毕设论文-数学分析中的问题与反例.pdf

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1、 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 北京航空航天大学 本科生毕业设计（论文）任务书本科生毕业设计（论文）任务书、毕业设计（论文）题目：数学分析中的问题与反例 、毕业设计（论文）使用的原始资料（数据）及设计技术要求：、毕业设计（论文）工作内容：数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不 可缺少的重要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例 加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 、主要参考资料：1华东师范数学系，数学分析（第三版）（上、下册）M，北京：高等教育出版社，2001 2裴礼文，数学分析中的典型问题与方法M，北京：高等

2、教育出版社，2001 3吴良森、毛羽辉、宋国栋、魏木生，数学分析习题精解（单变量、多变量部分）M，北京：科学出版社，2002 4汪林，数学分析中的问题与反例M，云南：云南科技出版社，1990 数学与系统科学 学院（系）信息与计算科学 专业类 350911 班 学生 李 蕾 毕业设计（论文）时间：2009 年 2 月 23 日至 2009 年 5 月 31 日 答辩时间：2009 年 6 月 5 日 成 绩：指导教师：兼职教师或答疑教师（并指出所负责部分）：系（教研室）主任（签字）：北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 本人声明本人声明 我声明，本论文及其研究工作是由本人在导师指导下独立完成的

3、，在完成论文时所利用的一切资料均已在参考文献中列出。作者：李蕾 签字：时间：2009 年 6 月 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 数学分析中的问题与反例 学 生：李 蕾 指导老师：孙玉泉 摘 要 数学分析是一门很重要的基础课程，对学生数学思想的形成，后继课程的学习都有着重要的意义。而在数学分析中存在很多定理命题，运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而更容易加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解概念、巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，预防和纠正错误，将

4、起着十分重要的作用。本文针对这个问题，深入细致研究了数学分析中的很多问题的反例。系统的对数学分析中的反例进行总结研究，共分为数列、函数、微积分、级数、多元函数五个部分，各部分之间并非完全独立。针对多数定理及命题，用逆向思维方法从问题的反面出发，如果有问题，举出反例证实。本文所选的问题和反例比较典型，难度适中，解法精巧，富有启发性。本文对理解数学分析的基本概念，掌握数学分析的基本理论和技巧很有好处。关键词：数学分析，反例，函数 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 The Problems with Counterexample in Mathematical Analysis Author:

5、Li Lei Tutor:Sun Yu-quan Abstract Mathematical analysis is an important basic course,its very important to the formation of mathematical thought of students and learning of the following courses.However there are a lot of theorems and propositions,using appropriate counterexamples from another side

6、can recognize the essence of concept or rules,and its easier to deepen the understanding of knowledge.The counterexample of thought is an important thought in Mathematical thought,and it plays an irreplaceable role in the understanding of the concept,nature and the research,reasoning of problems.To

7、understand concepts correctly,Consolidate and master theorem,formula and rule,etc,train the logical thinking ability of students and prevent and correct errors,its necessary to use counterexamples felicitously.To the question,this text researchs a lot of problems with counterexamples in Mathematical

8、 Analysis deeply.Summary the counterexamples in Mathematical Analysis systematically and there are five sections:Series,function,differential and integral,series,function of several variables.And every section isnt independent.We can learn most theorems and propositions with the reverse thinking met

9、hod.If theres any problem,you can give the examples to verify from the opposite.The selected problems and counterexamples in this thesis are typical,appropriate difficult,and enlightening.Based on understanding the basic concept of Mathematical Analysis,grasping the basic theory and technique of Mat

10、hematical Analysis technique,the thesis is very good.Key words:Mathematical Analysis,Counterexample,Fuction 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 目 录 1 绪论1 1.1 课题背景及目的.1 1.2 国内外研究状况.2 1.3 课题研究方法.2 1.4 论文构成及研究内容.2 2 数列3 2.1 收敛数列的性质及反例.3 3 函数5 3.1 函数的某些性质及函数极限.3.2 函数的连续性 4 微分.13 4.1 一元函数的导数和微分.4.2 一元函数积分学 5 级数.32 5.1 数

