质量阶梯模型(上传).pdf

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1、1质量阶梯模型A quality ladder model(Aghion and Howitt(1992)References:Aghion and Howitt(1992).Chapter 7 in Barro and Sala-i-Martin(2003).1.基本设定最终品只有一种,中间资本品有N种每一种中间品质量的进步是阶梯型的;当质量改进的研发成功时,质量才会改进;均衡时,只有最高质量的中间品才能生产.每次质量改进的研发者都获得了生产对应质量水平中间品的垄断权。2最终品部门企业i11NiiijjYALX,ijX是第j种中间品产品的质量调整量（Quality ladder每种中间品从质

2、量1开始进步,随后的质量依次为 q;q2;q3;:q 1:如果j部门进行了j次质量改进，那么该中间品部门获得的级别是q;q2;q3;:jq，1jq（这些改进只能按顺序出现，每次一个梯级）jijijXq X最终产品价格为1，Pj为中间品的价格.利润最大化：1,11max()jiijNNiijijijL XjjALq XwLP XF.O.C11111jjiijjijijALqXPXALqP11jjijijAqXXLP总产出:11111()jjNiiiijiijjjAqYYALLALq XP3.3 中间品部门max(1)jjjPPX因此，111max(1)max(1)jjjjjjjPPjAqPXPL

3、PP生产任何一单位中间品需要一单位最终产品，中间品的边际成本为1对于不同质量（最2新的创新者对本部门之前的创新者具有比较优势，而对未来的创新者具表现出劣势）因此制造的中间品数量为:2 1/11()jjXAqL企业的利润为：2 1/111121111()(1)()1jjjjXAqLqAL 可以看作为基本利润，相当于质量水平为0j（如果人口不变。利润就恒定了）利润随质量提高而上升。尽管垄断权对于一项发明是永久的，但当竞争者带来了新的质量改进时，该垄断的价值为 0。令jt为第j次质量改进的开始时间，而且1jt为竞争者下次改进的时间。第j次创新保持其质量先进的时间区间为1()jjjTtt因此，从时间点

4、jt看，第j次质量改进者获得的全部利润的净现值为：1()()()vtjjjr w dwtjjtVedv 如果利率不变的话，那么：()()()1/jrTjjVer 14 消费者11()1cu c人口不增加，消费者的问题为：0().:tu c edtst awraccrc5质量指数总产出：321211112111()()jjjNjNjYALqAqLALq 定义质量指数：11jNjQq121()YALQ中间品总量为：121()XALQ（对2 1/11()jjXAqL加总）6 研发部门当质量为j时，部门j中单位时间成功创新的概率为()jp。（Let()jpbe the probabilityof su

5、ccess per unit time of a successful innovation in j when state of art isj）（也就是()jp是其他研究者将部门j质量水平从j提高到1j的单位时间概率，该概率取决于研究工作，我们稍后讨论。在此，我们将其看为一个给定的数据，所以现在垄断失去垄断者地位的概率符合泊松过程泊松过程Poisson过程）1垄断者失去垄断地位的概率()jpte是时间的函数，因此保留垄断者保留垄断地位的概率 1-()jpte）为了获得将垄断者关于研发成功的价值，我们需要关于垄断地位的持续时间()jT1PoissonPoisson 过程过程（PoissonP

6、oisson processprocess，大陆译泊松过程泊松过程、普阿松过程普阿松过程等，台译卜瓦松過程卜瓦松過程、布瓦松過程布瓦松過程、布布阿松過程阿松過程、波以松過程波以松過程、卜氏過程卜氏過程等），是以法国数学家泊松（1781-1840）的名字命名的。泊松过程泊松过程是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。我们说一个随机过程N(t)是一个时间齐次的一维泊松泊松过程过程，如果它满足以下条件：在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。在区间内发生的事件的数目的概率分布为：其中是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（inte

