广义平差的概括模型.pdf

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1、第 2 5卷 第3期 2 0 0 0年 6月 武 汉 测 绘 科 技 大 学 学 报 J o u r a a l o f Wu h an T e c h r fi c a l U n i v e r s i t y o f S u r v e y i n g a n dMa p p i ng 2 5 No 3 J u n e 2 0 0 0 文章编号：1 0 0 0 0 5 0 X(2 0 0 0)0 3 0 2 5 7-2 6 0 一 广义平差的概括模 尸 王新洲 (1 武汉测绘科技大学科学技术处，武汉市珞喻路 1 2 9 号，4 3 0 0 7 9)摘要提出了广卫平差的概括模型附有条件的最

2、小二乘配置模型。该概括模型不仅包括滤波和推估 模型，扩充了原有的最小二乘配王模型，而且经典平差 美键词广义平差；概括 平差模 型；最小二 乘配置 分类号P 2 0 7 文献标识 码A 测量平差中的数学模型由函数模型和随机模 型组成，函数模型叉分为经典平差函数模型和广 义平差函数模型。经典平差函数模型有条件平差 模型、间接平差模型、附有参数的条件平差模型和 附有限制条件的间接平差模型以及附有限制条件 的条件平差模型】。广 义平差模型主要有滤波 推估模型和配置模型【2 _ 4 J。文献 3 提 出了概括 平差模型。将各种经典平差模型统一到概括平差 模型之下，使经典平差体系有 了新的发展。为此，笔者

3、提出了广义平差的概括模型附有条件的 最小二乘配置模型，论述了广义平差与经典平差 的内在联系。1 广义平差的概括模型 1 1 函数模型 广义平差的概括函数模型定义为：L=A X+B l，+d (1)。式中，L为观测值向量；A、B、C、D为已知的系 数矩阵，其中，=(B 1 0)；C o、D 0 为常数向 月x 。I2 量；X为非随机参数向量；Y为随机参数向量，且 f s y=l，其 为已 测 点随 机 参数；s 为 未测 L S J 2 】点随机参数；A为观测误差向量；”为观测值个 数；“为非随机参数的个数，“(t 为必要观测 数)；171 为随机参数的个数，且 17 1 1+2=；d=收祷 日

4、期：1 9 9 9-0 0 2 0 *国家自然科学基金和 模 型都是它 的特例。鼋“一 为不独立的非随机参数 的个数。1 2随机模型 E cd =。，E c l，=(；)=!J D(A)=Da=P j 。c=巩=ID ss D ss，D(L)=D L=P r =Da+B1 D D(A，Y)=0，D(Y，A)=0 2 估计公式 令，：f L,=E c，=f：，j c：，则虚拟观测方程为：r：+由式(1)和式(3)可得误差方程和条件方程：V y：i，一L r，V=A+B L +c：0 (4)则有：资助项目，编号4 9 8 7 4 0 舱、9 9 0 1 0。=lI 一 r L L ，【l _ 争

5、一 L 再 O A l l、_ r 一 啦 l l、D 维普资讯 http:/ 武 汉 测 绘 科 技 大 学 学 报 2 0 o 0年 芦=一。；。=f cs，j 0 D j【0 J =一，十Cn=0 (6)根据广义最小二乘原理：芦 =P v+V r V r=rai n(7)求解参数 2，组成函数：芦 +2 K(：Cn)(8)式中，K为d l 的联系系数向量。对式(8)中 2求偏导数，并令其为零，转置后 得：芦 +K=0 (9)由式(6)和式(9)可得法方程：+c T K 一五 瓦=0 +Co：0 (1 0)令 =五 丽 瓦=【P 止A T p L J 贿(罂 一。=。因：N t N 1：l