11、项级数 5.2 函数列与函数列级数及其一致收敛性 6 多元函数 6.1 多元函数的极限与连续及其微分学 6.2 重积分与参变量积分 结论.13 致谢.13 参考文献.14 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 1 绪 论 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的

12、作用，而且，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。1.1 课题背景及意义 数学分析是一门很重要的课程，在自然课程中占有绝对基础地位。数学分析中存在大量的反例，用命题形式给出一个数学问题，

13、要判断它是错误的，利用只满足命题的条件但是结论不成立的例证，就足以否定这个命题。帮助人们深入地理解有关数学对象性质之外，还赋予了推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成等潜在的深刻涵义。美国数学家 BR盖尔鲍姆和 JMH奥姆斯特德指出:“数学由两大类证明和反例组成。而数学发现也是朝着两个主要目标提出证明和构造反例。从科学性来讲，反例就是推翻错误命题的有效手段。从教学上而言，反例能够加深对正确结论的全面理解。”“一个数学问题用一个反例予以解决给人的刺激犹如一出好的戏剧。”1充分利用反例是培养创造性思维的有效途径。波利亚说，“类比和反例是发明的伟大源泉，通过类比，可以获得一系列猜想，当猜想是谬

14、误时，反例是最简捷的说明方法。”21819 世纪有突出贡 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 献的数学家 Euler 和 Gauss，根据他们自身的工作经验，曾发表过一些“经验之谈”。Euler 说过：“反例和证明推动了数学学科的发展。”Gauss 也说过：他的许多定理都是靠反例法发现的。我们可以举出大量实例来说明经验反例法确实是发现数学真理的一种有效手段。在数学分析的学习中，我们不仅要运用正确的例子深刻理解知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。1.

15、2 国内外研究状况 数学分析是一门久远的学科，纵观数学发展的历史，许多新思想的诞生都是由于人们发现现存的会导致与事实相悖的结果，因此，从数学中的反例可以窥探到数学思想的一步步进化。通过研究国内外关于数学反例的相关文献发现：大部分都是研究数学反例的作用和构造，而这些反例比较繁复零乱，很少有非常系统的总结。1.3 课题研究方法 数学分析中有许多重要的典型反例,这些反例是数学分析理论不可缺少的重要组成部分。对于数学分析中的一些重要问题寻找反例，加深对概念等的理解，以及学习构造反例的方法。针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解；同时，对定理、公式和法则的

16、条件、实际意义和应用范围，举出反例来帮助同学们更好理解掌握。我们在数学分析中往往会遇到很多错误的命题，这些命题有时候可能会被忽略思考而误用，因此我们可以举出反例来强有力的说明否定这些错误的命题，从而正确掌握题解方法。反例有助于培养科学概括、深入钻研、自觉纠错的良好的思维品质，它是我们在数学学习中必须努力培养的十分重要的数学思维能力。构造反例带有一定的技巧性，有时是十分费力的，它不仅与基础知识掌握的程度有关，还涉及到知识 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 面的完善等。反例的引入、构造、对命题的再分析等，不仅能增加知识、拓宽思路、活跃思维、提高自学能力，也能提高分析问题和解决问题的能力，增加

17、数学素养，通过反例的构造可以培养的发散性思维和创造性思维。1.4 论文构成及研究内容 本文一共分为五个章节：数列、函数、微积分、级数和多元函数。针对大学期间数学分析学习中的问题，每部分都深入浅出的举出各种反例来说明验证。有些命题结论是显而易见的，因此，略掉了证明过程。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 2 数列极限 2.1 收敛数列的性质及反例 首先，我们熟知收敛数列的定义：设 na为数列，a为定数，若对任何的正数，总存在正整数N，使得当Nn 时有，对每一个，存在)(N，当Nn 时，有aan.对任意正数，有无限多个na，使（如L,5,4,3=），可 以 使aaann+=)1(1（这里a可以

