具有垂直传染非自治SIR传染病模型的持久性和灭绝性_刘.pdf

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1、具有垂直传染非自治 SIR 传染病模型的持久性和灭绝性X刘艳萍(新疆大学 数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)摘要:通过对一类具有垂直传染的非自治SIR传染病模型的研究,在较弱的条件下,不仅得到了疾病一致强持久(即疾病流行)的充分必要条件,而且给出了疾病消失的判别准则.关键词:垂直传染;非自治 SIR 传染病模型;持久性;灭绝性;疾病中图分类号:O175.14 文献标识码:A文章编号:1000-2839(2005)03-0263-07Persistence and Extinction for a Non-autonomous SIREpidemic Model with Ver

2、tical Transmitted DiseasesLIU Yan-ping(College of Mathematics and System Sciences,Xinjiang University,Urumqi,Xinjiang 830046,China)Abstract:In this paper a non-autonomous SIR epidemic model is studied.U nder the quite weak assumptions,wenot only have established the sufficient and necessary conditio

3、ns of the uniformly strong persistence of thedisease,but also obtained a criterion on the extinction of the disease.Key words:vertical transmitted diseases;nonautonomous SIR epidemic model;persistence;extinction;disease0引言考虑如下非自治的具有垂直传染和预防接种的 SIR 传染病模型:dSdt=-B(t)SI+1-m(t)b(t)(S+R)+p(t)b(t)I-b(t)S,dI

4、dt=B(t)SI+q(t)b(t)I-d(t)I-C(t)I,dRdt=C(t)I-d(t)R+m(t)b(t)(S+R).(1)其中,S(t)表示易感者,I(t)表示染病者,R(t)表示移出者,总人口为 N(t)=S(t)+I(t)+R(t),b(t)和 b(t)分别是非染病者 S+R 和染病者 I 的出生率系数,d(t)和 d(t)是相应的死亡率系数,C(t)是恢复率系数,q(t)是垂直传染的概率,p(t)=1-q(t),m(t)是对易感者 S 和移出者 R 的新生儿进行预防接种的比例.在模型(1)中,当参数 B(t),m(t),b(t),p(t),b(t),d(t),q(t),d(t)

5、和 C(t)都是正常数时,将得到如下自治的具有垂直传染和预防接种的 SIR 传染病模型:dSdt=-BSI+(1-m)b(S+R)+pb I-bS,dIdt=BSI+qb I-d I-CI,dRdt=C I-dR+mb(S+R).(2)在假设 b=d 和 b=d,即非染病者 S+R 和染病者 I 的出生率等于死亡率时,文献 1 中得到了模型第 22 卷第 3 期新疆大学学报(自然科学版)Vol.22,No.32005 年 8 月Journal of Xinjiang University(Natural Science Edition)Aug.,2005X收稿日期:2004-05-10作者简介

6、:刘艳萍(1968-),女,副教授,(2)的疾病流行的阈值条件,即下面的不等式R0=(1-m)Bpb+C 1.它等价于(1-m)B-(p b+C)0.(3)文献 1,2 证明了,当条件(3)成立时模型(2)存在一个全局渐近稳定的地方病平衡点 E+(S*,I*,R*),此时有 limt+I(t)=I*0,这表明疾病是流行的.而当条件(3)不成立时,模型(2)的无病平衡点E0(1-m,0,m)是全局渐近稳定的,此时有 limt+I(t)=0,这表明疾病是灭绝的.本文的目的是将上述自治系统的结果推广到非自治的模型上去.就一般非自治的具有垂直传染和预防接种的SIR 传染病模型(1)进行研究.将利用文献

7、 35 中作者提出的新方法建立模型(1)的疾病流行的新的阈值条件.这个新的阈值条件表明,模型(1)中的染病者 I 是持续生存的,也就是传染病是流行的.而且将看到这个条件也是染病者 I 持续生存的,即传染病将流行的充分必要条件.特别地,当模型(1)退化成为自治模型(2)时,这个新的阈值条件将退化为条件(3),成为模型(2)的地方病平衡点全局渐近稳定的充要条件.1准备工作在模型(1)中同样假设 b(t)=d(t)和 b(t)=d(t),即在任何时刻的非染病者S+R 和染病者 I 的出生率等于死亡率.将模型(1)中 3 个方程相加,得到:dNdt=dSdt+dIdt+dRdt 0.这表明在模型(1)

