理论力学第三章_[兼容模式].pdf

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1、第三章第三章第三章第三章 刚体力学刚体力学刚体力学刚体力学第三章第三章第三章第三章 刚体力学刚体力学刚体力学刚体力学3 1刚体力学刚体力学3.1刚体力学刚体力学一、刚体：一、刚体：1.刚体是质点组，故质点组的所有定律对刚体适用；2.在运动过程中，刚体上任意两点间距离不变；3.在运动过程中，刚体的形状和大小不变。二二刚体的自由度刚体的自由度AB二二、刚体的自由度刚体的自由度：1、运动中有六个自由度：、运动中有六个自由度：BC一个质点需三个独立变量来确定其位置。而确定刚体的位置需要确定刚体内不共线的三点A、B、C故有九个自由度但其中任两个点之间距离一定故可去掉三个故有九个自由度，但其中任两个点之间

2、距离一定，故可去掉三个。2、三个移动自由度（xc、yc、zc）三个转动自由度（）三个转动自由度（、）三、刚体运动的分类：三、刚体运动的分类：1、平动：刚体上任意一直线在运动过程中保持和它自己平行取质心运动代表刚体平动3个平移自由度个平移自由度2、绕定轴转动：运动时，刚体中两质点始终不动，整个刚体绕这两质点决定的直线转动。1个自由度个自由度3、绕定点转动：运动时，刚体中一点固定不动，整个刚体绕着通过这点的某一瞬时轴线转动。3 3个转动自由度个转动自由度3 3个转动自由度个转动自由度4、平面平行运动：运动中，刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的平面内运动。3个自由度个自由度1个转动个转动2个平

3、动个平动3个自由度个自由度，1个转动个转动，2个平动个平动即某一平面内任意一点的平动，及绕通过此点且垂直于固定平面的固定轴的转动。固定平面的固定轴的转动。5、一般运动：不受任何约束的任意运动。6个自由度个自由度即质心的平动（3个平移自由度），与绕通过质心的某直线的定点转动（3个转动自由度）。特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速度。3 2 角速度矢量角速度矢量：3.2 角速度矢量角速度矢量：一、有限转动与无限小转动：一、有限转动与无限小转动：1、有限转动：、有限转动：量来表示有限运动不能

4、用矢标律，即不遵守矢量的对易刚体中ABBA量来表示有限运动不能用矢、标2、无限小转动：、无限小转动：，在转动轴上截取，度的某轴线转动一微小角刚体绕通过定点nO：角位移则，用右手螺旋法则决定令在转动轴截取nnzn所在的平面与是无限小量，且：角位移则nrrrnznOrrrP为其转动前位矢对任意一点PrrrrP转动后位矢为为其转动前位矢，对任意一点xyOrrrsinrPOrr为无限小量xysinnrrnr易性矢量必须具有加法可对为矢量以下证明 n转动点的轴线作两次微小的令刚体先后绕通过nnO,转动点的轴线作两次微小的令刚体先后绕通过rnrnrnrrnrrP点的位矢为：rnrnrnrrnrrP,点的位

5、矢为：成线位移：若略去二阶小量，则合成线位移：若略去二阶小量，则合rrrnrnrnrnrnrn 先则若 1rnnrnrnrrnrnrnrn 先，则若 2rnnrnrnrn先，则若略去二阶小量 化为化为则 rrrrrr化为：化为：则21线位移可对易即rrrr线位移可对易，即 nnnn即21 nnnn即21为一矢量角位移 n为矢量角位移 n二、角速度矢量：二、角速度矢量：点转动的角速度绕刚体在瞬时Otdtndtnt0lim符合右手螺旋dttt0符合右手螺旋的关系与角速度刚体内一点的线速度vrnrdtnddtrdv而,dtdtrdtrdvdt有关）与度（：刚体内某一点的线速：整个刚体共有rv有关）与

6、度（：刚体内某点的线速：整个刚体共有v3 3 欧拉角欧拉角3.3 欧拉角欧拉角一、欧拉角一、欧拉角描述刚体定点转动独立变量为3,那么选取怎样的三个独立坐标？描述刚体定点转动独立变量为3,那么选取怎样的三个独立坐标？当刚体做定点转动时，可将定点作为坐标系的原点，用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这个轴线所转过当刚体做定点转动时，可将定点作为坐标系的原点，用三个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这个轴线所转过的角度的角度这三个能够独立变化的角度叫做这三个能够独立变化的角度叫做欧拉角欧拉角右手正交坐标系的角度的角度。这三个能够独立变化的角度叫做这三个能够独立变化的角度叫做欧拉角