18、是 0 或 1）小于每一个（L,5,4,3=），但却不能使aaann+=)1(1比任意小的正数还要小。论断对任意0，虽然有无限多个na使，都必须存在某个自然数N，即数列 na的某一项Na，从Na以后的所有项都必须满足），在 0 的邻域)0,0(+内；但在 na中无论从哪一项开始，其后总有不含在)0,0(+内的项。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 通过这两个反例，从反面进一步深刻理解了数列极限定义中的和N在定义中起到的作用、意义和要求，从而理解和掌握定义的实质。收敛数列有一些重要的性质 其中，在判断数列是否收敛时，运用四则运算法则，并不是机械的对极限加减乘除。（四则运算法则）若 na与 n

19、b为收敛数列，则nnba+，nnba，nnba也都是收敛数列，且有 nnnnnnnbaba+=limlim)(lim，nnnnnnnbaba=limlim)(lim.特别当nb为常数c时有 cacannnn+=lim)(lim，nnnnacca=lim)(lim.若再假设0nb及0limnnb，则nnba也是收敛数列，且有 nnnnnnnbaba=limlimlim.因此，收敛数列的四则运算是有限定条件的，否则可能并不成立。例如：2.1.1 数列 nx与 ny，通项分别为)1(1+=nxn，()2sinnnyn=（n=1,2,），则数列 nx收敛，ny发散，()112sin+=+=nnnnny

20、xnn，（n=1,2,）故其积nnyx发散。然而并不是只有收敛数列的运算结果才是收敛的，某些发散数列经过四则运算，结果也是收敛的。数列有界性仅是数列收敛的必要条件，不是充分条件，即数列有界但不一定收敛。反例：数列()n1有界，但它发散。2.1.2 数列 nx与 ny均为发散数列，通项分别为 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 ()()211nnx+=，()()211nny=(n=1,2,)。但0=nnyx（n=1,2,），因而数列nnyx收敛于零。2.1.3 两个非负的发散数列，其和却是一个收敛数列。取数列 1 ,0,1 ,0 ,1 ,0 ,及数列 0,1/2,0,2/3,0,3/4,，显

21、然，这两个数列都发散，但其对应项相加所组成的数列是 1,1/2,1,2/3,1,3/4,，它是一个收敛数列。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 3 3 函 数 3.1 函数的某些性质及函数极限 3.1.1 定义 1 设f为定义在D上的函数，若对任何正数M，都存在Dx0，使得Mxf)(0，则称f为D上的无界函数。无界函数的定义与函数趋于无穷大的定义有些相似。然而，这两个概念有本质上的差别。若0 xx 时，)(xf，则f在0 x 的每个邻域内必定无界。反之，函数f，它在0 x 的任何邻域内都是无界的，但当0 xx 时，()xf并不趋于无穷大。设 xxxf)1cos()(=，则对无论多大的正数

22、M，总有充分接近于0=x的点，使()Mxx1cos.例如，取nx1=，则()nxx=1cos，故当 Mn 时，就有()Mxx1cos.因此，函数f在0=x的任何邻域内都是无界的。然而，若取)21(1+=nxn，则当n时，0nx，此时0)1cos(nnxx，即f并不趋于无穷大。因此，上述命题的逆命题并不成立。由此可见，无界函数与函数极限趋于无穷大并不等价。3.1.2容易证明，若0r是函数f的周期，则r也是f的周期，nr（n=1,2,)也是f的周期。由此可见，周期函数的一切周期组成了一个关于原点对称的无穷集合。因此，对周期函数的周期进行研究时，只要研究其正周期就够了。即使对于定义在整个数轴上的周期

