浅议实变函数与数学分析间的联系X.pdf

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1、浅议实变函数与数学分析间的联系倪仁兴(绍兴文理学院 数学系,浙江 绍兴312000)摘 要:从两个不同的角度浅议实变函数与数学分析间的联系:一、数学分析的内容与方法是研究实变函数的重要手段;二、用实变函数理论可以透视数学分析.关键词:实变函数;数学分析;极限;联系中图分类号:O174.1文献标识码:A文章编号:1008-293X(2001)03-0093-05实变函数是在弄清与理解数学分析理论中的一系列奇怪的发现中产生的,它的理论是建立在实数理论与集合论基础上的,而极限仍是研究实变函数的主要工具.实变函数既是先前各类分析课程的深化和继续,同时又为继续学习其它后续课程(如泛函分析、概率论、拓扑学

2、等)打下必要的基础.因此,实变函数与数学分析有着比任何课程更为密切的关系.本文从两个不同角度加以浅析,以有助于数学分析和实变函数内容更透彻的理解.1 数学分析的内容与方法是研究实变函数的重要手段1.1 极限方法在研究实变函数理论中得到更充分的应用极限方法是研究数学分析的主要方法,与它相比,极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用,事实上,一方面(L)积分是在(L)测度基础上建立起来的,而(L)测度与作为(R)积分基础的Jordan测度相比,不仅具有有限可加性,更具有可数可加性;另一方面,(L)积分论的研究对象是定义在可测集上的可测函数,它与数学分析的主要研究对象 连续函数相比,有本质区别

3、,连续函数对极限运算不封闭,而可测函数在极限运算下是封闭的.这就是说,极限运算对可测集、可测函数可畅通无阻地进行使用,也正是由于这个原因,使极限运算在(L)积分理论中得到充分的应用,而且使(L)积分能克服(R)积分的局限性.例如Lebesgue控制收敛定理,提供了比(R)积分较弱的条件,使极限与积分次序可以交换,即它不要求验证极限函数f(x)的可积性,分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特性,因此(L)积分较之(R)积分有着更为广泛的应用.以下我们举一个实例来说明极限方法在实变函数理论中的应用:例1 若f:R2R1连续且1,2:R1R1(L)可测,则f(1(t),2(t):

4、R1R1为(L)可测.证明大意如下:1,2都可表示为简单函数列的极限,连续函数符号f与极限符号(在逐点意义下)可以交换,f与简单函数的复合函数是简单函数,简单函数列的极限函数可测.这里的过程完全由极限方法主导着.1.2连续函数是研究实变函数理论的重要手段实变函数的研究对象是定义在可测集上的可测函数类,它扩大了数学分析的研究对象 定义在Rn上的连续函数,但连续函数仍是研究实变函数理论的一种重要手段.1.2.1连续函数是研究可测函数的重要手段可测函数与连续函数有着密切的联系.一方面,定义在可测集上的连续函数是可测函数;另一方面,由鲁津定理揭示了可测函数的结构:在可测集上a.e有限的可测函数是“基本

5、”连续函数.这样既使我们进一步了解可测函数,又为我们提供了利用连续函数研究可测函数的一种有效手段,即把有关可测函数问题归第21卷 第3期2001年9月绍 兴 文 理 学 院 学 报JOURNAL OF SHAOXINGCOLLEGE OF ARTS AND SCIENCESVol.21 No.3Sep.2001收稿日期:2001-02-07基金项目:国家自然科学基金资助项目(19971013)作者简介:倪仁兴(1964-),男,浙江绍兴人,副教授,硕士,从事非线性逼近和优化及非线性分析的研究.1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.Al

6、l rights reserved.结为连续函数问题而使问题得到简化.1.2.2连续函数是研究(L)可积函数的工具从可测函数与连续函数的密切关系中,还能进一步导出连续函数与可积函数间的关系:若fL(E),则 0,存在Rn上具有紧支集的连续函数g(x),使得Ef(x)-g(x)dm 0,可分解为f1+f2,(其中f1是具有紧支集的连续函数,|f2|在E上的积分能小于)基于连续函数与可积函数的这一关系,为我们进一步研究可积函数的性质提供了有益的帮助1.1.3实数理论是研究实变函数的基础(L)积分是以Rn上点集的(L)测度为基础建立的,因此需要用集合论的一般结果结合Rn的拓扑结构去研究Rn上点集的特