8、中总人口 N(t)N 是一个常数.因此不妨假设 N(t)=1.将 S(t)=1-I(t)-R(t)代入系统(1)中,并且设P(t)=B(t)-(p(t)b(t)+C(t),Q(t)=m(t)b(t)和 A(t)=C(t)-m(t)b(t),则得到模型(1)的如下形式的等价系统:dIdt=I P(t)-B(t)I-B(t)R,dRdt=Q(t)+A(t)I-b(t)R.(4)对模型(1)引入如下基本假设:(H)P(t)是定义于R+=0,)上的有界连续函数.Q(t),B(t),A(t)和 b(t)是定义于 R+上的非负有界连续函数.并且存在常数 X 0使得lim inftt+XtB(u)du 0,

9、lim inftt+Xtb(u)du 0.关于模型(1)的染病者 I 一致强持续生存和灭绝,也就是传染病的流行与灭绝,有如下定义.定义 1(a)染病者 I 称为是一致强持续生存的,如果存在常数 m 0 使得对于模型(1)的任意正解(S(t),I(t),R(t)都有 lim inftI(t)m.(b)染病者 I 称为是灭绝的,如果对于模型(1)的任意正解(S(t),I(t),R(t)都有 limtI(t)=0.下面,给出将要用到的两个引理.考虑如下的非自治线性微分方程:du(t)dt=A(t)-B(t)u(t),(5)其中,A(t)和 B(t)是定义在 R+上的有界连续函数.有下面的结论.引理

10、1设存在常数 X1 0,使得 lim inftt+X1tA(s)ds 0,那么(a)方程(5)的每个固定解 u*(t)在 R+上有界,并且一致地吸引方程(5)的所有其它解.(b)设 u(t)是方程(5)的一个解,u-(t)是方程(5)中 A(t)被另一个连续函数 A-(t)代换后所得方程的一个解.如果 u(0)=u-(0),则存在一个仅依赖于 B(t)的常数 M,使得suptR+u(t)-u-(t)M suptR+A(t)-A-(t).264新疆大学学报(自然科学版)2005 年(c)如果 inft0A(t)0,并且存在常数 X2 0 使得 lim inftt+X2tA(s)ds 0,则存在常

11、数 M m 0,使得对于方程(5)的满足初始条件u(0)0 的任意解有m lim inftu(t)lim suptu(t)M.引理 2设存在常数 X1 0,使得lim inftt+X1tA(s)ds 0.设u*(t)是方程(5)的某个固定的解.若函数 u-(t)对 t t0有定义,连续可微,且满足du(t)dt A(t)-B(t)u(t),或者du(t)dt A(t)-B(t)u(t).则对任何常数 E 0 存在 T=T(E)t0使得 u-(t)u*(t)-E或者 u-(t)u*(t)+E对一切 t T.这两个引理的证明比较简单,这里省略.2主要结果设 R*(t)是方程dRdt=Q(t)-b(

12、t)R的满足初始条件 R*(0)0 的某个固定的解.根据假设(H)和引理 1能够得到 0 inft0R*(t)supt0R*(t)0 使得lim inftt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0.证明设(S(t),I(t),R(t)是模型(1)的满足初始条件 S(0)0,I(0)0 和R(0)0 的任何解,则有(I(t),R(t)满足系统(4).从系统(4)的第一个方程求得I(t)=I(0)exp0t P(u)-B(u)I(u)-B(u)R(u)du.这表明 I(t)0对任何 t 0.进一步根据系统(4)的第二个方程得到dR(t)dt Q(t)-b(t)R(t).解得R(t)R(0)ex

13、p-t0b(u)du+t0 Q(v)exp(-tvb(u)du)dv.这表明 R(t)0 对任何 t 0.最后根据模型(1)的第一个方程得到dS(t)dt S(t)-B(t)I(t)-m(t)b(t).于是S(t)S(0)expt0-B(u)I(u)-m(u)b(u)du.这表明 S(t)0对任何t 0.所以模型(1)的满足初始条件(S(0),I(0)0,R(0)0的任一解(S(t),I(t),R(t)均为正解.又因为 N(t)=1,所以 I(t)和 R(t)在 R+上有定义和有界,并且界为 1.现在证明定理的充分性.由于lim inftt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0,可以选择