6、 A l l N2 1 N z z j l B P d A P r+B J 3 各种特殊情况 A T+pLPy L BTPa L(12)12Co 1 y+1()【一 J 3 1 最小二乘配置 当“=，即当式(1)中的非随机参数仅为 个独立的非随机参数时+有 d=一 0，此时 C =0，C o=0。于是式(1)变为：L=A X+B Y+A (1 3)由文献 1 知，式(1 3)就是最小二乘配置的函 数模型。由于 C=0，C n=0，所以式(1 2)变为：N i l =j(14 由“=知，系数矩阵 A列满秩。式(1 4)的 解为：B 止 (15 式中，G1=N +N Nl 2 R N2 1 N ；

7、G2=一N N1 2 R ；G3=一R一 N2 l N；G 4：R一 ；R：P y+B 一 B P a A(A P )一AT P a B。仿文献 1 可得：=A (D a+Bt B )A A (D d+B t D 丁)一 (LB1 P s)1T(Da+、Bt D。(1 6)(LAXBt Ps)奇 =s，+D s B (D d+B 1 D 姆 B )一 (】LA XBl p s)3 2 最小二乘滤波和推估 当“=0，即当式(1)中不含非随机参数时，有 A=0，C=0，C 0=0。此时式(1)变为：L=BY+A (1 7)由文献 1 知，式(1 7)就是最小二乘滤波和推 估模型。由于 A=0，C：

8、0，C 0=0，所以有 NI l=0，N1 2=0，Nz 1=0，于是式(1 2)变为：(B +P y)：B L+P r L y 于是有：葺，=(B P +P r)一 (B P 止+P v Lr)(1 8)仿文献 1 利用矩阵反演得：雪=P s+O s s B T(O a+B t D )(L 一 d a s)考 一：，+(+B 1 D )一 1 (1 9)(L一 1 P s)3 3 附有条件的间接平差 当 m=0，即当式(1)中不含随机参数时，有 B：0，此时式(1)变为：L=A X+A，C X+C n=0 (2 0)式(2 0)就是附有条件的间接平差模型。相应的误 差方程和条件方程为：V：一

9、L，瞳+C 0：0 (2 1)由于 m=0，所 以 P r=0，B=0。于是式(1 2)变为：，其解为：=【A 】(23 可见，附有条件的闽接平差模型也是广义平差概 括模型的特例。3 4 间接平差 在式(2 1)中，当“=，即仅含 个独立的参 数时，有 d=口一：0，故 C=0，C 0=0。于是 式(2 1)变为：L：A X+A (2 4)式(2 4)就是一般的问接平差模型 黝 岍 。掀 c 维普资讯 http:/ 第 3 期 王 新洲：广义平差 的概括模 型 由于 C=0，C o=0，于是式(2 2)变为：A L P x=A L P山 其解为：=(A A)一 A P (2 5)3 5 条件平

10、差 式(2 1)中，当“=，且选择 个直接观测值 的真值作为参数时，有 A=E。式(2 1)变为：L=X+A，C X+Co=0 (2 6)用估值 和一v代替真值x和e l，得：v=一 L+C 0=0 (2 7)将式(2 7)的第一式代人第二式，消去，得：C Y+W=0(2 8)式中，W=C L+C 0 (2 9)式(2 8)就是一般 的条件平差模 型，即条件平 差是附有条件的问接平差的特例。由式(2 7)知，A=E，B=0，重，=0，L =0，于 是式(1 2)变为：Pca =其解为：I-I1 P aL (3 1K I-I3 t-C o l H 4 J 式 中，日t=P a 一 +P a 一

11、C (c P a 一 C )一 c P a 一 ；日2=一P a 一 C (C P a 一 C )一 ；日3=一 (c 一 C )一 C P a 一 ；日4=(C P a 一 C )。即=LP a 一 C (C P a 一 C )一 W=(3 2)式中，V=一P a 一 C (C P a 一 C )一 w。3 6 附有未知数的条件平差 式(2 0)中，当“=，且选择 个直接观测值 的真值作为前 个参数，其余“一 个参数(用 表示)之间彼此独立，即 (X 2 )=(xl x2)，则式(2 0)可写为：L=(E o)x+A (C I C 2)x+C o=0 (3 3)相应的误差方程和条件方程为：V

