连续控制系统的数学模型.pdf

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1、第2章 连续控制系统的数学模型 第2章 连续控制系统的数学模型 2.1 控制系统数学模型的概念 2.1 控制系统数学模型的概念 控制理论分析、设计控制系统的第一步是建立实际系统的数学模型。所谓数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。2.1.1 数学模型的类型 2.1.1 数学模型的类型 数学模型是对系统运动规律的定量描述，表现为各种形式的数学表达式，从而具有不同的类型。下面介绍几种主要类型。1.静态模型与动态模型静态模型

2、与动态模型 根据数学模型的功能不同，数学模型具有不同的类型。描述系统静态（工作状态不变或慢变过程）特性的模型，称为静态数学模型。静态数学模型一般是以代数方程代数方程表示的，数学表达式中的变量不依赖于时间变量不依赖于时间，是输入输出之间的稳态关系。描述系统动态或瞬态特性的模型，称为动态数学模型。动态数学模型中的变量依赖于时间，一般是微分方程微分方程等形式。静态数学模型可以看成是动态数学模型的特殊情况。2.输入输出描述模型与内部描述模型输入输出描述模型与内部描述模型 描述系统输出与输入之间关系的数学模型称为输入输出描述模型，如微分方程、传递函数、频率特性等数学模型。而状态空间模型描述了系统内部状态

3、和系统输入、输出之间的关系，所以称为内部描述模型。内部描述模型不仅描述了系统输入输出之间的关系，而且描述了系统内部信息传递关系，所以比输入输出模型更深入地揭示了系统的动态特性。3.连续时间模型与离散时间模型连续时间模型与离散时间模型 根据数学模型所描述的系统中的信号是否存在离散信号，数学模型分为连续时间模型和离散时间模型，简称连续模型和离散模型。连续数学模型有微分方程、传递函数、状态空间表达式等。离散数学模型有差分方程、Z传递函数、离散状态空间表达式等。4.参数模型与非参数模型参数模型与非参数模型 从描述方式上看，数学模型分为参数模型和非参数模型两大类。参数模型是用数学表达式表示的数学模型，如

4、传递函数、差分方程、状态方程等。非参数模型是直接或间接从物理系统的试验分析中得到的响应曲线表示的数学模型，如脉冲响应、阶跃响应、频率特性曲线等。数学模型数学模型虽然有不同的表示形式，但它们之间可以互相转换可以互相转换，可以由一种形式的模型转换为另一种形式的模型。例如，一个集中参数的系统，可以用参数模型表示，也可以用非参数模型表示；可以用输入输出模型表示，也可以用状态空间模型表示；可以用连续时间模型表示，也可以用离散时间模型表示。2.1.2 建立数学模型的方法 2.1.2 建立数学模型的方法 建立系统的数学模型简称为建模建模。系统建模有两大类方法。一类是机理分析建模机理分析建模方法，称为分析法，

5、另一类是实验建模方法，通常称为系统辨识系统辨识。机理分析建模方法是通过对系统内在机理的分析，运用各种物理、化学等定律，推导出描述系统的数学关系式，通常称为机理模型。采用机理建模必须清楚地了解系统的内部结构，所以，常称为“白箱”建模方法。机理建模得到的模型展示了系统的内在结构与联系，较好地描述了系统特性。但是，机理建模方法具有局限性，特别是当系统内部过程变化机理还不很清楚时，很难采用机理建模方法。而且，当系统结构比较复杂时，所得到的机理模型往往比较复杂，难以满足实时控制的要求。另一方面，机理建模总是基于许多简化和假设之上的，所以，机理模型与实际系统之间存在建模误差。系统辨识是利用系统输入、输出的

6、实验数据或者正常运行数据，构造数学模型的实验建模方法。因为系统建模方法只依赖于系统的输入输出关系，即使对系统内部机理不了解，也可以建立模型，所以常称为“黑箱”建模方法。由于系统辨识是基于建模对象的实验数据或者正常运行数据，所以，建模对象必须已经存在，并能够进行实验。而且，辨识得到的模型只反映系统输入输出的特性，不能反映系统的内在信息，难以描述系统的本质。最有效的建模方法是将机理分析建模方法与系统辨识方法结合机理分析建模方法与系统辨识方法结合起来。事实上，人们在建模时，对系统不是一点都不了解，只是不能准确地描述系统的定量关系，但了解系统的一些特性，例如系统的类型、阶次等，因此，系统象一只“灰箱”