7、性.因此,实数理论仍然是实变函数理论的基础.2用实变函数理论透视数学分析微分学与积分学是数学分析的两大支柱,微积分学基本定理是微积分的中枢.但它们中的有关概念、理论只有当实变函数理论建立后才能得到更为深刻的理解,并使有些问题得到明确的结论,同时也对数学分析中某些问题提供了用实变函数方法简捷解决的办法.2.1从(R)积分与(L)积分对比中看(R)积分2.1.1从(L)积分理论建立中看(R)积分的局限性(R)积分是在约当测度基础上建立的,(L)积分是在(L)测度基础上建立的,由于约当测度只具有有限可加性,而(L)测度具有可数可加性,因此(R)积分与(L)积分相比具有一定的局限性,而(L)积分理论正

8、是从克服(R)积分的局限性,适应科学技术发展需要中建立起来的.从而使我们在(L)积分理论建立过程中更加清楚(R)积分有以下几方面局限性:()(R)可积函数必须是几乎处处连续的,适用的范围较窄,满足不了科学发展的需要.作为典型的例子,本来0,1 上的不太复杂的Dirichlet函数f(x)=1,x0,1Q0,x0,1 Q(其中Q是有理数集)在0,1上处处不连续,从而(R)不可积.()(R)积分对积分与极限交换顺序要求的条件太严,限制(R)积分运算的灵活性.大家熟知,在数学分析中,都是用(R)可积函数列在所给区间上一致收敛定理(见Amer.Math.Monthly,78,1980),这个定理要求(

9、R)可积函数列 fn(x)在区间a,b 上一致有界,点点收敛于f(x),且极限函数f(x)在a,b 上必须(R)可积,则有limn bafn(x)dx=baf(x)dx.正象我们知道的,一列非负、渐升、一致有界的(R)可积函数末必具有(R)可积性.例2将0,1 中的有理数全体0,1Q排成数列为rn,令fn(x)=1x=r1,r2,r3,rn0 xr1,r2,r3,rn(n=1,2,),显然 fn(x)在0,1上非负、渐升、一致有界,且对每个固定的n,bafn(x)dx=0(n=1,2,),但是limn fn(x)=f(x)=1x0,1Q0 x0,1Q即极限函数为Dirichlet函数,(R)不

10、可积,从而谈不上积分号下取极限.例3求极限limn(R)10nx121+n2x2sin5nxdx,令fn(x)=nx121+n2x2sin5nx,显然fn(x)在0,1 上连续且f(x)=limn fn(x)=0(x 0,1),但是,由于fn(1n)=nn2sin51+,故fn(x)非一致收敛于f(x),且 fn(x)在0,1 上非一致有界,因此不能利用(R)积分中的积分与极限的换序定理.但此题若将其转化为(L)积分,则不难获得其极限值为0.49 绍兴文理学院学报(自然科学版)第21卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All r

11、ights reserved.()(R)可积函数空间的不完备性我们对(R)可积函数空间中区间a,b 上任意两个(R)可积函数f(x)与g(x)定义距离为:d(f,g)=(R)ab|f(x)-g(x)|dx它构成一距离空间Ra,b,但此距离空间不完备,由它扩充到由(L)可积函数空间用上述距离定义生成的距离空间La,b 后,就得到了一个完备距离空间2.()化两重积分为累次积分的条件,(R)积分比(L)积分强.在(R)积分中,除要求二重积分存在外,还要求对于每个xa,b,积分dcf(x,y)dy存在,才能得到公式axbcydf(x,y)dxdy=ba(dcf(x,y)dy)dx.至于另一累积分,同样