12、=LL，Ct+c 2 宣 +C 0=0(3 4)由式(3 3)知，A：(E 0)，B=0。C=(C 1 C 2)，文=(X-2 )，于是式(1 2)变为：P a 0 c f f f 0 0 c J=f 0 J(35)【C C，0 J【K J【C 0 j 消去式(3 4)中的，得：cl V+c2 X2+W=0(3 6)式中，W=CI L+C 0 (3 7)式(3 6)就是附有未知数的条件平差模型。可 见，附有未知数 的条件平差是 附有条件 的间接平 差的特例。3 7 附有限制条件的条件平差 在式(2 0)中，当“，且选择 个直接观测 值的真值作为前 个参数，其余“一 个参数(用 x 2 表示)之

13、间不独立，存在着 S个限制条件，则 式(2 0)可写为：L=f E o)x+A C。+=。相应的误差方程和条件方程为：V=一L Cl+C 2 文2+C 0 1=0 (3 9)C3 X2+Co 2=0 由式(3 8)知，A=(E 0)，B=0，C=【C。c c nl c ，K _(K K 2 于是有：Pa 0 0 0 C1 C2 0 Cs c T 0 c c 0 0 0 0 L X2 K l K2 消去式(3 9)中的，得：C1 V+C2 2+W=0 c 3 2+C ：0 (4 1)式 中，W=C I L+C 0 1。式(4 1)就是附有限制条件的条件平差模 型。故附有限制条件的条件平差也是附有

14、条件的间接 平差的特例。4 结论 由以上推导，可得出如下结论：1)模型式(1)是包含最小二乘配置、最小二 乘滤波和推估以及 5 种经典平差模型的广义概括 平差模型。2)附有条件的间接平差模型可以认为是经 典平差模型的一般模型，其他各种经典平差模型 都是它的特例。3)间接平差模型是仅选 个独立参数，致使 条件方程的个数 d为等于 0的附有条件的间接 平差模 型。4)条件平差模型是以 个直接观测值的真 值作为参数的附有条件的间接平差模型。维普资讯 http:/ 武 汉 测 绘 科 技 大 学 学 报 2 0 0 0g-5)附有未知数 的条件平差模型可 以认为是 参数 的个数多于观测值的个数，且选择

15、 个直接 观测值的真值作为前 个参数，其余“个参 数 之间彼此独立的附有条件的间接平差模型。6)附有 限制条件的条件平差模型可以认为 是参数的个数多于观测值的个数，且选择 n个直 接观测值的真值作为前 个参数，其余“一n个 参数x 之间不独立的附有条件的间接平差模型。参考文献 1 武汉测绘科技大学测量平差教研室 测量平差基础(第三版)北京：测绘 出版社，1 9 9 6 2 於宗俦，鲁林成 测量平差基础(增订车)北京：测绘 出版社 1 9 8 3 3 於宗俦，于正林 测量平差原理武汉：武汉测绘科技 大学出版社，1 9 9 0 4 崔希璋，於宗俦，陶本藻 等 广义测量平差(第二版)北京：测绘出版社

16、，1 9 9 2 王新洲，男，4 6 岁，教授，博士生导师。现儿事测量数据处理 理论与固司研究。代表成果：垂直形变速军面芭拟合理论与方 击；随机填型的估计理论和实用算法：非线性模型参数估计理论。已发表论文 4 0余棒。E ma i l：x 日 v w t e d u c T h e C o mp r e h e n s i v e Mo d e l o f G e n e r a l i z e d S u r v e y i n g Ad j u s t me n t WANG Xi 抽 o“(1 P g Z t S a n d O J K s u l t i n g。ri c e，X F

17、US M，1 2 9 L u o l R 刊，Wu l m n C h i n a 4 3 0 0 7 9)Ab s t r a c t I n s u r v e y i n g a d j u s t me n t，t h e ma t h e ma t i c mode l con s i s t s O f f u n c t i o n mode l a n d s t o c h a s t i c mo d e l T h e f u n c t i o n m ode l c o n s i s t s o f c l a s s i c a l a d i u s t me

