限求复变函数极限【Matlab源程序】 syms z f=（）; diff(f,z) 返回微分结果返回微分结果例例3设设 zfzzezfz 求,sin1)(解解 syms z f=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f) ans = exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z)3、 MATLAB求复变函数

4、积分求复变函数积分(1)用函数用函数int求解非闭合路径的积分求解非闭合路径的积分.【Matlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回积分结果返回积分结果例例 4 求积分60ii0 x1=ch3zdz; x2(1)dzzez解解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)结果为：结果为：x1 = -1/3x1 = -1/3* *i ix2 = -i/exp(ix2 = -i/exp(i) )(2) 用函数用函数int 求解闭合路径的积分求解闭合路径的积分.例例5 计算积分10| | 21d

5、(i) (1)(3)zzzzz 的值的值解解 【Matlab源程序源程序】 syms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)结果为结果为 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只输出若只输出6位有效数值位有效数值，使用语句使用语句 vpa(inc,6)结果为结果为 ans =.238258e-5+.313254e-4*i4、 MATLAB求复变函数在孤立奇点的留数求复变函数在孤立奇点的留数（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(

6、z)都是按降幂排列的都是按降幂排列的 多项式多项式 用函数用函数residue求求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇点的留数在孤立奇点的留数 【Matlab源程序源程序】 R,P,K= residue (B,A) 返回留数，极点返回留数，极点 说明：向量说明：向量B为为f(z)的分子系数；的分子系数； 向量向量A为为f(z)的分母系数；的分母系数； 向量向量R为留数；为留数； 向量向量P为极点位置；为极点位置； 向量向量k为直接项为直接项: 解解 R,P,K= residueR,P,K= residue(1,0,1,1,1)结果为：结果为：R= 2R= 2P = -1P = -1K = 1

7、-1K = 1 -1例例6 求函数112zz在奇点处的留数在奇点处的留数例例7 计算积分4d1Czzz 的值，的值，其中其中C C是正向圆周是正向圆周2z解解 先求被积函数的留数 R,P,K= residue (1,0,1,0,0,0,-1) 结果为：结果为： R = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000iP = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000iK = 可见在圆周可见在圆周2z内有四个极点内有四个极点,所以积分值等于所以积分值等于2isum(R)S S=2S=2* *pi

8、pi* *i i* *sum(Rsum(R) )结果为结果为S =0S =0故原积分故原积分4d2i sum(R)=01Czzz （2 2）如果已知函数奇点）如果已知函数奇点z0z0的重数为的重数为m,m,则可用下面则可用下面的的MATLABMATLAB语句求出相应的留数语句求出相应的留数R=limit(FR=limit(F* *(z-z0),z,z0) %(z-z0),z,z0) %单奇点单奇点R=limit(diff(FR=limit(diff(F* *(z-z0)m,z,m-1)(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0) % m/prod(1:m-1);z,z0)

9、% m重奇点重奇点例例8 求函数在孤立奇点处的留数在孤立奇点处的留数 zezzzzf233sin11 解解 分析原函数可知分析原函数可知：0z 是三重奇点，是三重奇点，syms zf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)结果为：结果为：R = -1/4*3(1/2)+1/2 ;limit(f*(z-1),z,1)ans = 1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB语句分别求出这两个奇点的留数语句分别求出这两个奇点的留数1z是单奇点，因此

10、可以直接使是单奇点，因此可以直接使用下面的用下面的5、MATLAB求复变函数的泰勒级数展开式求复变函数的泰勒级数展开式（1）用函数）用函数taylor求求f(z)泰勒级数展开式泰勒级数展开式【Matlab源程序源程序】 syms z f= Taylor(f,z0) 返回返回f(z)在点在点z0泰勒级数展开式泰勒级数展开式例例9 求函数求函数f=1/(z-b)在点在点z=a泰勒级数展开式前泰勒级数展开式前4项项 syms z a b; f=1/(z-b); taylor(f,z,a,4) ans = 1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2 -1/(a-b)4

11、*(z-a)3 （2）求二元函数）求二元函数z=f(x,y)在点（在点（x0,y0）的泰勒级数）的泰勒级数 展开式展开式. 【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(); F=maple(mtaylor,f,x,y,m) 返回在返回在(0,0)点处点处 的泰勒级数展开式的前的泰勒级数展开式的前m项项. F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m) 返回在返回在 (x0,y0)点处的泰勒级数展开式的前点处的泰勒级数展开式的前m项项. F=maple(mtaylor,f,x=a,m) 返回对单变量返回对单变量 在在x=a处的泰勒级数展开式的前处的泰勒级数展开式的前m项

12、项. 例例10 求函数求函数222( , )(2 )xyxyzf x yxx e在原点在原点(0(0，0)0)，以及（，以及（1 1，a a）点处的）点处的TaylorTaylor展式展式【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); maple(mtaylor,f,x,y,4) 在在(0,0)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式： ans = -2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x maple(mtaylor,f,x=a,2) 在在x=a处泰勒级数展开式：处泰勒级数展开式：ans = (a2-2*a)*exp(-a

13、2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2) 在在(1,a)点处的泰勒级数展开式：点处的泰勒级数展开式：ans = -exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告课本上例题每一类型各选一题，写出实验报告作业：作业：P51: 习题二，习题二，2.1，2.3P76: 习题三，习题三，3.8（1），（），（2）。）。3.11（2）P91: 例例4.8（前（前4项），例项），例4.9（前（前4项）。项）。P132: 5.2处留数在求函数0942zzzP132: 5.7（2），）， 5.8（2）。）。