第二章 线性模型及自相关与偏相关函数4.doc

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1、偏相关函数递推算法求 采用把和同时成对计算出来的技巧，利用公式：它只用 （利用公式利于节省存贮减少计算量） （2）亦称Yule-Walker方程，系阵为Toeplitz阵，当为序列时，先不必解（2）式，由（1）易知，对于，可从的极小性直接定出 若，则用代入（1）知： 易知，为使达到极小值，应当取 （3） 由此可见，序列的偏相关函数，在以后全等于，即偏相关函数是截尾的，在附录1中（P270272Th3）将证明，偏相关函数的截尾性也是平稳序列为型的充要条件，即它是序列所特有的标志. 下面来讨论的递推算法和偏相关函数的概率意义及或序列的的拖尾性. 首先由（2）解出的有以下递推形式： （4）为证明此结

2、论，令易见，于是（2）对而言可写或或 由分块矩阵运算可得： 由第一式： （5） （ ） 以此代入第二式得 （ ） 由此解出 （6）（5）和（6）是（4）之缩写形式，是显然的. 其次，我们指出偏相关函数的概率意义. 利用最小均方差估计记号，考虑和，并令，及 （7）这是和相关系数，或称为在给定条件下，与条件相关系数，再令. 于是根据最小均方差估计的性质有： 注意即 仍用前边记号等，再注意 故有： 由此和（6）知： 这说明，从其概率意义而言，偏相关系数是在给定的条件下与的条件相关系数. 更确切地说，是与扣去它们关于的最小方差估计后的残差的相关系数. 利用 令 由这一性质，我们将不难证明偏相关函数被负

3、指数函数所控制. （令 据的逆转形式和最小均方差估计的性质 ） 由此知， 又由 式中和是适当的正常数. 再由与不相关，可得（） 因此由Schwarz不等式 （同理） 于是最后得到 （2.1.22）形式 对于或序列是拖尾的. 五、序列的自相关函数的允许域 在第一章里我们讲过，只要序列满足对称性和非负定性，它就一定是某一平稳序列的自协方差函数. 但是，为要序列（或）成为序列的自协方差函数（或自相关函数），除了需要满足对称性和非负定性以外，还须与相应的谱密度具有形式. 换言之，由所决定的模型要有平稳性和可逆性. 这样在固定以后，序列的自协方差函数（或自相关函数）所能允许的取值范围叫做它的允许域. 一

4、个自相关函数列，仅当它在此域内时，它才是序列的自相关函数列. 一般情况不予讨论. 下面举5个例子，给出它们的自相关、偏相关函数和允许域，并给出允许域示意图. 例1 序列 其由下式决定 或 令 那么由行列式展开知 这个差分方程的通解为 其中为的根，即；的初始值可由直接计算得到：因此可定出系数，于是最后解出和 由于可逆域为，（）这就是的允许域. 例2 序列 它的允许域为 （时）其推导法与1例4类似. 例3 序列（由2.2.23）其允许域为. 例4 序列，其自相关函数前例已讨论，其偏相关函数十分简单，即 它的允许域为 例5 序列，它的允许域为 当取不同值时，的各种形状到此为止，我们已介绍了模型的分类

5、及性质，序列的自相关与偏相关函数的各种情况（性质）归纳如下表： 利用Cramer法则： 初如值计算： 3 一类非平稳序列ARIMA序列 在许多实际问题中，所考虑的随机序列有时并不近似为平稳序列. 比如，在绪论中所举的用电负荷的例子，当我们长期考查这个序列时，就会发现它并不总是稳定在同一水平上，因为我们的工业在发展，用电量和供电能力随之也在上升. 再看第一章所举的第六个伪随机序列的数字例子（由模型（2.1.16f）造出），它很明显地与其它五个平稳序列不同. 但是，如果将这个数列进行一次差分，得到（我们将和一起画在图2.3.1里），这时，我们会发现几乎稳定在零附近，即可以近似看做平稳序列. 这是为

6、什么呢？从（2.1.16 f）式可以得到答案，在第二章1中，我们曾说过是按（2.1.16 f）式构造的，并且随后又指出并非序列. 现在改写（2.1.16f）式为图2.3.1 （2.1.16f）式的模型烽据列与差分值 （2.3.1）若记，则上式又可写成 （2.3.2）这恰好等于模型（2.1.16c）式. 这意味着，的差分序列是序列. 当然，由此不难想象，对某些非平稳序列也还不是平稳的，但是平稳的，等等. 比如绪论中例2的，它的三次差分才是平稳序列. 我们把上述处理方法推广到一般情形. 假定为一非平稳序列，但是存在一正整数，使得 （2.3.3）而是序列，其中是阶差分算子 （2.3.4）式中. 由于

7、我们只考虑的方差为有穷值的情况，所以，对这类非平稳序列，我们假定从1开始才有定义，并且假定的前个随机变量是均值为零，方差有穷，且与不相关，因而与也不相关. 这样的序列我们称之为序列的阶求和序列，并用记号表示. 其中为求和阶数，分别为的自回归和滑动平均阶数. 这样的非平稳序列可以用它的初值及平稳序列表达. 事实上，因为差分运算的逆运算就是求和运算，所以由（2.3.3）式和的初值可以得到 （2.3.5）我们不去仔细推导这些表达式，仅考虑两种简单而常用的特殊情况. 时，可表 （2.3.6） 时，同上有同理又有以此代入前式可得 （2.3.7）对于非平稳序列，它的识别估计和预报控制等问题，可以通过对它进行阶差分化成平稳序列的相应问题来解决. 可见这是将平稳时间序列分析方法向非平稳序列推进了一步，但并非本质性的推进. 最后，还须指出，有时我们也将（2.3.3）式形式地写成 （2.3.8）但是严格地说，还是用（2.3.5）式（或（2.3.6），（2.3.7）式）更为恰当. 那样可看成是由和按（2.3.5）式产生的非平稳序列，其中是如下的模型的平稳解而且与不相关. 对求和序列的这种理解，在今后各章中将多次用到.54