7、。实用的建模方法是尽量利用人们对物理系统的认识，由机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。机理分析提出模型结构，然后用观测数据估计出模型参数，这种方法常称为“灰箱”建模方法，实践证明这种建模方法是非常有效的。本章介绍机理建模方法，着重介绍几种常用的数学模型。系统辨识建模方法将在第10章介绍。2.2 状态空间模型 2.2 状态空间模型 状态空间模型是控制系统的内部模型，描述了系统内部状态、系统输出与系统输入之间的关系，深入地揭示了系统的动态特性，是现代控制理论分析、设计系统的基础。2.2.1 状态与状态空间的概念 2.

8、2.1 状态与状态空间的概念 KY(t)F(t)fM图2.1 弹簧-阻尼器系统为了说明状态的概念，首先考察一个熟悉的例子。如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统，根据物理学定律可知，在外作用力已知的情况下，如果知道了物体在某一时刻的位移及速度,就能确定系统未来的动态响应。如果仅知道物体的位移或速度，就不能确定系统未来的动态响应。另一方面，物体的位移、速度及加速度这三个量显然是不独立的，即可以根据其中的两个量确定另外的一个量，因此这个量对于描述系统的状态是多余的。因此，可以选择物体在某一时刻的位移及速度作为弹簧-阻尼器系统在某一时刻的状态。从上面这个例子可以看出，状态对于描述系统特性应该是充分且必要

9、的。因此，状态可以定义如下：状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的状态是系统中一些信息的集合，在已知未来外部输入的情况下，这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。上述定义中的必要性意味着这些信息中缺一就不能完全描述系统,充分性意味着再加入一些信息则多余了。系统在各个时刻的状态是变化的，能够确定系统各个时刻状态的具有最少个数变量的一组变量称为状态变量状态变量。例如，弹簧-阻尼器系统的物体的位移与速度是一组状态变量。把描述系统状态的n个状态变量),2,1(),(nitxiL=作为一个向量的个分量，这个向量称为状态向量，记为，即 n

10、)(tx (2.1)Tntxtxtxtx)()()()(21L=例如，弹簧-阻尼器系统的状态向量为 =)()()(tytytx&其中，为物体的位移，为物体的速度。)(ty)(ty&以个状态变量作为坐标轴所组成的维空间称为状态空间状态空间。如果，则状态空间是一个平面，通常称为相平面。如果nn2=n3=n，则是一般的三维空间。三维以上的空间就失去了一般空间的意义。由于把系统的状态看成是一个向量，状态向量可用状态空间中的一个点来表示，所以能够在状态空间中用几何术语来解释状态变量分析问题，即采用“状态空间分析”方法。2.2.2 系统的状态空间描述 2.2.2 系统的状态空间描述 1.状态方程和输出方程

11、 描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组称为状态方程。描述系统输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程输出变量与系统状态变量、输入变量之间关系的方程称为输出方程。系统的状态方程和输出方程合称为系统的状态空间表达式，但常常将状态空间表达式简称为状态方程。状态方程是系统的数学模型，是状态空间分析法的基础。下面首先讨论如何根据系统的物理机理建立系统的状态方程。建立状态方程的第一步是选择状态变量第一步是选择状态变量。选取的状态变量一定要满足状态的定义，首先检查是否相互独立，即不能由其它变量导出某一变量；其次检查是否充分

12、，即是否完全决定了系统的状态。状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数状态变量的个数应等于系统中独立储能元件的个数，因此，当系统具有 n个独立储能元件，则可以选择 n 个独立的系统变量作为状态变量。选择状态变量一般有三条途径：（1）选择系统中储能元件的输出物理量作为状态变量；（2）选择系统的输出变量及其各阶导数作为状态变量；（3）选择能使状态方程成为某种标准形式的变量作为状态变量。下面举例说明。例 2.1 建立如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式。例 2.1 建立如图 2.1 所示弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式。解 选取状态变量为)(),(21tyxtyx&=。因为物体受到

