球面数字空间下的基本拓扑模型 - 第02卷第2 期.pdf

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1、第02卷 第2期地理信息世界VOL.02NO.22004年4月GEOMATICS WORLDApr.,2004收稿日期:2004-03-05基金项目:国家杰出青年科学基金资助项目(40025101)中图分类号:P 208 文献标识码:A 文章编号:1672-1586(2004)02-0038-06球面数字空间下的基本拓扑模型侯妙乐1,赵学胜1,陈 军2(1.中国矿业大学北京校区测绘系,北京100083;2.国家基础地理信息中心,北京100044)摘要:球面格网数据模型SG DM(Sphere Grid Data Model)具有多分辨率和层次组织的特性,已成为目前构建globe GIS的有效方

2、法之一。但是,目前关于球面定性和定量的相关模型方法,大都建立在球面连续空间之上。为使计算机能有效地进行球面空间数据处理和关系计算,亟需在球面离散空间上建立起一套空间分析模型和相关方法。本文给出了球面数字空间的定义和特性,建立了基于流型的球面数字空间的基本拓扑模型,将Egenhofer等人的4交关系模型推广到球面数字空间。关键词:SG DM;流形;球面数字空间;数字拓扑;球面拓扑关系Basic Topological Models under the Spherical Digital SpaceHOU Miao2le1,ZHAO Xue2sheng1,CHEN Jun2(1.Dept of S

3、/M,China Mining University,Beijing 100083,China;2.National Geomatics Center of China,Beijing 100044,China)Abstract:SG DM(Sphere Grid Data Model)is an efficient method to deal with the global data because of the advantages of multi2resolution and hierarchy.T o effectively deal with spherical surface

4、data and relationships,its necessary to construct spherical surfacedigital topology.Firstly,the definition and characteristics of sphere digital space based on manifold are given.Then we discuss the ba2sic topology model of spherical surface digital space.In the end,the 4-intersection model was gene

5、ralized to spherical surface digitalspace.Key words:SG DM;manifold;spherical digital space;digital topology;spherical topological relation0 引言球面是地理科学中涉及到的一个很重要的空间区域,它在拓扑上是和代数球面、椭球面和大地水准面完全等价的,但球面和笛卡尔平面的子集在拓扑上却不同胚。因而,处理球面问题直接套用平面上的一套理论方法有时是不可行的。目前具有代表性的处理球面问题的模型有:地图投影、嵌入式和直接式(Raskin 1994)。1)地图投影符合人们传

6、统习惯,但没有一种投影能同时保证距离和面积不变。而且,以地图投影为基础的度量空间,扭曲了球面上各向异性的量度为各向同性的欧氏空间,使得大区域内的距离、方位、面积的计算是不精确的,甚至是没有意义的,而基于这种量度的空间分析在大区域也缺乏必要的可信度(胡鹏1989)。2)嵌入式就是将球面嵌入到3维欧氏空间R3后再进行球面分析,比较典型的方法是方向余弦。球面分析的难点之一就在于球面坐标在两个极点的奇异性,而使用方向余弦表达使得这个顾虑不存在。但方向余弦是一种矢量方法,尽管在数学基础上较为完善,却并不符合现实世界离散的本质。3)直接法就是直接在球面上进行分析,较典型的有经纬坐标和球面格网数据模型。由于

7、经纬格网不具有近似相等和多分辨率的特性,本文将球面格网数据模型作为研究重点。无论是基于地球投影的平面数据模型,还是基于方向余弦和经纬坐标的矢量模型,在直接进行球 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.面空间分析和推理时都存在着缺陷。因为从本质上讲都是用欧氏空间中的矢量模型来模拟现实世界。而真正的计算是离散计算,所以模型和真实的计算还存在着偏差,如图1(a)所示。如果我们采用近似相等的离散模型,即球面数字空间模型,则问题便会变得简单许多,如图1(b)所示。(a)矢量模型和真实世界的关系(b)栅格模

