2004 华中科技大学 数学分析试题及解答.doc

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1、华中科技大学2004年数学分析试题及解答以下每题15分1设，（），（）求级数之和解 由（），得2设，（）证明（）此估计式能否改进？证明 将、在点（）用Taylor公式展开并相减，则得（），由于，因此得此不等式可以改进为：（），因为时，上式3设有处处连续的二阶偏导数，证明证明 4设在上连续，在内可微，存在唯一点，使得，设，（），证明是在上的最大值证明 （反证法），假设不是在上的最大值。由于，存在，当时，。考察闭区域，显然，由已知在上连续，从而在上取得最大值，设为。显然在上，总有，因而必有：。当时，因此是在上的最大值。由假设，。这与已知矛盾，可知假设不真。5设处处有证明：曲线位于任一切线之上方，且

2、与切线有唯一公共点证明 设为曲线上任一点，在该点处曲线的切线方程为对曲线上任意点，按Taylor公式展开，得由知，当时，而为唯一公共点得证6求，是取反时针方向的单位圆周解 的参数方程：7设是连续正值函数，证明（）是严格单调减函数证明 ，当因此，（）是严格单调减函数。8设级数收敛，证明证明 由收敛知，在上一致收敛，从而左连续，即对，有，于是9设在上连续，其零点为，证明：积分收敛级数收敛证明 ，若收敛，则，即收敛。若不收敛，同理可知不收敛。10设，在上连续，（），当时，在上一致收敛于证明：至少存在一点，使得证明 由在上一致收敛于，得知在上连续，且数列收敛于，即，由于，得，至少存在一点，使得注 或用反证法：若对，有，由的连续性得，与上面相同证法，推出矛盾