14、足够小的正常数 E0,E1,D和一个充分大的正常数 T0 0 使得对任何 t T 有t+Kt P(u)-B(u)E0-B(u)(R*(u)+E1)du D.(6)对任给的常数 E2 0,考虑下面的辅助方程265第 3 期刘艳萍:具有垂直传染非自治SIR传染病模型的持久性和灭绝性dR(t)dt=Q(t)+A(t)E2-b(t)R(t).(7)设 R*E2(t)是方程(7)满足初始条件 R*E2(0)=R*(0)的非负解.根据引理 1 的结论(b)得到,当 E2 0 时R*E2(t)对 t R+一致地收敛到 R*(t).因此,存在 0 E2 E0使得R*E2(t)R*(t)+E12对一切 t 0,

15、(8)先证明 lim supt+I(t)E2.假如结论不成立.则有 lim supt+I(t)E2,于是存在常数 T1T0使得 I(t)0 使得对于模型(1)的任何正解(S(t),I(t),R(t)都有 lim inftI(t)G.如果结论不成立,则可以取模型(1)的一个初始值序列 Zn=(Sn,In,Rn),且 Sn 0,In 0 和 Rn 0,使得lim inftI(t,Zn)E2n2对一切 n=1,2,(10)这里(S(t,Zn),I(t,Zn),R(t,Zn)是模型(1)的满足初始条件(S(0,Zn),I(0,Zn),R(0,Zn)=Zn的解.由于上面已经证明 lim suptI(t,

16、Zn)E2,于是根据(10)式对每一个 n 存在两个时间序列 t(n)q和 s(n)q,满足0 s(n)1 t(n)1 s(n)2 t(n)2 s(n)q t(n)q,和 limns(n)q=使得I(s(n)q,Zn)=E2n,I(t(n)q,Zn)=E2n2(11)和E2n2 I(t,Zn)0 使得对任何a R+和 t P 都有a+ta P(s)-B(s)E0-B(s)(R*(s)+E1)ds D.由于 0 0,且 T 不依赖于任何n 和 q 使得RE2(t)R*E2(t)+E12(14)对一切 t s(n)q+T 和 n,、q=1,2,.根据不等式(12),由于dR(t,Zn)dt Q(t

17、)+A(t)E2-b(t)R(t,Zn)对一切 t s(n)q,t(n)q.根据比较原理得到R(t,Zn)RE2(t)对一切 t s(n)q,t(n)q.(15)由(13)式能选择充分大的正常数 N 使得当 n N 时有t(n)q-s(n)q P+T.根据(8),(14)和(15)式最终得到R(t,Zn)R*(t)+E1对一切 t s(n)q+T,t(n)q.于是根据(12)式进一步有dI(t,Zn)dt I(t,Zn)P(t)-B(t)E0-B(t)(R*(t)+E1)(16)对一切 t s(n)q+T,t(n)q.积分(16)式从 s(n)q+T 到 t(q)n,得到E0n2=I(t(n)

18、q,Zn)I(s(n)q+T,Zn)expt(n)qs(n)q+T P(u)-B(u)E0-B(u)(R*(u)+E1)duE0n2expt(n)qs(n)q+T P(u)-B(u)E0-B(u)(R*(u)+E)duE0n2.这是矛盾的.所以最终有 lim inftI(t)G.其次证明定理的必要性.即若模型(1)中的染病者 I(t)是一致强持久的,则必存在常数 K 0 使得lim inftt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0.如果结果不成立,则对任意常数 K 0 有lim inftt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0.(17)设(S(t),I(t),R(t)是模型(1)的

19、某个满足初始条件(S(0),I(0),R(0)0 的正解.由于 lim inftI(t)0,故存在常数 G0 0 使得对一切 t 0 有 I(t)G0.由于dR(t)dt Q(t)-b(t)R(t)对一切 t 0,根据引理 2 得到,对任何常数0 E 0 使得当 t T0时有R(t)R*(t)-E.因为lim inftt+XtB(u)du 0,故存在常数 C 0 和 T1 T0,当 t T1时有t+XtB(u)du C.选取常数p 0 使得exp-12p(G0-E)0 使得KpC-supt0B(t)X p.显然,对任意 N KpX 和 t T1,由于存在常数 K Kp使得 N K X+t,(K