8、型和真实世界的关系(a)Relationshipship between vector model and real world(b)Relationship between raster model and real world图1 真实世界和实际计算的关系Fig.1Relationship between real world and actual computation在2维欧氏平面上,数字拓扑的研究(Dyer1980;K ong 1986;Rosenfeld 1979)给许多图像处理操作和空间分析,如细化处理(Rosenfeld 1975)、表面识别(K ong 1986;Maland

9、ain 1993)和欧拉数的计算(Bieri1984;Dyer 1980)提供了一个可靠的数学基础。为了更方便地进行球面影像处理和球面空间分析,需要在球面数字空间下建立起一套完善的基本拓扑模型。本文首先给出球面数字空间的定义和特性,并在此基础上讨论球面数字拓扑的框架和基本拓扑元素,最后给出具体的应用。1 基于流形的球面数字空间定义球面数字空间即球面的数字化(或离散化),也就是用球面连续空间中的一些离散采样点来描述整个球面,它是建立在球面有限离散空间上的近似规则网格空间。平面上的均匀格网系统是许多研究的一个通用框架,但要在球面上构造这样一个面积和形状都相等的网格系统是比较困难的。为了方便地解决球

10、面问题,我们构造一个近似相等的球面网格系统作为分析和处理球面问题的一个通用框架,将近似相等的球面网格系统称为球面数字空间。1.1 球面的初始化划分球面格网数据模型的基本原理是利用球体的内接正多面体作为剖分的基础,如正4面体、正6面体、正8面体、正12面体和正20面体。多面体的边投影到球面作为大圆弧段形成球面三角形(或四边形、五边形、六边形等)的边,覆盖整个球面,作为全球剖分的基础(如图2所示)。在解决球面问题时,常用的球面数字空间主要有两类:近似正三角形球面数字空间和近似正六边形球面数字空间,而更常用的球面数字空间则由近似相等的球面三角形组成。由于基于8面体的球面格网与常用的球面经纬图2 正多

11、面体和它的球面剖分(White et al.1992)Fig.2Right polydron and sectioning格网很容易转换,且8面体顶点占据球面主要点(包括两极),而边的投影则与赤道、主子午线和90、180、270子午线重合(G oodchild&Yang 1992)。这样,很容易确定球面上的一个点在8面体的哪一个投影面上,每一个投影面都是正球面三角形,内接正8面体的球面投影剖分是规则等三角剖分,全部边和内角都相等。许多学者在基于正8面体剖分的基础上进行全球应用的研究(G oodchild&Yang 1992;Dutton1991;赵学胜etc.2002,2001),故本文以基于

12、正8面体的球面三角网为例。1.2 球面的递归剖分最有代表的球面层次剖分有两种:四元组剖分和二元组剖分(由图3所示)。四元组剖分是通过连图3(a)四元组剖分(b)二元组剖分Fig.3(a)Quatenary sectioning(b)Binary sectioning接各边中点的方法来获得4个相等的等边三角形如图3(a)所示。二元组剖分是通过连接顶点与对边顶93第2期侯妙乐等:球面数字空间下的基本拓扑模型 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.点来生成两个相等的子三角形如图3(b)所示。考虑到四元

13、组剖分和基于8面体的球面三角网特性,我们在进一步的剖分中选择四元组剖分。按照四元组剖分的特性,通过连接各边中点的方法来获得4个相等的等边三角形。我们将这种剖分一直进行下去,剖分越深入,精度越高,直到满足所需的精度为止。1.3 基于流形的球面数字空间定义定义:设M是Hausdorff空间。若对任意一点x属于M,都有x在M中的一个邻域U同胚于n维欧氏空间Rn的一个开集,则称M是一个n维流形(或拓扑流形),即任一点都有和开圆盘同胚的邻域。流形在每一点的近旁和欧氏空间中的一个开集是同胚的,流形可以看作是一块块“欧氏空间”粘起来的结果,因此在流形上每一点的近旁可以引进局部坐标系。可以证明,球面为2维光滑