7、欧拉角。右手正交坐标系：O-固定在空间不动O-xyz 固定在刚体上，随刚体一起转动O xy 固定在刚体上，随刚体起转动z 轴是上述动坐标系中的瞬时转动轴的位置相对于可确定、利用欧拉角OxyzO轴转先绕OOzONOxO，：轴转先绕)1ON与O之间夹角：，进动角进动角xOy面与O面交于ON-节线ONOxON，角：轴转绕）2O与Oz之间夹角：章动角章动角OzOO 与Oz之间夹角：，章动角章动角角轴转绕）O3ON与Ox之间夹角：自转角自转角角轴转绕）Oz3ON与Ox之间夹角：，自转角自转角zyxzyxzyxxyz 变化范围：20200,欧拉角的优点：简明单值地确定刚体地位置简明、单值地确定刚体地位置三

8、个角度变化相互独立因此：刚体瞬时角速度：二、欧拉运动学方程：二、欧拉运动学方程：1、绕通过定点O的某一轴线以角速度 转动，则 tkttjttittzyx则的矢量和轴的角速度及绕轴的角速度，绕轴的角速度是绕亦：OzONO则的矢量和轴的角速度及绕,Ozcossinsinsincossincossinsinyx欧拉运动学方程欧拉运动学方程cosz3.4 刚体运动方程与平衡方程刚体运动方程与平衡方程一、力系的简化：一、力系的简化：1、力的平衡：、力的平衡：两个力，大小相等，方向相反，作用于同一直线上。2、力的可传性：、力的可传性：只适用于刚体，即作用在刚体上的力所产生的力学效果全靠力的量值与作用线的生

9、的力学效果，全靠力的量值与作用线的位置与方向，而与力的作用点在作用线上的位置无关力为滑移矢量可沿其作用FFF的位置无关。力为滑移矢量，可沿其作用线向前或向后移动而其作用效果不变。AB力是滑移矢量力可沿作用线移动，不能随意移动3、力偶及其简化、力偶及其简化力偶：大小相等、方向相反，不作用在一直线上的两个力FrFF1r2rrF力偶有转动效应，无平动效应力偶有转动效应，无平动效应力偶矩FrFrM21222112FrFrrFrFrM2122方向：永远垂直于力偶的作用面方向：永远垂直于力偶的作用面大小：与O点无关。因此：力偶矩是一自由矢量，可以平行于自身任意移动位置不影响其效应自身任意移动位置，不影响其

10、效应。4、力的合成：、力的合成：1）两个共点力的合成：可用平行四边形定律2）共面的任意两个非平行力：可用力的可传性原理，将其汇交于一点，再用平行四边形定律求和四边形定律求和。3）平行力的求和：合力的量值与方向量值与方向由代数和确定，其3）平行力的求和：合力的量值与方向量值与方向由代数和确定，其作用线由力矩关系确定，即合力对垂直于诸力的某轴线的力矩应与诸分力2F对同一轴线力矩的代数和相等。合力的力学效果力学效果由力偶矩表示。BO2O1Pr1FA即力偶，但不在一条直线上，令FFF21021 FF内任一点所在的平面、为力偶面21FFP的总力矩量值为：对与则PFF21211122OOFPOFPOFAB

11、rFrM力偶矩：4）空间中即不平行又不相交的力：利用力的作用线的迁移OAF为空间任意一点。，作用于令ooFFO、上的力点添两个作用于一直线在FFFFFoooo0组成的力偶与、点的力转化成过则力ooFFFOF组成的力偶与oFF所有的力移至O点的效果：主矢：力的矢量和主矢：力的矢量和主矢iiFF主矩主矩：力偶矩的矢量和主矩：力偶矩的矢量和主矩iiioFrM主矢使刚体平动状态发生变化主矩使刚体转动状态发生变化主矩使刚体转动状态发生变化二、刚体运动微分方程二、刚体运动微分方程1、质点的平移质点的平移：rmF 质点的平移质点的平移rmF2、质量为、质量为m的刚体质心的刚体质心C的运动方程的运动方程nd2