18、n t m ode l a n d g e n e r a l i z e d a d j u s t me n t m ode 1 A s we k n o w ，p a r a me t e r a d j u s t me n t mode l，p a r a m e t e r删 u s t me n t wit h c o n s t r a i n t mo d e l，ren d i t i o n a d i u s t me n t mode l，c o n d i t i o n a d j u s t me n t wi t h p a r a me t e r m o

19、d e l a n d con d i t i o n a d j u s t me n t wi t h c o n s t r a i n t mode 1 b e l o n g t o t h e c l ass i c a l a d j u s t me n t mode 1 Th e f i l t e r mode l a n d l e a s t s q u a r e s ml l oca t i o n m ode l bel o n g t o t h e g e n e r a l i z e d a d j u s t r n e n t m o d e 1 T

20、o u n d e r s t a n d t h e c la s s i c a l a d j u s t me n t n l o d e】we 1 P r o f Y u Z o i g c h o u h a s u n i t e d t h e c t a s s i c a 1 a d j u s t me n t mode l b v con d i t i o n a d j u s t me n t wi t h con s t r a i n t m ode l 1 _ 0 u n i t e t h e c l ass i c a 1 a d j u s t me

21、n t m o d e 1 wi t h t h e g e n e r a l i z e d a d j u s t me n t m ode l，t h i s p a p e r p r e n t s a com p r e h e n s i v e m ode l o f g e n e r a l i z e d s u r v e y i n g a d j u s t m e n t I t i s l e ast s q u a r e s col l o c a t i o n wi t h c o n s t r a i n t mode l e c o mp r e

22、 h e nsi v e m ode l n o t o n l y con t a i n s f i l t e r mo d e l a n d e a s t s q u are s col l o c a t i o n mo d e l，b u t als o con t a i n s a l l t h e c l a s s i c al mode l s o f s u r v e y i n g a d j u s t me n t，s u c h as p ara me t e r a d j u s t me n t m o d e l，p a r a me t e

23、r a d j u s t me n t w i t h c o n s t r a i n t m ode l，c o n d i t i o n a d j u s t me n t mode l，con d i t i o n a d j ust m e n t wi t h p ara m e t e r mode l a n d mn d i t i o n a d j ust me n t w i t h c o nst r a i n t n l o d e】At t h e s a me t i me t h e f a c t t h a t p a r am e t e r

24、 a d j u s t me n t m ode l，con d i t i o n a d j u s t me n t mode I，con d i t i o n a d j u s t me n t wi t h con s t r a i n t m ode l a n d con d i t i o n a d j u s t m e n t wi t h con s t r a i n t m ode l a r e al l t h e s p e c i a l e a s e s o f t h e p ara me t e r a d j u s tm e n t w

25、i t h con s t r a i n t mod e l i s p r o v e n K e y w o r d s g e n e r a l i z e d s u r v e y i n g a d j u s tme n t；c o mp r e h e n s i v e mode l o f g e n e r a l i z ed s u rve y i n g a d j u s t me n t；1 e a s t s q u a r es col l o c a t i o n wi t h con s t r a i n t W A Na Xi h o u，ma

26、 le 4 6，pr o fe，P h D s u p e r vis o r He is c o n c e n t r a t e d o n th e r e s ea r c h a n d e d u c a t ic kq in t h e t h e o r y a n d a p pl ic a t io n。f J r v e y i n g d a t a p r o 呐 His c a ir l a l a c h ie v e me n t s ir lu d e t h e f o O o win g f ie l d s：t h e t h e o r y a n

27、d me t h o d o f d e f o r m a t i o n r r a s L Ir 6 f D s n t s t h e t h e or y a n d a l g or i t h m o f e s t q l a t io n o f s t o c h a s t i c；t h e p a r a t t t e r e s t imat io n t h e oc y o f n e n l i n e a r He h a s wr it te n f r lo r e t h a n 4 0 s c i n t i i c pu b l i c a 1 i o n s E-r n a ih x z w a r 曰 wh m e d u 维普资讯 http:/