14、流形(证明略)。平面上的均匀格网系统是许多研究的一个通用框架,但要在球面上构造这样一个面积和形状都相等的格网系统是比较困难的。相对于球面的连续空间而言,球面数字空间是建立在球面有限离散空间上的近似规则栅格空间。以基于正8面体的四元剖分为例,球面数字空间是建立在球面有限离散空间上的834N(N=0,1,n-1)网格,用T2来表示。在剖分的第一层,球面流形的局部坐标系有8个,每个局部坐标系也称为流形坐标卡或基三角形。其中,8个局部坐标系间的关系可以用球面填充曲线来表示(如图4所示)。基三角形记做Tj,kCS2,kkcj7,满足如下条件:S2=UKEKCJ,Tj,k,并且对每个j,Tj,k构成了球面

15、上的简单覆盖;对每一个j,k,Tj,k能表示成4个子三角形的并。图4 不同分辨率下的球面数字空间Fig.4Spherical digital space under different resolutions与平面上的栅格空间相比,球面数字空间是一个各向异性的更为复杂的流形,它属于非欧空间。因而,在球面数字空间上不能建立单一坐标系,也不能建立平面数字空间和球面数字空间的一一对应关系。总之,球面数字空间具有基于空间剖分的层次结构,并且符合球面特性,同层三角形的形状和大小近似相等。尽管球面数字空间只是由近似相等的三角形或六边形格网组成,它仍具有多分辨率和连续排序的特性(Bartholdi&G oo

16、dsman 2001)。2 球面数字空间下的基本拓扑模型从球面数字空间的定义可知,T2是基于近似规则三角形铺盖的离散空间,每个三角形称为一个像素。球面上所有的像素集可以组成一个新的集合,称之为格网集T2,T2和表示任两个像素之间连通关系的可递闭包可以看作栅格空间的硬件。显然,IS2为连通空间,而IT2为非连通空间。在球面数字空间下,固有的连通性假设不再有意义。称为球面数字拓扑,其中球面数字空间是指对球面连续空间进行层次剖分并连续覆盖整个球面空间的结果,这也称为球面空间铺盖。2.1 球面数字空间T2下的基本拓扑元素在2维球面数字空间,我们用2维三角格网来表达球面数字图像,如果没有特别说明,点都指

17、球面数字空间中的格网点。球面数字空间中的网格点均为离散的孤立点,而我们必须基于这些孤立点来描述和分析球面空间实体之间的关系。因而必须合理地建立球面数字空间中点与点之间的结构关系,这一关系的基本元素就是邻近。这里,采用传统的-邻域或-邻近(可以为3和12)。两个网格点互为3邻域或3-邻近意味着这两个网格点为边邻近,两个网格点互为12邻域或12-邻近意味着这两个网格点为角邻近。基于上述局部的邻域结构,我们就可以在球面数字空间建立大范围的拓扑概念。两个非空点集S1和S2互为-邻域或-邻近,指S1中至少有一个点和S2中的至少一个点是-邻近。S为一非空点集,则S中任意两点p、q的a-路径是指p和q之间存

18、在着一个特征点序列p1,p2,pn,其中pi与pi+1为-邻近(0(in)。S中的任意两点p、q互为-邻近,p、q之间存在一个包含于S的-路径.。子集S的一个-凸包是指任意两点都-邻近的S中的最大子集。球面2维数字图像C可以被定义为四元组(E,3,12,P),其中,E是在有限三角形格网之内的2维球面格网点集,即局部研究范围。P为E中的黑色点点集(用1来表示),E-P为E中的白色点点集(用0来表示),所有黑色点的点集便构成了球面数字空间中的球面实体。显然,球面数字图像也是2值图像,取值为1的网格点集对应于球面空间实体,而取值为0的点则构成背景。对于球面数字空间中正常的网格点p(除经过6个顶点的三