12、xcFxM nieicFFdtrdM1)(22 ycFzMFyM zcFzM量和，即主矢为作用在刚体上外力矢为质心加速度，FrC 由质点组方程由质点组方程刚体在动坐标系刚体在动坐标系中的相对中的相对3、由质点组方程由质点组方程，刚体在动坐标系刚体在动坐标系S中的相对中的相对运动对质心运动对质心C的总动量矩的总动量矩J 对时间的微商：对时间的微商：xxMdJdMMdtJdiyyxMJddtdtizyMJddt矩。的力矩的矢量和，即主为诸外力对质心其中CMzMdt nieiiFrM1i 1利用（*）和（*）六个独立的方程，确定刚体的运动状态。刚体内力所作元功之和为零刚体内力所作元功之和为零故刚体动

13、能的故刚体动能的4、刚体内力所作元功之和为零刚体内力所作元功之和为零，故刚体动能的故刚体动能的微分等于刚体在运动过程中诸外力所作元功之和。微分等于刚体在运动过程中诸外力所作元功之和。即即 nerdFdT即即 iiirdFdT1若为保守力系则能量积分：若为保守力系，则能量积分：T+V=E三、刚体平衡方程三、刚体平衡方程刚体平衡条件：主矢=0，主矩=0，即0F0M 0 xF 0 xM分量形式：00yFF00zyMM 0zFz即刚体平衡时即刚体平衡时诸外力在每诸外力在每一一坐标轴上投影之和坐标轴上投影之和即刚体平衡时即刚体平衡时，诸外力在每坐标轴上投影之和诸外力在每坐标轴上投影之和为零，诸外力对每一

14、坐标轴的力矩之和亦为零。为零，诸外力对每一坐标轴的力矩之和亦为零。对于共面力系，设诸力均位于xy平面内，则平衡方程为：对于共面力系设诸力均位于y平面内则平衡方程为0,0,0zyxMFF即若一刚体在共面力系作用下处于平衡状态，则即若一刚体在共面力系作用下处于平衡状态，则此力系对任何三个不共线的点的主矩应分别等于零。此力系对任何三个不共线的点的主矩应分别等于零。例题木棒P，长2，在粗糙地面上求：木棒与地面的摩擦系数 解：外力：P，N1，N2，f由平衡方程由平衡方程：0 xF0)90cos(01fN00yxF0)90sin(0)90cos(20101PNNfNA点为简化中心：0M0coshNP0zM

15、0sincos10NP002cossin02000cossincossinh3.5 转动惯量转动惯量一、刚体转动的动量矩一、刚体转动的动量矩作定点转动：、以角速度1iiOmP的位矢对定点速度为，质量为任意一质点则P对O点的动量矩iirOv的位矢对定点速度为,vmrJ则Pi对O点的动量矩：iiiivmrJ整个刚体对O点的动量矩iiivmrJ)(iiirmrii)(2iiiirrrmi不共线与即J)1vP总是共线与线速度在平动中，动量/02)2JJJ时即共线，才与惯量主轴上，）在定点转动中，只在/,02JrmJrrmiiiii时，即在O-xyz坐标系2、动量矩解析式：kzjyixriiiikjiz

16、yx jyiiiijzyx)(2iiiirrrmJiiziyixixiiiixzyxxzyxmJ222iziyixixiiiixyyzyxzymJ22izixiyiiiyiziyixiiixzxyzxmJzyxzymJ2222iyixiziiizyxzyxmJ22 iiiixxzymI)(22 iiiizyyzzymIIi iiiiyyzxmI)(22i iiiixzzxxzmIIi iiiizzyxmI)(22i iiiiyxxyyxmII轴转动惯量惯量积iizxzyxyxxxxIIIJzyzyyyxyxyyyIIIJIIIJzzzyzyxzxzIIIJ写成矩阵形式：xxzxyxxxIIIJ

17、yxyzyyyxxzxyxxyxIIIJzzzzyzxzIIIJxzxyxxIIIyzyyyxyIIIIIII其中其中zzzyzxIII二、刚体的转动动能二、刚体的转动动能 niiiniivvmvmT22121对定点对定点O iiiiiii1122 n)(1 iiiirvm1)(2 n1acbcba niiiivmr121 J 212kjizyxkJjJiJJzyxy21zzyyxxJJJT(2122yyyyxxyzxxzyxxyxxxIIIII)222(1222IIIIII)2zyyzzxxzzzzzyyzIIII)222(2222yxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxIIIIII写成矩