13、的力为外力、弹簧拉力和阻尼器阻力的合力，所以根据牛顿定律得)(tF)(tFk)(tFf fkFFFdtydM=22 设弹簧和阻尼器是线性的，根据虎克定律等物理定律得 dttdyftFtKytFfk)()()()(=其中，M为物体的质量；K为弹簧的弹性模量；为阻尼器的阻尼系数。将上式整理成 f +=FMxMfxMKxxx121221&上面这个描述弹簧-阻尼器系统的状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组就是系统的状态方程。系统的输出方程为)(),(21txtx)(tF 1xy=将上面的状态空间表达式写成矩阵形式 FMxxMfMKxx+=10102121&(2.2a)(2.2b)=2101xxy

14、或 BFAxx+=&Cxy=其中,；=21xxx=MfMKA10；=MB10；01=C。例 2.2 建立如图 2.2 所示网络的状态空间表达式。例 2.2 建立如图 2.2 所示网络的状态空间表达式。RLC 解 下面对同一系统选择不同的状态变量，从而得到不同的状态空间表达式。(a)选两个独立的储能元件电容上的电荷和电感中的电流为状态变量，即，则)(tq)(tiixqx=21,=+=uqCdtdiLiRidtdq1 LRC图2.2 RLC网络u(t)y(t)整理得系统的状态方程为 +=uLiLRqLCdtdiidtdq11 或 +=uLxLRxLCxxx1121221&写成矩阵形式 uLxxLR

15、LCxx+=101102121&(2.3a)输出方程为 =21101xxCCxCqy (2.3b)(b)选状态变量为电感中的电流ix=1，电容上的电压=dttiCCqx)(12，则 =+=uxxLRxxCx211121&或 =+=12211111xCxuLxLxLRx&状态空间表达式为 uLxxCLLRxx+=010112121&(2.4a)(2.4b)=21210 xxxy(c)选状态变量为，+=idtRLix1=idtx2注意，这里的状态变量虽然符合状态变量的条件，但是没有明显的物理意义，也是不可测的量。对状态变量求导得 1x RidtdiLx+=1&而系统的方程为 uidtCRidtdi

16、L=+1 所以 uxCuidtCx+=+=2111&对状态变量求导得 2x 211211xLRxLidtLRxLix=&所以，系统的状态方程为 =+=2122111xLRxLxuxCx&系统的输出方程为 211xCidtCy=则状态空间表达式为 uxxLRLCxx+=011102121&(2.5a)=2121011xxCxCidtCy (2.5b)从这个例题可以看出：（1）状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）（1）状态变量的选择不唯一，因此状态方程也不唯一（但在相似意义下是唯一的）；（2）状态变量的个数一定；（2）状态变量的个数一定；（3）状态变量可以是有明显物

17、理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。（3）状态变量可以是有明显物理意义的量，也可以是没有明显物理意义的量。状态变量可以是可测的量，也可以是不可测的量。（例 2.3）他激直流电动机速度控制系统他激直流电动机速度控制系统（忽略负载力矩）如图 2.3 所示。系统输入为，输出为电动机的角速度fu。解 选取状态变量：因为系统中独立贮能元件有 3 个，即激磁线圈电感，电枢线圈电感和电机转动惯量，所以选择状态变量为电动机的角速度=1x；电枢电流；激磁回路电流。根据电机理论，有下列关系 Ix=2fIx=3 +=+=dtdILRIuCEIKEEIRdtdILEI

18、CdtdJfffffeMfgggMM LRM图2.3 直流电动机速度控制系统fufI)(ti)(tu 整理可得系统的状态方程为 +=+=fffffffgeMuLILRdtdIILKILRLCdtdIIJCdtd1 或 +=+=ffffgeMuLxLRxxLKxLRxLCxxJCx133321221&或者表示为 ffffgeMuLxLRLKLRLCJCx+=1000000&(2.6a)其中，。若取电机角速度为输出量，则输出方程为 Txxxx321=xxy0011=(2.6b)若取两个输出量为=1y和，则输出方程为 Iy=2 (2.6c)=32121010001xxxyy 从上面的几个典型物理系统