19、角格网),它的邻域格网点可以分为两类:s-点和e-点。s-点04地理信息世界2004年 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.表示p的所有3-邻域点,记作N3(p),如图5(a)所示。e-点表示p的除去3-邻域点的所有12-邻域点,记作N12(p),如图5(b)所示。图53-邻域点(即边邻近点)和12-邻域点(即角邻近点)的定义Fig.5The definitions of 3-neighor point and 12-neigbor point如果一个数字图像C中的点列x0,x1,xn满足xk

20、N3(k-1)(k=1,2,n),则称为一条由x0到xn的三连通路径。如果一个C中的点列x0,x1,xn满足xkN12(k-1)(k=1,2,n),则称为一条由x0到xn的12连通路径。球面数字空间中的连通路径是一个类似于球面连续空间中的连续曲线的概念,由此可以类似地在球面数字空间定义连通性。C中的一个集合X,对x,yX,若存在一条X中的由x到y的3连通路径,则称x,y在X中是3连通的。C中的一个集合X,对x,yX,若存在一条X中的由x到y的12连通路径,则称x,y在X中是12连通的。对球面数字空间T2中的一个集合X和一个给定的连通定义(3连通或12连通),如果X中的任意两点均在X中在给定意义

21、下是连通的,则称X是一个在给定意义下的连通集合。显然,球面数字空间中的连通性满足等价关系的3个条件:任何一个格网和自身都是连通的;如果格网a和格网b连通,则必然格网b和格网a也连通;如果格网a和格网b连通,格网b又和格网c连通,则格网a和格网c连通。因而,对球面数字空间中任意给定的集合X,X中点对的连通关系是一个等价关系。我们可以依照这一等价关系将X划分为若干个不相交的等价类,使得每一类中的任意两点均在X中连通,而不同类中的点必定在X中不连通。在球面数字空间中有两种不同类型的连通定义,对应着分别为4连通集合和8连通集合。在一个C中的集合是凸集并且仅当对A中的任意3个点x,y,z,以x,y,z为

22、顶点的球面三角形区域中的所有网格点均属于A。一个C中的集合A的数字凸包C(A)是包含A的最小数字凸集。若集合E中一点p满足N(p)属于E,则称p为E的内部点,否则,则称p为E中的边界点。E中的所有内部点称为E的内部,记作E。真实世界中,没有一个球面实体的数字图像大于半个球面。因而,在进行基本拓扑定义的时候,它的内部总是针对小圆部分,数字图像也总是针对小圆部分。E中的所有边界点称为E的边界,记作 9E。E的内部和边界及闭包的关系如下:EI9E=EY9E=E9E=EI(E)-2.2 跟邻近相关的拓扑矛盾Jordan曲线定理是指一条简单的连续闭曲线可以将空间分为两部分:内部A和外部B且它们彼此是不连

23、通的。它是矢量空间最基本的拓扑性质,但在栅格空间中却不能很好保持,这也导致了拓扑矛盾。球面数字空间下,连通数字图像的边界称为简单闭曲线C,将空间分为内外两部分,简单闭曲线C上的任一点即属于内部又属于外部。因此一个数字图像的边界叫做Jordan曲线,它将区域分为内部和外部两部分。邻近定义不仅对格网间距离计算比较重要,而且对拓扑分析也很重要(李志林2000)。如图6所示的情况,灰色格网被6个黑色格网所包围。如果按照12邻近来定义,则6个黑色格网是连通的,且可以形成一封闭线,但是这个黑色线不能将灰色格网和白色格网分开,灰色格网仍然和3个白色格网是连通的。但是,如果按照3邻近来定义,则黑图6 与邻近相

24、关的拓扑矛盾Fig.6Topological contradiction about neigbor correlation色格网将灰色格网和白色格网分开。但同时,6个黑色格网是不连通的,也不能形成一封闭线。这就是球面数字空间中非常有趣的一个现象,它违背了球面数字空间的Jordan曲线定理。当然,我们可以仿照(K ong,1985)给出的解决思路,即将白格网定义为3连通,而将黑色格网定义为12连通,反之也成立。在球面数字空间中,背景和目标按照不同的连通性定义,规定背景遵循3邻近,而空间目标遵循12邻近。这样,表示空间目标的6个黑色格网遵循12邻近应该是连通的。而作为背景的白色与灰色网格如果遵循

