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1、关于级数(x nx n-1)一致收敛性的一点儿理解a. (x nx n-1)这个级数的一致收敛性有点意思。它在(0,1)这个开区间上不一致收敛,但若任意给一个正数rN时,对区间I上的一切x,都有不等式| rn (x) |=| s(x)sn (x) | N时,并非对区间上一切x都有不等式成立,再具体说就是在区间I上,总有不满足不等式的点存在。比如我现在取一个点x=a在区间内,即令0a1,那么显然0a1/ n1也在区间内,因此x= a1/ n 也属于区间内的点,也该接受检验。好了,现在我假设这个级数是一致收敛的,那么我取一个N时,一切x都满足x n a/2,可是很显然,x= a1/ n 这个点就不
2、满足这个条件,因此这个假设是错误的。d. 刚刚搞清这个,现在却要面对一个更让人匪夷所思的结论:这个级数虽然在(0,1)内不一致收敛,但如果任意给一个正数r1,则在0,r这个闭区间上却一致收敛。这是什么意思?倘若我用刚才的思路如法炮制,在0,r内也找一个不满足条件的点不就使这个结论崩溃了吗?好吧,让我们再来演一遍:我取一点x=a在0,r区间内,那么x= a1/ n也应在区间0,r 内,那么x= a1/ n需要接受检验。现在我取一个N时,一切x都满足x n a/2,可是x= a1/ n 这个点不满足这个条件,所以在0,r内该级数不是一致收敛的,这样结论就错了。e. 如果各位对真理怀有一点敬畏的话,
3、就不会胡乱怀疑前人总结出来的经典定理。事实上结论没有错,错的是上面那个推导,是推理过程发生了偏差。可是推理是仿效上面的正确推理,一切都按部就班,究竟错在哪里呢?我们来看一下:大家可以注意一下那行黑体字,实际上这个判断是没有根据的,x= a在0,r区间内,并不等于说x= a1/ n一定也在区间0,r 内。正确的情况是:可能在其内也可能不在其内,比如令r=0.8,a=0.04,当n=2时,a1/ n =0.2,在0.8内,但如果令r=0.1,就不在其内了(r可以是任意取的)据此,就不能以此作为判断依据。事实上,我猜想,如果最终结论是正确的话,那么x= a1/ n应该是在区间0,r 之外的。虽然现在
4、我已经不知道这到底意味着什么(太抽象了),不过我可以运用逻辑作如下证明:-命题:已知任意给一个正数r1,在0,r这个闭区间上级数(x nx n-1)一致收敛,即对于0,r内任意一点x都使得x n 成立,那么对于其内一点a(0 a r ), a1/ n 在0,r之外。证明:运用反证法。假设0 a1/ n r 。取一个使得 a r ,那么在0,r内对于任意x都有x n = 0 因此该函数在0,r内单调递增,从而MAXx n = r n,因此有r n r n r r , 即 a1/ n 在0,r之外。证毕。_!-f. 这个级数之所以这么特殊,是因为余项的形态和所选区间之故,因为余项为x n 而区间为
5、(0,1),这就导致当x趋于1时无论n为多少余项必然会趋于1,因此x无限接近于1时,x n也必然无限接近于1,这样就不满足接近于0(充分小)的条件了。这也就比较好形象地理解它为什么不是一致收敛了,对于一致收敛的级数,每一个区间内的点最终都会同时到达终点,但对于非一致收敛函数(像今天讨论的这个例子),虽然可以保证每一个区间内的点最终都会到达终点,但却不可能有同时全部都到达终点的情况,再详细点说,就是当你期待的那些非常远的点终于到达终点时,后面仍然总是有很多点还离终点尚早,然而它们也正朝终点赶来,最终它们也会到达终点,可是它们之后,还是会有前仆后继的点朝终点赶来。今天的这个例子也有一个名字,叫“逐点收敛”。而“一致收敛”还有另外一个名字,叫“均匀收敛”。有关逐点收敛和均匀收敛更多的知识,可以查阅维基百科。下面是我用flash as2 做出的y= x n 的曲线图,x取在(0,1)内,n分别取到1,2,3,10,20,30(n越大耗费的功夫越久,为了让这些曲线同时出现,机子问了我是否继续不下5遍.)。关于数列极限的练习
限制150内