23、函数的所有正周期而言，并不是都有最小的。例如，定义在整个数轴上处处不连续的 Dirichelet 函数 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 =.1,0)(为有理数，为无理数xxxf 任一有理数0r均是它的周期。事实上，若x是无理数，则rx+也是无理数，故0)()(=+xfrxf；又 若x是 有 理 数，则rx+也 是 有 理 数，故 仍 有1)()(=+xfrxf。因正有理数集无最小数，故 Dirichelet 函数无最小正周期。注 对连续的周期函数来说，也未必有最小正周期。例如，常值函数Cxf)(，一切正实数都是它的正周期。因一切正实数无最小者，故常值函数无最小正周期。3.1.3 无穷大

24、量必为无界量，但无界量不一定是无穷大量。反例：xxxfcos)(=，当x无界量。事实上，对无论多大的0G，总存在nxn=，当Gn时，有 Gnnnxfn=cos)(然而，当x时，若取2+=nxn，此时 0)2cos()2()(=+=nnxfn，即)(xf并不趋于 3.1.4我们有如下命题：若满足下列两条件之一：（i）)(uf在0u连续，0)(lim0uxgxx=，（ii）Aufuu=)(lim0，0)(lim0uxgxx=，但在0 x的某个邻域),(00+xx内，当0 xx时0)(uxg，那么 )(lim)(lim00ufxgfuuxx=.这个定理具有很重要的意义，我们时常对自变量作代换来求极限

25、，其实是基于这个定理的。例如，求)(lim0 xgfxx时，作代换)(xgu=，而由0)(lim0uxgxx=，把求)(lim0 xgfxx的问题化为求极限)(lim0ufuu。但是这样作代换，并不是永远通行无阻的，还必须注意定理的条件。因此，在讨论)(lim0 xgfxx时，不考虑定理的条件而轻易地作代换)(xgu=，并从0)(lim0=xgx和1)(lim0=ufu来断定 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 1)(lim)(lim00=ufxgfux，那就是错误的。例如：设=,0 ,0,0 ,1)(uuuf=.,0,0,1)(为无理数是互质的整数，且与xqqpqpxqxg 显然，1)(

26、lim0=ufu，0)(lim0=xgx.但是，若取x为无理数，则0)(=xg，从而 0)(lim0=xgfx.若取x为有理数，qpx=，则qxg1)(=，从而 1)(lim0=xgfx 可见)(lim0 xgfx不存在。所以，函数)(ufy=，)(xgu=适合BufAu=)(lim，Axgax=)(lim，但)(limxgfax 不存在。3.2 函数的连续性 3.2.1关于乘积函数连续性的例子。关于乘积函数的连续性，我们熟知定理：若函数f与g在0 x处皆连续，则fg在0 x处亦连续，但当f与g在0 x处不同时连续时，可以有下述各种不同情况。(a)函数xxf=)(在0=x连续。)1sin()(

27、xxg=，0 x；0)0(=g在0=x处不连续。由于)0()0(0)1sin(lim0gfxxx=，故fg在0=x连续。(b)xxf=)(在0=x连续，xxg1)(=，0 x，0)0(=g在0=x处不连续。其积fg在0=x不连续。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 (c)设=.0 ,0,0 ,1)(,0 ,1,0 ,)(xxxgxxxxf 则 f 与g在0=x处皆不连续。然而 0)1(lim)()(lim00=xxgxfxx，01lim)()(lim00=+xxgxfxx，所以)0()0(0)()(lim0gfxgxfx=，即fg在0=x连续(d)设xxgxf1)()(=，0 x；0)0(

28、)0(=gf.则f与g在0=x处皆不连续，其积在0=x处亦不连续。综上所述，可列出下表（表 3.1）。表 表 3.1 0 xxf=在 0 xxg=在 0 xxfg=在 例 1 2 3 4 5 连 续 连 续 连 续 不连续 不连续 连 续 不连续 不连续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 连 续 不连续 定理(a)(b)(c)(d)3.2.2 关于复合函数连续性的例子。关于复合函数的连续性，我们熟知定理：若)(xf在0 xx=连续，)(yg在()00 xfy=连续，则复合函数()()xfg在0 xx=连续。但当)(yg在0yy=，)(xf在0 xx=不同时连续时，可以有下述各种不同的结果