25、3邻近,则黑色格网内部的灰色格网和外部的白色格网是不连续的,即连续曲线(在数字空间表14第2期侯妙乐等:球面数字空间下的基本拓扑模型 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.现为连通路径)将空间分为两部分。但是,为什么会发生这种拓扑矛盾呢?为了说明问题,我们用如图7所示的6个格网来描述。当我们认为1、3和5连通时,默认P点属于黑色格网;反过来,当我们认为2、4和6连通时,默认P点属于白色格网。如果黑色代表实体,则白色就代表背景,P点既属于背景,又属于实体,它有着双重含义,这也是导致矛盾的根源。当然

26、,要解决这个问题,我们必须排除点P的双重定义。我们只能允许点P属于其中之一,而非两者都属于。一般,我们规定它属于空间实体而非背景。这也和关于邻近二重性定义一致,即规定背景遵循3邻近,而空间目标遵循12邻近。图7P的含混性导致了拓扑矛盾Fig.7Topological contradiction from fuzzy of P2.3 球面矢量空间和数字空间下基本拓扑模型的关系 栅格空间的拓扑依赖于矢量空间的拓扑,栅格空间的连通性基于相邻格网的邻近性定义(李志林2000)。在球面数字空间中,如果定义3连通,则连通时两个格网共边,同时,如果定义12连通,则连通时两个格网共边、共点,或两者既共边又共点

27、。总之,如果两个格网连通,则至少有一点是公共的。从每个格网中任选一个矢量点,称为“a”“b”,连接“a”与“b”的路径交公共线于P点,其中a、b与P都是矢量空间中的点。在左格网中,a与P连通,在右格网中,P与b连通。由连通的传递性可知,a与b连通。所以,左格网中的任意点都与右格网中的任意点连通。也就是说,矢量空间的连通性概念被完全继承到我们所讨论的栅格空间。图8 栅格空间继承了矢量空间的连通性定义Fig.8R aster space carrying on the definitionof connectivity of vector space假定S2下的一个点集代表球面空间实体,我们可以在

28、球面矢量空间下来研究它,当然,我们也可以在球面数字空间中讨论空间实体的性质。在球面数字空间中讨论实体时,意味着球面矢量空间和球面数字空间一定存在着一些关系,也就是将球面实体从矢量空间转换到数字空间。在转换中,保持和完全继承了一些不变性,即连通性。这也是可以在球面数字空间中可以讨论空间实体拓扑性质和关系的根本原因。数字拓扑是矢量拓扑的商空间,数字空间下的每个空间实体的拓扑关系在矢量空间都有一个对应物。所以,栅格空间下空间实体的研究可能比矢量空间下更有效,因为离散空间下空间实体的表达比在连续空间更明白(李志林2000)。球面数字空间和球面矢量空间与现实世界的贴近程度不同,在过去的许多年,人们一直将

29、球面矢量空间作为拓扑和几何的描述和推理框架,而它的很多缺陷已经导致了空间认知和推理的混乱。问题的根源在于空间对象的本质是离散的,而关于它们的描述和处理模型却是遵循连续空间的一整套理论,这就导致了理论和现实的不匹配。GIS中的相关领域是对输入数据的误差处理,球面连续空间中的无限精度对于有限精度的现实世界的描述和计算并非是合理的,而且,矢量空间并不符合人们认知、描述和推理空间的方式。相比之下,球面数字空间更符合计算机对数据的要求,也和现实世界更贴近。3 基于球面数字空间的空间关系表达球面数字空间表达是用整数坐标表示的1维数组,球面数字空间是对球面空间的均匀剖分,所得的每个剖分单元称为像素。将球面数