18、阵形式 III yxyzyyyxxzxyxxzyxIIIIIIT 21 zzzzyzxIII 2三、定轴转动动能：三、定轴转动动能：PiniiirrmT)()(21Pii 12niiirm222sin21iriiiii12niim221对于定轴转动iiim1221Iiiiirvsin对于定轴转动2I至为自之间的夹角与角速度矢量的位矢为其中PP量。为绕转动瞬轴的转动惯转动瞬轴的垂直距离，至为自之间的夹角，与角速度矢量的位矢为其中IPrPiiiii刚体按一定规律分布的质量，在转动中等效于集中在某一点刚体按一定规律分布的质量，在转动中等效于集中在某一点上的上的一一个质点的质量个质点的质量此质点离某轴

19、线的垂直距离为此质点离某轴线的垂直距离为k刚体对刚体对上的个质点的质量上的个质点的质量，此质点离某轴线的垂直距离为此质点离某轴线的垂直距离为k，刚体对刚体对该轴线的转动惯量与该等效质量对此同一轴线的转动惯量相等。该轴线的转动惯量与该等效质量对此同一轴线的转动惯量相等。即即22mkmIii即即k：回转半径I为绕转动瞬轴的转动惯量，是转动时物体的一个属性，代表物体在转动时惯性的度量，相当与平动时的质量。平行轴定理：平行轴定理：对两条平行轴，若其中一条通过物体的质心，则物体对两条平行轴，若其中一条通过物体的质心，则物体对某一轴线的转动惯量，等于对通过质心的平行轴的转动对某一轴线的转动惯量，等于对通过

20、质心的平行轴的转动惯量惯量，加加上上物体的质量与两轴间垂物体的质量与两轴间垂直距直距离平方的乘积离平方的乘积，即即：惯量惯量加物体的质量与两轴间垂离平方的乘积加物体的质量与两轴间垂离平方的乘积即即2 2mdIIC其中其中I是对某轴线的转动惯量，是对某轴线的转动惯量，IC为对通为对通过质心并与上述轴线平行的轴线的转动惯量过质心并与上述轴线平行的轴线的转动惯量，d过质心并与上述轴线平行的轴线的转动惯量过质心并与上述轴线平行的轴线的转动惯量，d为两平行轴线间的垂直距离。为两平行轴线间的垂直距离。d四、惯量椭球四、惯量椭球1、坐标轴固定在刚体上：、坐标轴固定在刚体上：对质量均匀连续分布或按一定规律分布

21、，且形状规则的刚体，有以下关系：12222)(CdmzyzymIiiixx4CxydmIIyxxy22222)(CdmxzxzmIiiiyy22225CyzdmIIzyyzCdII32222)(CdmyxyxmIiiizz6CxzdmIIxzzx惯量积惯量积刚体对刚体对x、y、z轴的轴转动惯量轴的轴转动惯量惯量积惯量积2.任意轴线转动惯量任意轴线转动惯量212IT)222(21222zxxyxzzxzyyzzzzyyyxxxIIIIII222222222zxxzzyyzyxxyzzzyyyxxxIIIIIII222xzyzxyzzyyxxyxkjizyxzyxkji,坐标轴的方向余弦。为任一转

22、动瞬轴相对于、xyzxyzzzyyxxIIIIIII222222。再计算、及惯量积、轴的轴转动惯量、绕坐标系中点的可以先计算过点任意轴的转动惯量，通过IIIIIIzyxxyzOOO令I1则到该轴的转动惯量。上的方向余弦，最终得、其它轴在。再计算、及惯量积、轴的轴转动惯量、绕zyxIIIIIIzyxzxyzxyzzyyxx1222222IIIxIyIxI令I=1，则1222xyzxyzzzyyxxIIIxIyIxI即中心在O点的椭球曲面方程。建立主轴坐标系，方程可变为：即中心在O点的椭球曲面方程。建立主轴坐标系，方程可变为：1222xIyIxIzzyyxx叫惯量主轴。、，此时zyxIIIIIIz

23、yxzyxzxyzxy0kIjIiIJ1kIjIiIJzyx321)(21232221zyxIIIT)(2321zyx321,III就是O点上的主转动惯量。0zyxzyxzxyzxyIIIIII几种典型形状刚体的转动惯量计算1)均匀细棒a)转轴过中心与杆垂直22221ddlmIldmz2222212ddmlxlmxmrIldxxob)转轴过棒一端与棒垂直2221ddmlxmxmrIldmz03ddmlxlxmrIxodx另解：应用平行轴定理，同样可得2222312121mllmmlIIIdc2)均匀细园环转轴过圆心与环面垂直zdmmlmdd Rm 2 Ro2222R22022ddRmlRmRI