7、nsity）。所以，如果给定在时间区间之中事件发生的数目，则随机变量呈现泊松分布，其参数为。泊松分布的参数是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。更一般地来说，一个泊松过程泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。）4的概率密度函数

8、。将()G定义为在时期()jT内累积的概率，即()jT的概率。()G表明垄断保持到时刻的概率（到时刻发生创新的概率，创新在时刻发生的概率为1-()G。在创新没有发生条件下，单位时间出现创新的概率为()jp。因此()1 exp()jGp 概率密度函数()()()exp()jjgGpp垄断者研发成功的价值为：()0()(1)()()jjpjjrjjE Vepedrrp经济学含义：()()()jjjjpE VrE V市场收益率等于研发收益率。()jE V是发明的市场价值，相当于资本的价值。等式右边的研发收益包括当前受到收益减去当前的资本的预期损失()()jjpE V，该损失来源于下一 次 存 在 的

9、 创 新 的 概 率。（注：如 果 没 有 创 新，则 发 明 的 收 益 率 为()jjE V资本的收益资本的市场价格，必然等于利率）。另外，失去垄断单位的概率和利率 r 相结合可得到一个实际的贴现率。根据前面的j表达式，/1()/()jjjE Vqrp 研发技术：我们假设研发成功的概率为()()()jjjpZ。()j 为研发的投入成本。自由进入的假设：研发部门的利润为 0，则：(1)1()(1)()()()(1)10()(1)10(1)()jjjjjjjjjjjpEVZpEVEVrpq 假设：(1)11()jjq ()j 最简单的形式为，研发成功的概率恰好和下一梯级位置1j上的产出负相关，

10、因此，1(1)jrp5上式表明，对各部门而言，单位时间研发成功的概率是相同的，与质量阶梯的位置无关，而且该概率由下式决定：1pr如果利率不变的话，则 p 也不变。研发的总投入j 部门的研发投入为(1)1(1)11()()1jjjrpZrqq 成功概率对于所有部门都相同。总的研发支出为：/11()()NjjZZqQr/11jNjQq 是总质量指标。经济体的总约束YCXZY.X.Z(121()YALQ;中间品总量为121()XALQ);/1()ZqQr)都是关于 Q 的线性函数。进而，C 也是 Q 的线性函数。因此，所有这些变量在增长率都等于 Q 的增长率.QYCXZQYCXZ1CpC因为研发成功

11、的概率是内生的，所以该式并没有给出模型的最终解。为得到关于增长的最终解，我们必须解释质量指标 Q 的行为总质量指标的行为和内生增长在部门 j 中，/1jq 项在没有创新出现时没有变化，但在研发成功时则会提高到(1)/1jq，成功的单位时间概率为 p.因为 p 对所有部门都一样，所以单位时间内 Q 的预期变化为：6(1)/1/11/1/1/11()11jjjNjNjEQpqqp qqp qQ Q 在单位时间内的预期变化比例为/1()1QEp qQ如果部门总数足够大，那么大数法则表明2，在有限的时间段内，Q 的平均增长率将趋近于上式的右边。特别地，我们假定 N 足够大，以确保我们可以将 Q 看作是

12、可微的，并且假定 Q 的变化并非随机的，QQ就等于上式的右边。/1/11111()p qrqpr这表明增长率是利率的负函数。由于CrC因此，/111rrq，得：/1/1111qrq，增长率为：/1/1111qq成功的概率2大数定律大数定律又称大数法则、大数率，是个数学与统计学的概念，意指数量越多，则其平均就越趋近期望值。人们发现，在重复试验中，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋于一个稳定值；人们同时也发现，在对物理量的测量实践中，测定值的算术平均也具有稳定性。切比雪夫定理切比雪夫定理的一个特殊情况、辛钦定理辛钦定理和伯努利大数定理伯努利大数定理都概括了这一现象，都称为大数定律。7/111pq同样不存在转移动态。