30、字空间和球面矢量空间相比发现,只有开的2维像素(三角格网)还存在,而1维(边)和零维元素(顶点)都丢失了。栅格表达中的区域由像素集来定义,根据位置函数(是否属于区域),像素主要分为两类:区域内和区域外。F(r,c)=1if(r,c)x0if(r,c)x由球面数字空间的定义可知,它的栅格表达中不能区分开集和闭集,因而,也无法在球面数字空间中定义边界。在平面数字空间中,可以用以下3种方法来弥补栅格表达不能定义边界的缺陷:省略边界,将栅格区域都看作开集(Cohen 1997;Frank1992);利用邻域的定义,选择特定的2维栅格元素作为1维边界元素的替代物。如:Rosenfeld等人(1979,1

31、975)所提出的Digital topology概念就是属于这种类型,Egenhofer也是基于这种定义的;定义绝对边界,这种方法追溯到所谓的crack edges,定义为24地理信息世界2004年 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co.,Ltd.All rights reserved.两个栅格区域的绝对边界。比较有代表性的是Win2ter(1999)提出的混合栅格表达。赵学胜等人(2002)将省略边界方法推广到球面数字空间,但这种方法不能区别相离和相接两种最基本的拓扑关系,只能区分5种关系。混合模型由边元素、顶点元素和图象单元组成,基于该模型

32、的数据库要分别记录这3种基元,所涉及的数据量很大。因而,并不适合去直接处理球面数字空间中的数据。在平面数字空间上,Egenhofer和Sharma(1993)利用2维欧氏数字空间下的数字拓扑将4交模型应用到离散空间模型,区域之间有8种可能的关系。利用球面数字空间下的基本拓扑模型,我们可以将4交模型推广到球面数字空间。4 结论和展望球面格网数据模型SG DM具有多分辨率和层次组织的特性,已成为目前研究球面问题的有效方法之一。但是,SG DM仍缺乏数学基础支持和严格的形式化定义。本文对球面格网数据模型的数学基础做了初步的探讨,给出了球面数字空间的定义,它具有如下特性:1)球面数字空间是建立在球面有

33、限离散空间上的近似规则格网空间。2)用球面四元填充曲线可以表示特定分辨率下球面数字空间中局部坐标卡之间的关系。3)平面与球面不同胚,与平面上的栅格空间相比,球面数字空间是一个各向异性的流形,因而在球面数字空间上不能建立单一坐标系。4)尽管球面数字空间只是由近似相等的格网组成,它仍具有多分辨率和连续排序的特性。为了更好地进行球面空间分析,本文在球面数字空间的基础上建立了球面离散空间下的基本拓扑模型。用形式化的数学语言给出了符合球面数字空间特性的拓扑结构定义和球面数字空间下的基本拓扑元素:如邻近、内部、外部等。对球面数字空间下与邻近相关的拓扑矛盾进行了详细的分析,最后给出应用实例,将Egenhof

34、er等人的4交关系模型推广到球面数字空间之上,为球面拓扑关系的计算和推理近一步奠定基础。作者希望在此基础上继续深入做如下一些工作:基于流形拓扑的球面空间实体的定义、拓扑性质和形式化描述方法;搞清楚球面和平面的拓扑关系有那些不同:如包含的定义就不同,即发生了哪些变化,是否必要从球面再定义新的拓扑关系等;利用球面数字空间下的四交模型进行球面空间分析。参考文献:1 龚 炜,石青云,程民德.数字空间中的数学形态学 理论与应用M.北京:科学出版社,1997,469.2 胡 鹏.地学数据库的空间数学基础J.武汉测绘科技大学学报.1989,14(3):7785.3 赵学胜.基于QTM的球面Voronoi数据

35、模型(博士论文)D.北京:中国矿业大学,2002,102.4 赵学胜,陈 军.基于球面四元三角网剖分的层次空间关系推理J.测绘学报.2001,30(4):355-360.5Bartholdi.III and G oldsman P.,2001,Continuous indexing of hierar2chical subdivisions of the globe,Int.J.Geographical Information Sci2ence,15(6):489-522.6Bieri H.and Nef W.,Algorithmsfor the Euler characteristic an

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