19、的数学模型可以看出，很多系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型系统虽然具有不同的物理特性，但却具有相同形式的数学模型。例如，例 2.1 所示弹簧阻尼器系统和例 2.2 所示 RLC 网络，都可以用 2 个 1 阶线性常微分方程描述。2.2.3 线性系统的状态空间表达式 2.2.3 线性系统的状态空间表达式 下面介绍线性系统的状态空间表达式的一般形式。1.单输入单输出线性系统的状态空间表达式 1.单输入单输出线性系统的状态空间表达式 对于线性系统，状态方程中各个状态变量的导数与状态变量和输入变量都是线性关系，输出变量与状态变量、输入变量也是线性关系。因此，单输入单输出（SISO）

20、n 阶线性系统状态空间表达式的一般形式为 (2.7a)+=+=+=ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnnL&ML&L&2211222221212112121111 duxcxcxcynn+=L2211 (2.7b)写成矩阵形式 (2.8a)ubbbxaaaaaaaaaxnnnnnnn+=MLMLL&21212222111211 duxcccyn+=L21 (2.8b)或表示为 (2.9a)BuAxx+=&duCxy+=(2.9b)其中，TnxxxxL21=nnijaA=TnbbbBL21=，ncccCL21=，d为常数，称为直接传递。2.多输入多输出线性系

21、统的状态空间表达式 2.多输入多输出线性系统的状态空间表达式 具有r个输入、m个输出的 n 阶多输入多输出（MIMO）线性系统的状态方程为+=+=+=rnrnnnnnnnnrrnnrrnnubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxaxLL&MLL&LL&22112211221212122221212121211112121111 (2.10a)输出方程为+=+=+=rmrmmnmnmmmrrnnrrnnudududxcxcxcyudududxcxcxcyudududxcxcxcyLLMLLLL22112211222212122221212121211112121

22、111 (2.10b)写成矩阵形式为 ubbbbbbbbbxaaaaaaaaaxnrnnrrnnnnnn+=LMLLLMLL&212222111211212222111211 (2.11a)udddddddddxcccccccccymrmmrrmnmmnn+=LMLLLMLL212222111211212222111211 (2.11b)或 (2.12a)BuAxx+=&(2.12b)DuCxy+=其中，为维状态向量；TnxxxxL21=1nTruuuuL21=为1r维控制向量；为维输出向量；TmyyyyL21=1mA为nn维系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间的关系；为Brn维输入矩阵，表示

23、输入对每个状态变量的作用情况；C为维输出矩阵，表示输出与状态变量的组成关系；为nmDrm维前馈矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。若不考虑直接传输，则一般表达为 (2.13)=+=CxyBuAxx&若系统是线性定常系统，则均为常数矩阵。若系统是时变系统，则的元素有些或全部是时间的函数。DCBA,DCBA,多输入多输出系统可以用如图所示矩阵方框图 2.4 表示，其中积分方框由个积分器组成。nAByCx&uDx图2.4 线性系统的一般结构2.2.4 状态方程的线性变换 状态方程的线性变换 从前面的讨论可以看出，状态变量的选择是不唯一的状态变量的选择是不唯一的，因此状态方程也不唯一状态方程也不唯一，

24、但但这些状态方程都描述了同一个系统描述了同一个系统，因此这些状态方程本质上必然是相同的这些状态方程本质上必然是相同的。事实上，它们之间都可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的它们之间都可以通过线性变换得到，因此状态方程在相似意义下是唯一的。下面讨论状态方程的线性变换。这个论题的意义不仅在于说明状态方程在相似意义下是唯一的，更重要的是使很多系统的分析与设计得以简化，在后面章节中将要予以介绍。1状态方程的线性变换 1状态方程的线性变换 设状态变量取为x时，线性连续时变系统或定常系统的状态空间表达式为)()()(tButAxtx+=&(2.14a)()(tCxty=(2.14b)取线

25、性变换线性变换 )()(txPtx=(2.15)其中，P 为常量矩阵为常量矩阵。由于式（2.15）中x与x之间是线性关系，所以称为线性变换。由状态的定义可知，虽然状态变量的选取不同，但状态变量的个数都是，因此，P 应该是非奇异阵，即存在应该是非奇异阵，即存在n1P，使，使 )()(1txPtx=(2.16)上述变换称为非奇异线性变换或等价变换非奇异线性变换或等价变换。通过非奇异线性变换，系统的状态空间表达式变换为 )()()(tuBtxAtx+=&(2.17a)xCy=(2.17b)下面推导 A,B,C 与CBA,之间的关系。将式（2.15）代入（2.14）得 =+=xCPyBuxAPxP&由