12、还得假定:对于任何yc,d,积分baf(x,y)dx存在.而(L)积分中只要二重积分存在,就可用二重积分计算.条件限制大大减少,使用起来就灵活多了.()(R)积分运算不完全是微分运算的逆运算,Newton-Leibniz公式的使用也受到局限.微积分学基本定理是微积分学的中枢,它有两层意思:一方面,(R)可积函数f(x)在所有连续点处成立着ddxxaf(t)dt=f(x);另一方面,当可微函数F(x)的导函数F(x)在a,b 上(R)可积时,Newton-Leibniz公式F(x)-F(a)=xaF(t)dt成立.不过我们注意到导函数并非永远(R)可积.例4设F(x)=x2sin1x2x(0,1

13、0 x=0,则在 0,1 上有F(x)=2xsin(x-2)-2x-1cos(x-2)x(0,10 x=0,因为F(x)在 0,1 上无界,故(R)不可积,此时x0F(t)dt无意义,更无从谈NL公式成立.早在1881年意大利数学家Volterra已经给出F(x)在a,b 上有界但(R)不可积的例子,于是对于这类(R)不可积函数F(x),无法使用NL公式.因此(R)积分运算只能部分地成为微分运算的逆运算.2.1.2 建立(R)可积性的判别准则由于(L)测度的建立,为(R)可积函数提供了一个充分必要条件,即“设f(x)在有限闭区间a,b 上有界,则f(x)在a,b 上(R)可积的充要条件是:f(

14、x)在a,b 上的间断点集是Lebesgue零测度集.”这个条件不仅可简便地判断函数的(R)可积性,而且揭示了(R)可积函数类的结构特征.2.2函数的连续性与可微性的关系在实变函数理论中得到进一步解决图1几类几乎处处可微函数类间的关系在历史上曾有很长一段时间讨论连续函数是否可微的问题.19世纪时期,许多数学家都以为连续函数在其定义域中的“广大”部分点集上导数存在,并且还有人试图严格地去证明这一点,但是没有成功.到1872年德国数学家Weierstrass给出一个处处连续处处不可微的例子,使人们得到:定义在R1上的函数在某一点可微,那么在这点一定连续,反之不然.但是,进一步的研究,在数学分析范围

15、内已无能为力,只有在实变函数理论中才能得到进一步的更加细致的研究,由于(L)测度理论的建立,以它为基础可以建立各种形式的集合覆盖定理,这就为深入研究函数的可微性提供了恰当的方法,用此方法我们可以得到一系列几乎处处可微函数类,见图1.59第3期 倪仁兴:浅议实变函数与数学分析间的联系 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.从图中可以清楚地看出几类几乎处处可微函数之间的关系,并看出作为连续函数类的子类 绝对连续函数是几乎处处可微的.这样,不仅使函数的连续性与可微性之间的关系得到比在数学分析中更加细致

16、的研究结果,而且也为微积分学基本定理的探讨提供了理论基础.2.3 在实变函数理论中探讨牛顿一莱布尼兹公式成立的条件利用绝对连续函数的概念,我们可以得到关于Rieman积分的Newton-Leibniz公式:(R)xaf(t)dt=f(x)-f(a)成立的充要条件是:(1)fRa,b,(2)f(x)是a,b 上的绝对连续函数;而在(L)积分的意义下,Newton-Leibniz公式:(L)a,xf(t)dt=f(x)-f(a)成立的充要条件是f(x)是a,b 上绝对连续函数.2.4应用(L)积分理论可以简便解决数学分析中的某些问题根据(R)积分与(L)积分间的以下关系:设f(x)是有限区间上的有

17、界函数,若f(x)在a,b 上(R)可积,则f(x)在a,b 上(L)可积,且积分值相同.由此为我们提供了一个用(L)积分理论来处理数学分析中某些问题的方法,特别是原来比较难证明的或不易说明白的问题,用此方法可较容易地给出满意的解释.下面略举几例加以说明.例5若f(x)是在a,b(a 0.分析:此题若用数学分析的方法去证明,则相当麻烦.但若利用实变函数的结论:若f(x)Ra,b,则必有f(x)La,b 并且(R)baf(x)dx=(L)a,bf(x)dx再用反证法,即假设(L)a,bf(x)dx=0,由积分的唯一性知f(x)a.e0,(x a,b).这与已知f(x)0矛盾,证毕.显然这一证明十