24、R如图 圆环质量半径R短棒质量长mm如图,圆环质量,半径R，短棒质量，长度d，求对x轴的转动惯量1mx2mdx圆环转轴通过直径的转动惯量有解：d212121RmIIIzyx1根据平行轴定理，圆环对转轴x的转动惯量为222121121dRmRmI因此整个元件对 轴的转动惯量为22211dRmRmdmI因此，整个元件对x轴的转动惯量为11223dRmRmdmI几几种常常见刚体体的转转动动惯量量6、刚体的平动与绕定轴转动、刚体的平动与绕定轴转动一、平动：一、平动：刚体运动时，各个时刻刚体中任意一条直线始终刚体运动时，各个时刻刚体中任意一条直线始终彼此平行。彼此平行。平动不一定是直线运动平动不一定是直

25、线运动刚体平动时，刚体内所有的点都刚体平动时，刚体内所有的点都有相同的速度和加速度有相同的速度和加速度任何任何有相同的速度和加速度有相同的速度和加速度，任何任何一点的运动都可代表全体。一点的运动都可代表全体。二、定轴转动：二、定轴转动：1、运动学：、运动学：为轴与此平面的交点以平面内做圆周运动，而亦即在平行与轴的平面内，都在垂直于点轴转动时，其上任何一刚体绕固定轴iOzxyzPz，则任意点的线速度为运动即可。平面相平行的平面内的与圆心。故只要考虑任一ivxyziiiiiirRvrvsin,OiRiPiviiiiiiyOiri轴转动的角速度。为刚体绕其中zxyO为的切向分量和法向分量其量值则可变

26、加速度的转动轴。的方向不变，恒沿固定在定轴转动中，为：的切向分量和法向分量其量值则可变，加速度iiiiRRva切向：iiiiiniiiivRRva22法向：i转动轴。相同或相反，沿同一条为角加速度，与其中转动轴。相同或相反，沿同条为角加速度，与其中00ia，即的量值也不变，则若i即的值不变则若2、动力学：、动力学：转动作用下绕固定轴、设刚体在主动力FFFn 21zMdJ理：则按固定轴的动量矩定转动，作用下，绕固定轴zzzMdtdJIIIJzyzyyyxyxyzxzyxyxxxxIIIJIIIJIIIJIIJ0又zzzyzyxzxzIIIJzzzzzzzyxIIJ,0又iiizzzzzzzzzz

27、yxmIIIdtIdM对刚体：22zzzzMdtIddt对非刚体：能刚体绕固定轴的转动动dt能：刚体绕固定轴的转动动21221zzIT 为外力的势能，则故当外力为保守力，V21EVIzz221三、轴上的附加压力：三、轴上的附加压力：zNB刚体绕定轴转动，可看作是空ByNBxN1F3FB间两点A、B保持不动时刚体的运动，即可去掉约束代以约束反力。同时用动量定理和动量矩定理来确定运动规OiR2F动量定理和动量矩定理来确定运动规律和作用在A、B两点上的约束反力。ynF2AzNNiFF矢：主xAAyNAxNBAiNNMM、约束反力：矩：主AzAyAxNNBNNNA:,:BAByBxNNB,:BAiCN

28、NFrmBAiC常数又iiiiizRyRxsincossiniiiRyRx22iiixyyyxx 0cosiiiizxRy0iiiizxyy z2xBxAxCCNNFyxmByNBxN1F3FB02zAzyByAyCCxxxCCNFNNFxymOiRFzAz是质心的坐标其中yxyF2FAzN是质心的坐标、其中CCyxxynFAAyNAxN2、动量矩定理：、动量矩定理：zN由质点的动量矩定理：由质点的动量矩定理：ByNBxN1F3FByzdzFyFyzzymdtdOiRFzxyFxFxyyxmdxFzFzxxzmdtdynF2FAzNNxyyFxFxyyxmdt则对则对A点的动量矩点的动量矩xn