26、于存在1P，所以有 =+=xCPyBuPxAPPx11&（2.18）将式（2.18）与（2.17）比较，得 CPCBPBAPPA=11 （2.19）或 11=PCCBPBPAPA （2.20）由式（2.19）或（2.20）可对状态空间表达式进行非奇异线性变换。下面考察经非奇异线性变换后，矩阵 A 与A的特征值的变化情况。|111APPPPAPPIAI=|)(|111PAIPAPPIPP=|111AIAIPPAIPPPAIP=可见，A和A具有相同的特征多项式，因此具有相同的特征值。因此，经非奇异线性变换后，虽然状态变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变经非奇异线性变换后，虽然状态

27、变量变了，状态方程的参数也变了，但状态方程的特征值不变，所以，一般称特征值是系统的不变量。例 2.4 已知系统的状态方程为 例 2.4 已知系统的状态方程为 uxxxxxx+=1006116100010321321&取线性变换为 =321321941321111xxxxxx 求变换后的系统的状态方程。解：P=P9413211111=5.05.111435.05.23 由式(2.19)得 =94132111161161000105.05.111435.05.231APPA =30002000127819413215.05.111435.05.23 =5.015.01005.05.111435.0

28、5.231BPB 所以，变换后的状态方程为 uxx+=5.015.0300020001&在例 2.4 中，通过线性变换后的状态方程的系数矩阵为对角矩阵，使状态变量之间没有耦合作用线性变换后的状态方程的系数矩阵为对角矩阵，使状态变量之间没有耦合作用。这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的这种形式对控制系统分析和设计都是非常有益的。在第六章中将讨论如何求取使矩阵变换为对角阵的线性变换矩阵AAP。事实上，这些内容在线性代数中已经作了介绍。2.3 微分方程描述 微分方程描述 前面介绍的状态空间模型状态空间模型描述了系统的内部特性，称为系统的内部描述为系统的内部描述。而下面介绍的微分方程、传递函数微

29、分方程、传递函数等描述系统的输出变量和输入变量之间的动态关系，所以称为系统的输入输出描述或外部描述为系统的输入输出描述或外部描述。系统的内部描述不仅描述了系统的输出变量和输入变量之间的动态关系，而且描述了系统内部信号传递过程，所以，内部描述比外部描述提供更多的信息，从而可以设计性能更好的控制系统。但很多实际系统往往只能从系统输入输出信号了解系统的特性，容易得到系统的外部描述。事实上，两种描述可以相互转化。在状态空间模型中，消除状态变量，可以得到描述系统输出变量和输入变量之间的动态关系，即得到系统的外部描述。相反，可以根据系统的外部模型构造一个内部结构，使它具有与外部模型相同的输入输出关系，这个

30、问题称为系统的实现问题。2.3.1 列写系统微分方程的一般步骤 列写系统微分方程的一般步骤 根据系统的机理分析，列写系统微分方程的一般步骤为（1）确定系统的输入、输出变量；（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学等定律，列写各变量之间的动态方程，一般为微分方程组；（3）消去中间变量，得到输入、输出变量的微分方程；（4）标准化：将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列，最后将系数归化为如时间常数等反映系统动态特性的参数。下面以一些简单的系统为例，介绍系统数学模型的概念和基于系统机理分析建立数学模型的基本方法。例2例2.5 列写如

31、图2.5所示 列写如图2.5所示RC网络的微分方程网络的微分方程。给定输入电压为系统的输入量，电容上的电压为系统的输出量。rucuRC图2.5 RC网络ur(t)uc(t)解 设回路电流为i，由电路理论可知，电阻上的电压为 iRu=1电容上的电压与电流的关系为 dtduCic=由基尔霍夫电压定律，列写回路方程式 rcuuu=+1消去中间变量、i得 1u rccuudtduRC=+(2.21)令为电路时间常数，则 RCT=rccuudtduT=+(2.22)式(2.22)即为RC网络的微分方程，它是一阶常系数线性微分方程。例2.6 列写如图2 例2.6 列写如图2.6所示所示RC网络的微分方程网

