2004-2005学年秋季学期工科数学分析答案.doc

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1、 哈尔滨工业大学2004 /2005 学年 秋 季学期 姓名: 班级： 学号： 工科数学分析期末考试试卷 （答案） 试题卷（A） 考试形式（开、闭卷）：闭答题时间：150（分钟） 本卷面成绩占课程成绩70% 题号一二三四五六七八卷 面总 分平 时成 绩课 程总 成 绩分数 得分一选择题（每题2分，共10分）1下列叙述中不正确者为（D ） （A）如果数列收敛，那么数列一定有界。 （B）如果，则一定有。 （C）在点处可导的充要条件是在点处可微。 （D）如果函数 在点处导数为，则必在该点处取得极值。2设在0，1上则下列不等式正确者为（ B ） （A） （B） （C） （D）3若在上可积，则下列叙述中

2、错误者为（D） （A）连续 （B）在上可积 第 1 页（共7 页） （C）在上由界 （D）在上连续4若，则（D）（A） （B） （C） （D）遵 守 考 试 纪 律 注 意 行 为 规 范5（D） （A） （B）（C） （D）得分二填空题（每题2分，共10分）1的间断点为：，其类型为：第一类间断点。2的全部渐近线方程为：。3摆线处的切线方程为：。4=： 1 。5设在上可导， 第 2 页（共 7 页） 则=：得分三计算下列各题：（每小题4分，本题满分20分） 1若 ，求 解：2， 则2，解：，3. 解： =4 解： 第 3页（共 7页） 5. 已知，求 解： =， 所以。故四解答下列各题：（每小

3、题5分，本题满分10分） 得分 1. 已知数列，求证：收敛，并且证明：1)证有界因为,所以。假设，则。故有界。2）证单调因为，故为单调上升数列。由1）和2） 知道收敛。设，由，所以有解得。而且为单调递增数列，所以。故。 第 4 页（共 7 页） 2设，曲线 与三条直线所围平面部分绕x轴旋转成的旋转体的体积为取何值时，最大？解： ， 由得，。当时，故当时，达到极大值，且为最大值。五：证明下列各题：（1，2题各4分，3，4题各6分，本题满分20分） 得分1.证明方程至少有一个不超过的正根。证明：设，显然它在上连续。（i） 若，则即为满足条件的根。（ii） 若，则。而， 由零点定理知存在，使得。即为满足条件的根。 第 5 页（共 7 页） 2. 设函数且，试证：证明： 由 知道，所以。因为，故由积分中值定理知：，使得，即。3. 设在区间上有二阶导数。，证明：在区间内至少存在一点，使证明：将在与处展成一阶泰勒公式 (1) (2)令，注意到，(1),(2)有 (3) (4)(4)- (3) 得：所以： 第 6 页（共7 页） 取，即有。4. 设在区间上连续 ，且证明：存在一个使得证明：令，显然在上连续，在内可导，又，即。在由罗尔定理知，存在使得，即 第 7 页（共 7页） =