29、AAyNAxN则对则对 点的动量矩点的动量矩niByixyziiiiiNABMzFyFyzzymdtd1nniBxiyzxiiiiiidNABMxFzFzxxzmdtd11niizxyiiiiiMyFxFxyyxmdtd1zByNBxN1F3FBnByixyziiiiiNABMzFyFyzzymddOiRFnniBxiyzxiiiiiiyixyziiiiidNABMxFzFzxxzmdtdyyydt11yF2FAzNNniizxyiiiiiMyFxFxyyxmdtd1xynFAAyNAxNByxyzzxiiiiiiilNMIIlNMIIxyzmyzm 222zzzBxyxzyzMIlNMII合

30、力矩为主动力对三坐标轴的、其中zyxMMM22xBxAxCCNNFyxm02zAzyByAyCCNFNNFxymByxyzzxiiiiiiilNMIIlNMIIxyzmyzm 222zzzBxyxzyzMIlNMII20,000动力反作用力静力反作用力0,0静力反作用力02CCyx0CCyx02CCxy02yzzxII刚体达到动平衡yzzx02xzyzII7 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动1、平面平行运动运动学：、平面平行运动运动学：刚体做平面平行运动时，刚体中Av任何一点都始终在平行于某一固定平面的平面内运动。LB L故只须研究刚体中任一和固定平面平行的截面的运动就可以了ABAB纯平动

31、+转动纯平动+转动AvLB LABABvyxP。则薄片上转动的角速度为绕薄片。此时度为为基点，某一时刻其速令ALvAAyy yxyx,的速度为：任一点。则薄片上转动的角速度为绕薄片PALAxrr)(0rrrAAzz00,yxA0r的位矢对固定坐标系原点为的位矢对为其中OPAPxzo转动的速度。绕是的位矢，对为基点而的位矢，对固定坐标系原点为的位矢，对为其中APrOArOPrAPr0而言，坐标为面上的坐标系点相对于固着在固定平设xyOP。，为对，而，而言，其坐标为标系并随薄片一同运动的坐，相对于固着在薄片上，而言，坐标为面上的坐标系点相对于固着在固定平设yxxyOAyxyxAyxxyOP，则垂直

32、于固定平面或薄片。，为对，而，而言，其坐标为00yxxyOAyxyxAPyy yxyxP,0()xAxvvyyxrr0()yAyvvxxz00,yxAx0ryAxxxzo0 xAyy而P点的加速度为：dtrdrdtddtdaA)(ddtdtdt)(rrdtaA2)()(rrr而0 r0r2d2 r rdtdaaA200)rr()rr(dtdaAdt其中第一项是A点的加速度，第二项为相对切向加速度，第三项为相对向心加速度。2、转动瞬转动瞬心心转动瞬转动瞬作平面运动之刚体的角速度不为零时，在任一时刻刚体上恒有一点速度为零转动瞬心常以C表之上恒有一点，速度为零转动瞬心，常以C表之。相对于O-xy系，

33、令则0()0()0 xAxyyxx0/cAyxx0()0yAyxx0/cAxyy0Ayv0yAxx0 x则AxAycvyx0 xAyycy转动瞬心C在固定平面上（O-xy）所描绘的轨迹叫空间极迹极迹。转动瞬心C在薄片上（A-xy）所描绘的轨迹叫本体极迹迹。3、平面平行运动动力学、平面平行运动动力学y yy 在运动学中，基点可以任意选取。Cx 在动力学中，通常选质心为基点，利用质心运动定理和相对于质心xCrCx的动量矩定理来求平面平行运动的动力学方程。xo质心运动方程：CxymFxmF CyymF刚体绕z轴的动力学方程为：zzzzzIIM 当作用于刚体上的外力只有保守力作功时，由机械能守恒律知：

34、11能守恒律，知：221122zzCmvIVE其中V为势能E为总能量其中V为势能，E为总能量。4、滚动摩擦、滚动摩擦由于圆柱体与地面接触处的形变所引起的，由于圆柱体与面接触处的形变所引起的远小于滑动摩擦。滚动摩擦力矩：MNkk：滚动摩擦系数。k：滚动摩擦系数。8、绕固定点的转动8、绕固定点的转动一一.定点转动运动学：定点转动运动学：刚体转动时如果刚体内只有点始终不动特点转轴在空间任意向刚体转动时，如果刚体内只有一点始终不动，则为定点转动定点转动。如回转罗盘，陀螺等。特点：转轴在空间可以任意取向当刚体做定点转动时，可将定点作为坐标系的原点，用三个当刚体做定点转动时，可将定点作为坐标系的原点，用三