32、络的微分方程。给定输入电压为系统的输入量，电容上的电压为系统的输出量。ru2Ccu 解 由基尔霍夫电压定律，列写回路方程 (2.23)rcuuRi=+111 (2.24)122ccuuRi=+R1C1图2.6 RC网络ur(t)uc(t)R2C2由基尔霍夫电流定律，电容中的电流为1C)(21ii，电容中的电流为，所以 2C2i dtduCiic1121=(2.25)dtduCic22=(2.26)下面消去中间变量、。将式(2.26)代入(2.25)得 1cu1i2i dtduCdtduCicc2111+=(2.27)将式(2.26)、(2.27)代入(2.23)、(2.24)得 rcccuud

33、tduCRdtduCR=+112111 (2.28)122cccuudtduCR=+(2.29)将式(2.29)代入(2.28)得 rcccccuudtduCRdtduCRdtduCRdtudCRCR=+222111222211 rcccuudtduCRCRCRdtudCRCR=+)(222111222211 (2.30)标准化得 rcccuudtduTTTdtudTT=+)(22112221 (2.31)其中，为电路的时间常数。式(2.31)即为网络的微分方程描述，它是二阶常系数线性微分方程。111CRT=222CRT=2112CRT=注意，图2.6所示RC网络虽然是两个图2.5所示RC网络

34、的串联，但应该注意到前面一个RC网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，式(2.31)中的应该注意到前面一个RC网络不是开路，后面一个RC网络是前面一个RC网络的负载，式(2.31)中的dtduTc21这一项就反映了这一负载效应。这一项就反映了这一负载效应。例2.7 例2.7 如图2.7所示流体过程如图2.7所示流体过程，流入流量为（iQsm3），流出流量为（0Qsm3），它们受相应的阀门控制。建立该过程输出量H与输入量之间的微分方程式。iQ图2.7 流体过程HiQoQ控制阀节流阀 解 设流体是不可压缩的，根据物质守恒定律，可得 )(10QQSdtdHi=(2.32)式(2.3

35、2)中，为液罐截面积（），S2mH为液面高度（m）。由流量公式可得 HQ=0 (2.33)式(2.33)中，为节流阀的流量系数，当液位高度变化不大时，可近似认为只与节流阀的开度有关。设节流阀的开度保持一定，则为一常数。消去中间变量Q，得该流体过程的微分方程数学模型 0iQSHSdtdH1=+(2.34)由于该流体过程具有非线性特性流体过程具有非线性特性，所以系统的数学模型系统的数学模型(2.34)是非线性微分方程是非线性微分方程。上面介绍了一些典型系统的微分方程。一般的连续时间系统都可以用微分方程描述，线性系统可以用线性微分方程描述，而非线性系统则要用非线性微分方程描述。描述非线性系统的微分方

36、程一般可表示为 0),()1()()1()(=rrrryyyyFmmnn&L&L （2.35a）将线性部分与非线性部分分开，可以写成下列形式)(),(1101111trdtyddtdyyfyadtdyadtydadtydannnnnnnn=+LL（2.35b）式中，为系统输出，yr为系统输入，a，a，n0为常数，为非线性函数。常数(.)f反映了系统的非线性的程度。当时，上式可变为常系数线性微分方程。这一事实为衡量系统非线性程度提供了一个定性的规则：较a,小时，说明非线性程度不严重，反n0a之，当较,大时，说明系统中非线性程度严重。na0a对于一般阶线性系统的微分方程可以表达为 n (2.36)

37、rbrbrbyayayaymmnnn01)(01)1(1)(+=+&L&L系统的微分方程描述了系统特性，因此，微分方程的类型与系统的特性有关。如果系统是非线性系统，则用非线性微分方程(2.35)描述；如果系统是线性系统，则用线性微分方程(2.36)描述；如果系统是线性时变系统，则式(2.36)中的系数，是时间的函数。如果系统是线性时不变系统，或者称为线性定常系统，则式(2.36)中的系数，与时间无关。iaibiaib2.3.2 由状态空间表达式求微分方程 2.3.2 由状态空间表达式求微分方程 如果已经得到了系统的状态空间表达式，那么，只要消除状态空间表达式中的状态变量，得到系统输出变量与输入