29、。(a)设=,0,0 ,1)(为无理数为互质的整数，且xqqpxqxf=.为无理数y ，0为有理数,y 1,)(yg 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 则f在0=x连续，g在)0(f不连续，而复合函数()()1xfg在0=x连续。(b)设2)(xxf=，再设=.1 ,53,1 ,)(yyyyyg 则)(xf在1=x连续，)(yg在1)1(=f不连续。因为=,1 ,53,1 ,)(22xxxxxfg 所以复合函数()()xfg在1=x不连续。(c)函数xxfsgn)(=在0=x不连续，)1()(2yyyg=在0=y连续，因 0)sgn1)(sgn)(2=xxxfg，故()()xfg在0=x

30、连续。(d)设=为无理数，为有理数，xxxf 0 ,1)(yyg=)(，则)(xf在0=x不连续，)(yg在1)0(0=fy连续，而复合函数=.0,1 )(为无理数，为有理数，xxxfg 在0=x不连续。(e)设=.0 ,1 ,0,1 )(xxqqpqpxqxf为无理数或是互质的整数，且与=.0,1)(为无理数，为有理数yyyg 则)(xf在0=x不连续，)(yg在1)0(0=fy也不连续，然而()()1xfg连续。(f)设xxf1)(=，0 x，0)0(=f；yygsgn)(=，则)(xf在0=x不连续，)(yg在0)0(0=fy不连续，符合函数xxfgsgn)(=在0=x也不连续。北京航空

31、航天大学毕业设计(论文)第 页 综上所述，可列出下表（表 3.2）表 3.2 表 3.2 )(xf在0 xx=)(yg在)(00 xfy=)(xfg在0 xx=例 1 2 3 4 5 6 7 连 续 连 续 连 续 不连续 不连续 不连续 不连续 连 续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 不连续 连 续 连 续 不连续 连 续 不连续 连 续 连 续 定理(a)(b)(c)(d)(e)(f)3.2.3 容易证明：若f在),0+上连续且)(limxfx存在，则f在),0+上一致连续。但是，若把“)(limxfx存在”代以“f在),0+上有界”。则这个命题就不成立了。如：设2sin)(xxf

32、=，则f在),0+上连续且有界。但是，它在),0+上并不一致连续。事实上，对于210=，无论怎样选取0，总可取正整数0n充分大，使01n.再取2101)2(nx=，2102)212(+=nx，则有 22122=xx.=+=+=nnxfxf 因此，2sin)(xxf=在),0+上不一致连续。所以，上述反例说明：一个在),0+上连续且有界的函数，它在),0+上不一致连续。3.2.4 若)(yf是严格单调的连续函数，而递增函数)(xgy=在点0 x间断，则复合函数)(xgf在0 x亦必间断。在这个陈述中，函数f的严格单调性不能减弱为单调性。例如：两个单调函数f，g，其中f连续而g间断，但复合函数gf

33、o确实连续的单 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 调函数。在区间0,2上如下定义函数：+=.21 ,1,10 ,)(xxxxxg 显然，函数g在0,2上递增的，它有间断点1=x，且0)0(=g，3)2(=g。现在，我们在区间0,3上定义函数f;=3.y2 1,-y2,y1 1,1,y0 ,)(yyf 显然，f在区间0,3上递增，且xxgf=)()20(x。因此，gfo是区间0,2上的单调连续函数。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 4 一元函数积分与微分 4.1 一元函数的导数和微分 4.1.1 定理 1 若函数f在点0 x可导，则f在点0 x连续。其中，可导仅是函数在该点连续的充分