18、分简明快捷.例6求证limn(n-1)!n!=0证明:因为20sinnxdx=(n-1)!n!2n=2mmN(n-1)!n!n=2m+1mN所以 0(n-1)!n!20sinnxdx,于是仅需证明limn 20sinnxdx=0即可.但是用“-N”语言直接证明十分麻烦,而从sinnx1,且limn sinnx=0,a.e on0,2,这样由Lebesgue控制收敛定理有limn 20sinnxdx=20(limn sinnx)dx=a,b0dx=0.例7求I=+0 xex-1dx解:首先展开被积函数xex-1=xe-x1-e-x=xe-x+n=0e-nx=+n=1xe-nx(x 0),因xe-

19、nx在(0,+)内非负连续,故由Lebesgue逐项积分定理得I=+n=1+0 xe-nxdx+n=1-xn-1n2e-nx+0=+n=11n2=6.从表面看,例7的演算似乎完全在数学分析的框架内进行,但求和与积分互换的理由却不易用数学分析中的定理讲清楚,用Levi定理的级数形式 Lebesgue逐项积分定理则十分简明.例8Riemann积分的“控制收敛”定理(Arzela定理):若 fn(x),f(x),F(x)均在a,b 上(R)可积,且当xa,b,nN时总有fn(x)F(x),limn fn(x)=f(x)(xa,b),则limn(R)bafn(x)dx=(R)baf(x)dx.69 绍

20、兴文理学院学报(自然科学版)第21卷 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.该定理若用数学分析的方法来证明是十分困难的,但是若改用Lebesgue控制收敛定理,就可立即得出结论.通过上述例子,我们进一步体会到学习实变函数理论确实能帮助加深对数学分析中的有关内容的理解,实变函数与数学分析间有着比任何课程更密切的联系.参考文献:1 周民强.实变函数M.北京:北京大学出版社,1985.2 沈燮昌,邵品琮.数学分析纵横谈M.北京:北京大学出版社,1991,347-359.3 赵慈庚,朱鼎勋.大学数学自学

21、指南M.北京:中国青年出版社,1984,104-114.4 匡继昌.实分析引论M.长沙:湖南教育出版社,1996.5 薛昌兴.实变函数与泛函分析(上册)M.北京:高等教育出版社,1993.6 胡适耕.实变函数M.北京:高等教育出版社,1999.7 郑维行,王声望.实变函数与泛函分析概要(第一册)(第2版)M.北京:高等教育出版社,1989.8 夏道行,严绍宗,吴卓人等.实变函数与泛函分析(上册)M.第2版.北京:高等教育出版社,1985.A Discussion on Relations Between Function of Real Variableand Mathematical Ana

22、lysisNi Renxing(Department of Mathematics,Shaoxing College of Arts and Sciences,Shaoxing,312000)Abstract:The relations between Function of Real Variable and Mathematical Analysis are discussed as follows:I.The content and method of Mathematical Analysis are the major way to study Function of Real Va

23、riable;.Mathemati2cal Analysis can be studied through the theory of Function of Real Variable.Key words:Function of Real Variable;Mathematical Analysis;limit;relation(上接第86页)Frequency-chart Analysis and Research of MonitorSystem in Rotating ShafrtsLi Mei(Mechanical and Electrical Dept,Shaoxing Colle

24、ge of Arts and Sciences,Shaoxing,Zhejiang,312000)Abstract:This paper expounds the frequency-chart analysis method and the systematic research of the automaticmonitor in rotating shafts.It analyses the rules of the hitch information in the rotating shaft transmission and discussesthe ways of hitch diagnosis of cracks in rotating shafts based on vibrating frequency chart.Key words:rotating shaft system;hitch diagnosis;frequency-chart analysis automatic monitor79第3期 倪仁兴:浅议实变函数与数学分析间的联系 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.