38、变量之间的关系，就得到系统的微分方程描述。例 2.8例 2.8 例 2.1 所示的弹簧-阻尼器系统的状态空间表达式为 21xx=&(2.37a)FMxMfxMKx1212+=&(2.37b)1xy=(2.37c)将式(2.37a)代入(2.37b)得 FMxMfxMKx1111+=&(2.38)将式(2.37c)代入式(2.38)并整理，就得到系统的微分方程 FMyMKyMfy1=+&(2.39)例 2.9例 2.9 对于例 2.2 所示的 RLC 网络，若选状态变量为电感中的电流，和电容上的电压x1=i=dttiCCqx)(12，则状态空间表达式为 uLxLxLRx12111+=&(2.40

39、a)121xCx=&(2.40b)2xy=(2.40c)将（2.40b）、（2.40c）式代入（2.4a）得系统的微分方程为 uLyLyLRCyC11+=&整理得 uyyRCyLC=+&将系统的时间常数记为RC=1、RL=2，则微分方程表达为 uyyy=+&121 (2.41)2.3.3 由微分方程求状态空间表达式 由微分方程求状态空间表达式 1系统的实现问题 1系统的实现问题 由状态空间表达式求微分方程是容易的，只要消除状态变量，得到输出与输入的关系式就行了。现在考虑相反的问题，即从微分方程描述求等价的状态空间描述。由系统的微分方程等外部数学模型确定等价的状态空间等内部数学模型，实际上是根据

40、系统的外部描述构造一个内部结构，要求保持外部描述的输入输出关系，又将系统的内部结构确定下来，所以，通常称为系统的实现问题。这里的所谓“实现”，是指数学意义上的实现，而不是物理意义上的实现，也就是说并不是设计一个具有给定数学模型的物理系统。因为根据输入输出关系所求得的状态空间表达式不是唯一的，有无穷多个状态空间表达式具有相同的输入输出关系输入输出关系所求得的状态空间表达式不是唯一的，有无穷多个状态空间表达式具有相同的输入输出关系。这显然是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分方程或传递函数可以用实验的方法得到，因此，我们可以从输入输出关系描述建立状态空间描述

41、，这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍的是通过机理分析建立状态空间描述）。另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实现可以构造一个与原系统输入输出等价的系统进行状态估计等，从而实现状态反馈控制，改善系统控制特性。本节只讨论单输入单输出系统的一种常用实现方法，后面将继续讨论实现问题。2微分方程不含有输入的导数项 2微分方程不含有输入的导数项 这时，一般描述为 buyayayaynnn=+01)1(1)(&L (2.42)状态变量选为 )1(21=nnyxyxyxM&则有 )(13221nnnnyxxxxxxx=&M&由微分方程得 buyayayaynnn+=)1(110)(L&所以 buxax

42、axaxnnn+=12110L&因此，系统的状态方程为 (2.43a)+=buxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221L&M&输出方程为 1xy=(2.43b)表达为矩阵形式 (2.44a)ubxxxaaaaxxxnnn+=00010001001021121021MMLLOLLL&M&(2.44b)=nxxxyML21001 这种实现所得到的状态空间表达式具有明显的规律性，在后面的系统分析与设计中比较常用。例 2.10 已知系统的微分方程为ryyyy=+&23,求状态空间表达式。解 选取状态变量为，yx=1yx&=2，yx&=3，则由式(2.44)得状态空间描述为 001100

43、321100010=CBA3微分方程含有输入的导数项 3微分方程含有输入的导数项 这时，一般描述为 ubububyayayaynnnnn01)(01)1(1)(+=+&L&L (2.45)状态变量的选取：对于这种情况不能选输出及其各阶导数作为状态变量。因为如果把，L作为状态变量，则状态方程为 yy&,)1(ny +=ububububxaxaxaxxxxxxxnnnnnnnnn01)1(1)(1211013221&LL&M&这时，状态变量中包含了输入信号的导数项，使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不确定的，不满足选择状态变量的要求，因此，在这种情况下，不能选择，y，Ly&,)1(ny作为状态