34、条件，而不是必要条件。如函数xxf=)(在点0=x处连续，但不可导。而且，函数f在某点可微，只能保证f在该点连续，而不能保证f在该点的某个邻域内连续。例如：函数=.0 ,)(2为有理数，为无理数，xxxxf 在0 x的点都间断，而0=x处有导数0)0(=f。这是因为当h是有理数时，000)0()(=hhfhf，而当h是无理数时，00)0()(2=hhhhfhf )0(h.设0)(=xf，当x为有理数；xxxf+=2)(，当x为无理数。则函数f也仅在0=x处连续且可微，1)0(=f。4.1.2 关于乘积函数可微性的例子。关于乘积函数的可微性，我们熟知定理：若函数f与g在点0 x皆可微，则乘积函数

35、fg在点0 x亦可微。但当f或g在0 x不可微时，可以有下述各种不同的结果。(a)xxf=)(在0=x可微，xxg=)(在0=x处不可微，由于 0lim)0()0()()(lim00=xxxxgfxgxfxx，因而fg在0=x处可微，且0)0()(=fg。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 (b)xxf=)(在0=x可微，xxgsgn)(=在0=x处不可微，而乘积函数 xxgxf=)()(在0=x不可微。(c)xxgxf=)()(在0=x处不可微，而乘积函数2)(xxfg=在0=x可微。(d)函数21)()(xxgxf=在0=x处不可微，乘积函数xxgxf=)()(在0=x处也不可微。综上

36、所述，可列出下表（表 4.1）。表 4.1 表 4.1 f在0 xx=g 在0 xx=fg在0 xx=例 1 2 3 4 5 可 微 可 微 可 微 不可微 不可微 可 微 不可微 不可微 不可微 不可微 可 微 可 微 不可微 可 微 不可微 定理(a)(b)(c)(d)4.1.3 关于复合函数可微性的例子。关于复合函数的可微性，我们熟知定理：若)(xf在0 xx=可微，)(yg在)(00 xfy=可微，则复合函数)(xfg在0 xx=可微。但当)(yg在0yy=，)(xf在0 xx=不同时可微时，可以有下述各种不同的结果。(a)2)(xxf=在0=x可微，yyg=)(在0)0(0=fy不可

37、微，而复合函数 2)(xxfg=在0=x可微。(b)xxfsin)(=在0=x可微，yyg=)(在0)0(0=fy不可微，而复合函数 xxfgsin)(=在0=x不可微。(c)xxf=)(在0=x不可微，2)(yyg=在0)0(0=fy可微，而复合函数 2)(xxfg=在0=x可微。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 (d)xxf=)(在0=x不可微，yygsin)(=在0)0(0=fy可微，复合函数 xxfgsin)(=在0=x不可微。(e)xxxf3132)(=在0=x不可微，yyyg+=2)(在0)0(0=fy不可微，而复合函数 xxfg=)(在0=x可微。(f)xxfsin)(=在

38、0=x不可微,yyg=)(在0)0(0=fy不可微，复合函数（在0=x的某个邻域内）xxxfgsinsin)(=在0=x不可微。综上所述，可列出下表（表 4.2）。表 4.2 表 4.2 f在0 xx=g 在0 xx=)(xfg在0 xx=例 1 2 3 4 5 6 7 可 微 可 微 可 微 不可微 不可微 不可微 不可微 可 微 不可微 不可微 可 微 可 微 不可微 不可微 可 微 可 微 不可微 可 微 不可微 可 微 不可微 定理(a)(b)(c)(d)(e)(f)4.1.4若f在ba,上连续，且在()ba,内可微，则至少存在一点()ba,，使得()()()abafbff=.反过来，

39、如果给定了某点()ba,，未必存在1x，()bax,2，使()1212)()(xxxfxff=设 2)(xxf=，11x，则导函数23)(xxf=在区间-1,1上连续。取0=，则0)(=f，但是不存在 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 点1x及2x()210 xx，使得 0)0()()(1212=fxxxfxf，因为否则将会有()0)(313212=xxxfxf，然而这是不可能的。4.1.5 定理 2（罗尔（Rolle）中值定理）若函数f满足如下条件：(i)f在闭区间 ,ba上连续；(ii)f在开区间),(ba内可导；(iii)()(bfaf=,则在),(ba内至少存在一点，使得.0)(