20、+1)X+t,得到267第 3 期刘艳萍:具有垂直传染非自治SIR传染病模型的持久性和灭绝性t+NtB(u)du=t+Xt+t+K Xt+(K-1)X+t+Nt+K X B(u)duK C-supt0B(t)Xp.因此,根据不等式(17)得到,对于任意常数 KKpX 有lim inftt+Kt P(u)-B(u)(G0-E)-B(u)R*(u)du-p G0.于是,存在 t*C使得t*+Kt*P(u)-B(u)(G0-E)-B(u)R*(u)du-12p G0.然而,积分方程(4)的第一个方程从 t*到 t*+K,根据上述不等式得到如下矛盾G0 I(t*+K)=I(t*)expt*+Kt*P(

21、u)-B(u)I(u)-B(u)R(u)du I(t*)expt*+Kt*P(u)-B(u)G0-B(u)(R*(u)-E)du expt*+Kt*P(u)-B(u)(G0-E)-B(u)R*(u)du exp-12p(G0-E)0 使得lim inftt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0.从而证明了定理成立.关于染病者 I 的灭绝性,即传染病将灭绝,有如下结果.定理 2在假设(H)下,如果存在常数 K 0 使得lim suptt+Kt P(u)-B(u)R*(u)du 0.(18)则模型(1)的染病者 I 将灭绝,即对模型(1)的任何正解(S(t),I(t),R(t)都有 limt

22、I(t)=0.证明根据(18)和假设(H)能得,对任何充分小的 1 E 0 存在 E E0 0 和足够大的T0使得t+Kt P(u)-B(u)E-B(u)(R*(u)-E0)du-E0(19)对一切 t T0.设(S(t),I(t),R(t)是模型(1)的任何正解.因为dR(t)dt Q(t)-b(t)R(t)对一切 t 0,根据引理 2得到,存在 T1 T0使得R(t)R*(t)-E0对一切 t T1.若对一切t T1有 I(t)E,则积分方程(4)的第一个方程从 T1到 t,进一步有I(t)=I(T1)exptT1 P(u)-B(u)I(u)-B(u)R(u)duI(T1)exptT1 P

23、(u)-B(u)E-B(u)(R*(u)-E0)du根据(19)式得知,当 t 有 I(t)0,这是矛盾的.于是存在一个 t*T1使得 I(t*)E E0 0,M 是有界的.如果进一步存在t1 t*使得 I(t1)Eexp(MK),则一定存在 t2 t*,t1 使得 I(t2)=E和 I(t)E对一切 t t2,t1.268新疆大学学报(自然科学版)2005 年选取整数p 0 使得t1 t2+p K,t2+(p+1)K),则从t2到t1积分方程(4)的第一个方程,根据(19)式有Eexp(MK)0.这就是条件(3).因此,定理 1 的结果可以看成是自治模型(2)的相应结果的推广.2.当模型(1

24、)退化为周期情形时,设模型的周期为 X,于是在定理 1 和 2 中有 K=X,并且lim suptt+Xt P(u)-B(u)R*(u)du=X0 P(u)-B(u)R*(u)du和lim inftt+Xt P(u)-B(u)R*(u)du=X0 P(u)-B(u)R*(u)du.因 此,从定理 1 和定理 2,以及它们的证明过程得到,染病者 I 持久生存,也就是传染病将流行,当且仅当X0 P(u)-B(u)R*(u)du 0.染病者I 灭绝,也就是传染病将灭绝,当且仅当X0 P(u)-B(u)R*(u)du 0.参考文献:1 马知恩,周义仓,王稳地,靳帧著.传染病动力学的数学建模与研究,现代

25、数学基础丛书 92 卷M.北京:科学出版社,2004.2 Capasso V.M athematical Structures of Epidemic Systems,Lecture Notes in BiomathematicsM .Vol.97,Springer-Verlag,Berlin,1993.3 Z.Tengan L.Chen,Permanence and extinction of periodic predator-prey systems in a patchy environment with delayJ.Nonlinear Analysis:RWA,2003,4:335-364.4 Teng Z.Uniform persistence of the periodic predator-prey Lotka-Volterra systemsJ.Appl Anal,1999,(72):339-352.责任编辑:王宪清269第 3 期刘艳萍:具有垂直传染非自治SIR传染病模型的持久性和灭绝性