44、变量。（1）解决方法一 选取系统的状态变量为 (2.46)uhuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhuhyuhxxuhuhyuhxxuhyxnnnnnnnnnnnnnnn12)2(1)1(0)1(112)3(1)2(0)2(2212102231011201=&L&L&M&其中，是n个待定系数。整理上式可得 0h1h,L1nh (2.47)uhxxuhxxuhxxnnn11232121+=+=+=&M&对式(2.46)中最后一式求导，得 (2.48)uhuhuhyxnnnnn&L&1)1(1)(0)(=由微分方程(2.45)得 ububububyayayaynnnnnnn01)1(

45、1)(01)1(1)(+=&L&L (2.49)ubububuhauhuhauhuhaxaxaxaububububuhxauhuhxannnnnnnnnnnnnnnnnnnn01)(002)2(021)1(011012101)1(1)(0101)1(01)()()()(+=+=&LMLLL&LLL将(2.49)代入(2.48)得 (2.50)uhahahabuhahahahbuhahahbuhahbuhbxaxaxaxaxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn)()()()()(002211001322111)2(021122)1(0111)(01122110+=L&LML&选择待定系

46、数，选择待定系数，L使中输入信号的各阶导数项的系数均为零使中输入信号的各阶导数项的系数均为零，即 0h1h,1nhnx&(2.51)=00000132211102112201110hahahahbhahahbhahbhbnnnnnnnnnnnLM且令中输入项的系数为且令中输入项的系数为，即 nx&nh 0022110hahahabhnnnnn=L (2.52)则 uhxaxaxaxaxnnnnnn+=1122110L&(2.53)联立(2.47)、(2.53)即为状态方程 联立(2.47)、(2.53)即为状态方程 (2.54)+=+=+=+=uhxaxaxaxaxuhxxuhxxuhxxnn

47、nnnnnnn112211011232121L&M&表达为矩阵形式 (2.55a)uhhhhxaaaaxnnn+=1211210100001000010MLLOLLL&输出方程为 uhxuhxy001001+=+=L (2.55b)其中,，由式(2.51)和(2.52)确定其中,，由式(2.51)和(2.52)确定，可写成如下便于记忆的矩阵形式 0h1h,Lnh （2.56a）=+=+=+=+=011220011210122110211010bhhahahabhhahabhhahabhhabhnnnnnnnnnnnnnnLLM则 （2.56b）=012112101210321121111110

48、bbbbbhhhhhaaaaaaaaaannnnnnnnnMMLLOL因此有 （2.57）=0121112103211211210111110bbbbbaaaaaaaaaahhhhhnnnnnnnnnMLLOLM 从式（2.56）可见，当01=nbbL，bb=0时可得010=nhhL，代入式(2.55)可得式(2.44)，就是前面讨论的微分方程不含有输入导数项的情况。bhn=例 2.11 uuuyyy+=+&489 解 由式（2.57）得 =385101410197358501973001900011410198001980019000113210hhhh取状态变量为 yuhyx=01 uxu

49、hxxuxuhxx522231112+=&由式(2.55a)得系统的状态方程描述为 uxxxxxx+=3851980100010321321&=321001xxxy（2）解决方法二 这种方法的思路是基于方框图变换，与微分方程(2.45)等效的方框图如图（2.8a），等图2.8 传递函数的串联分解)(sU01110111asasasbsbsbsbnnnnnnn+LL)(sY)(sU01111asasasnnn+L)(sZ0111bsbsbsbnnnn+L)(sY(a)(b)效变换为图（2.8b）。引入中间变量 z，则微分方程(2.45)可以化成下面两个方程表示 （2.58a）uzazazaznn

50、n=+01)1(1)(&L （2.58b）zbzbzbzbynnnn01)1(1)(+=&L取状态变量为 ，zx=1zx&=2zx&=3，)1(,=nnzxL则 uzazazazxnnnn+=01)1(1)(&L&uxaxaxann+=12110L 所以，状态方程为 +=uxaxaxaxxxxxxxnnnnn1211013221L&M&或 (2.59a)uxaaaaxn+=100010001001012100MLLOL&由式(2.58)得输出方程为 )(1211012110uxaxaxabxbxbxbynnnnn+=LL ubxaaabxbbbnnnn+=110110LL (2.59b)一般，