40、=f 那么，我们在实轴上定义 xixexfiwsincos)(+=，+x 此函数是处处连续和可微的，但是不存在区间()ba,，ba，使得在a与b之间能有某个，满足等式)()()(abfafbf=，即()()()()abiaiabib+=+cossinsincossincos.事实上，假定上述等式成立，则等式两边的模（绝对值）的平方亦应相等，即()()()222sinsincoscosababab=+，于是，利用基本恒等式将得出 2222sin=abab.但这是不可能的，因为没有一个正数h能够使hh=sin.注 上述反例说明，对于复值函数而言，中值定理不再有效。北京航空航天大学毕业设计(论文)第

41、 页 4.1.6 求00型或型的不定式极限，我们常以导数为工具来研究，运用洛必达（LHospital）法则。法则 1 如果函数()f x与函数()g x满足：(1)00lim()lim()0 xxxxf xg x=；(2)函数()f x与()g x在点0 x的附近均可导，且()0g x；(3)0()lim()xxfxg x存在(或为无穷大)那么 00()()limlim()()xxxxf xfxg xg x=法则1满足0 xx，并且同样满足0 xx.法则2 如果函数()f x与函数()g x满足：(1)00lim()lim()xxxxf xg x=；(2)函数()f x与()g x在点0 x的

42、附近均可导，且()0g x；(3)0()lim()xxfxg x存在(或为无穷大)那么 00()()limlim()()xxxxf xfxg xg x=法则1满足0 xx，并且同样满足x.使用洛必达法则必须注意以下两点：（1）洛必达法则只适用于0,0未定式，其他未定式须先化成这两种类型之一，然后再用该法则；（2）洛必达法则的条件是充分的，但不是必要的，因此，该法则失效但极限仍有可能存在.有些极限虽然是未定式，但使用洛必达法则无法计算出其极限值，这时应考虑用其它方法例如求21limxxx+，两次使用洛必达法则后，又还原成原来的 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 形式，因而洛必达法则对它失效

43、，事实上 2211limlim11xxxxx+=+=我们还可以举出很多该法则失效的例子。例如)()()()(xxxxeeeexgxf+=当+x时，是型不定式。用LHospital 法则，有)()()()()()(xxxxxxxxeeeeeeeexgxf+=+=仍是型不定式。再用 LHospital 法则，有)()()()(xxxxxxxxeeeeeeee+=+，又回到了原来的)()(xgxf.所以，无法用 LHospital 法则求这个极限。但 是，实 际 上 这 个 极 限 是 存 在 的，当+x时，1)()(+xxxxeeee.又例如xxxxgxf)sin()()(+=，当+x时，是型不定

44、式 用 LHospital 法则，有xxxxxgxfcos1)sin()()(+=+=，+x极限不存在。遇到这种情况，LHospital 法则就失效了。但是，实际上这个极限是存在的，当+x时，1)sin(+xxx.4.1.7定义1 若函数f的导函数f在点0 x可都，则称f在点0 x的导数为f在点0 x的二阶导数，记做)(0 xf，即 )()()(lim0000 xfxxxfxfxx=.若)(xf存在，则 20)(2)()(limhxfhxfhxfh+也存在且等于)(xf。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 反过来，逆命题并不成立。例如：在闭区间-1,1上定义函数=.0 ,0,0 ),1si

45、n()(2xxxxxf 经直接计算可得 20)0(2)0()0(limhfhfhfh+0)1sin()1sin(lim2220=+=hhhhhh 但是，由于导函数()()=.0 ,0,0 ,1cos1sin2)(xxxxxxf 在0=x处间断，因而)0(f不存在。因此，函数f，()20)(2)()(limhxfhxfhxfh+存在而)(xf不存在。4.2 一元函数积分学 4.2.1 定义2 设f是定义在,ba上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任何的正数，总存在某一个正数，使得对,ba的任何分割T，以及在其上任意选取的点集 i，只要T，就有=.0 ,00 ,0 ,1xxxnnmnmxnxf为

46、无理数或是互质的整数，且与 则)(xf在1,0上可积。再设=.0 ,0,0,0 ,1为无理数或是互质的整数，与且xxnnmnmxxnxf 再设)(yg定义于1,0：=.0 ,1)(为有理数，为无理数，yyyg 显然，)(xf在1,0上可积，)(yg在1,0上不可积，而复合函数在1,0上 0)(xfg 显然可积。(c)设在1,0上，()xxf=1，而在1,0上=.0 ,1)(为有理数，为无理数，yyyg 显然，)(xf在1,0上可积，)(yg在1,0上不可积，而复合函数在1,0上：=.,0 ,1)(为有理数为无理数，xxxfg 它显然不可积。(d)在区间1,0上定义函数f为：()=.0 ,为无理

47、数，为有理数，xxxxf 它显然不可积。而在1,0上定义函数)(yg为;=.0 ,0,0,0 ,1)(为无理数或是互质的整数，与且yynnmnmyynyg g在1,0上可积，而复合函数=.0 ,0,0,0 ,1)(为无理数或是互质的整数，与且xxnnmnmxxnxfg 在1,0上可积。(e)设)(xf如(d)，而在1,0上2)(yyg=，此时复合函数 北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 =.,0 ,)(2为无理数为有理数，xxxxfg 在1,0上不可积。(f)设在1,0上定义f为：()=.0 ,1为有理数，为无理数，xxxf 而在1,0上定义)(yg为：=.0 ,1)(为有理数，为无理数，

48、yyyg 它们在1,0上均不可积，而复合函数 0)(xfg 在1,0上可积。(g)在区间1,0上定义函数f为：()+=.,2为有理数，为无理数，xxxxxf 它在1,0上不可积。再在区间3,2上定义)(yg为：=.0 ,1)(为有理数，为无理数，yyyg 于是，复合函数)(xfg为：=.,0 ,1)(为有理数为无理数，xxxfg 显然，)(yg与)(xfg均不可积。至于)(xf和)(yg均可积时，)(xfg为可积的例子是平凡的，如取)(xf及)(yg均为连续即可。综上所述，可列表如下（表 5.4）。北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 表表 5.4 )(xf在ba,)(yg在ba,)(xfg

49、在ba,例 1 2 3 4 5 6 7 8 可 积 可 积 可 积 可 积 不可积 不可积 不可积 不可积 可 积 可 积 不可积 不可积 可 积 可 积 不可积 不可积 可 积 不可积 可 积 不可积 可 积 不可积 可 积 不可积 平凡(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)4.2.3 定理2（积分中值定理）若f在ba,上连续，g在ba,上不变号且可积，则在()ba,中存在一点，使=babadxxgfdxxgxf)()()()(.定理中的条件改变，结论就不一定成立。假设f在区间ba,上不连续时。例如：存在函数f和g，使得f在ba,上可积，g在ba,上不变号且可积，而在()ba,中不存在满

50、足等式=babadxxgfxgxf)()()()(（4.1）的。设1)(xg，再设=.01 ,1,10 ,1 )(xxxf 则 0)()(11=dxxgxf，2)(10=dxxg.于是，由函数f的定义可知，不存在()1,1，使=1111)()()()(dxxgfdxxgxf.北京航空航天大学毕业设计(论文)第 页 5 级数 5.1 数项级数 5.1.1如果级数=1nna收敛，那么其部分和数列有界且0lim=nna。这个命题显然是成立的，而它的逆命题却不成立。一个发散数列=1nna，其部分和数列有界且0lim=nna。设 na为 L ,41 ,41 ,41 ,41 ,31 ,31 ,31 ,21