35、个独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这个轴线所转过的角度。这三个能够独立变化的角度叫做独立的角度来确定转动轴在空间的取向和刚体绕这个轴线所转过的角度。这三个能够独立变化的角度叫做欧拉角欧拉角。sincossincossinsinxcossincossinzy2、瞬时转动轴线、瞬时转动轴线定点转动和定轴转动不同。定点转动定点转动三度空间的问题角速度的大小取向变化定点转动定点转动：三度空间的问题，角速度的大小、取向变化；定轴转动定轴转动：角速度的取向恒沿固定的转动轴。转动瞬轴转动瞬轴：某一瞬时角速度的取向，转动瞬轴转动瞬轴转动瞬轴：某瞬时角速度的取向，即该时刻的转动轴。空间极面：空间极面：

36、转动瞬轴在空间描绘一个顶z点在O的锥面。本体极面：本体极面：转动瞬轴在刚体内描绘一个顶点在O的锥面本体极面空间极面顶点在O的锥面。本体极面3、刚体刚体上上任任意意点的速度及加速度点的速度及加速度刚体任点的速度及加速度刚体任点的速度及加速度的转动瞬轴，其取向沿该时刻刚体角速度为OMR为：的线速度此时刚体内任一点。的转动瞬轴vPOMPrMrdtrdv为变量此时Odt是时间的矢量函数。是一样的，任一瞬时，角速度点的线加速度：Pddvd2)()(rrrdtdrrdtddtvda2)()(ddvd2)()(rrrdtdrrdtddtvda2)()(其中vr)(为向轴加速度与质点到转动瞬轴的垂线相合。rd

37、为转动加速度rdt为转动加速度。4、刚体刚体一一般般运运动动刚体般动刚体般动随基点A的平动及绕基点A的转动。任一点P的速度及加速度：d rAd)r(rdtdaaA r)r(rdtdaA2的位矢相对于基点为任一点APr二、欧拉动力学方程：二、欧拉动力学方程：（绕定点转动）（绕定点转动）程：转动时，其动力学动方以角速度刚体绕定点OMJd Mdt转动时的动量矩为刚体绕定点其中OJ点的主矩。为诸外力对转动时的动量矩，为刚体绕定点其中OMOJ1.选选O点上的惯量主轴为点上的惯量主轴为O-xyz坐标系。坐标系。0zxyzxyIIIxzxzyxyxxxxIIIIJ1同理：yyIJ2zzIJ3Ii为常数kIj

38、IiIJzyx321kIjIiIJzyx321kJjJiJdJd)(kJkJJJJJkJjJiJdtdtzyx)(JkJjJiJkJkJjJjJiJiJzyyxxzJkJjJiJzyx即从固定坐标系来观测矢量对时间的微商，反映了固定坐标系中看到的矢量的时间变化率。J J3、欧拉动力学方程式、欧拉动力学方程式kIjIiIJzyx321jykjizyxkMjMiMMzyxkjiyjkzyxkjiJzyxIII321yxzxzyIIkIIjIIi)()()(123123)()(3123yzxxzyJIIjJIIidtJd)(12zyxJIIk 得刚体绕定点转动的动力学方程，即欧拉动力学方程：zyxx

39、IIIM)(321xzyyzyxxIIIMIIIM)()()(132321yxzzIIIM)(2131 动坐标系固着在刚体上，故都是常数。zxyzxyzzyyxxIIIIII,两个条件：两个条件：2取用O点上的惯量主轴为动坐标系的坐标轴，从而消去惯量积。zxyzxyIII,cossinsinx欧拉运动学方程：sincossincossinsinyx cosz三个欧拉动力学方程和三个运动学方程合并起来，得到六个非线性常微分方程。消去其中的。得到对欧拉 角个zyx,的三个二阶的常微分方程，从而得出欧拉角和时间t的关系。确定刚体的运动情况。,三、机械能守恒律三、机械能守恒律当作用在刚体上的外力只有保

40、守力做功。动能T和势能V当作用在刚体的外力只有保守力做功动能 和势能之和总能量为一常数，即机械能守恒律。即：1222EVIIIzyx)(21222321例例磨盘半径为磨盘半径为r，它随长为，它随长为R的水的水平轴绕过点平轴绕过点 的垂直轴旋转的垂直轴旋转平轴绕过点平轴绕过点O的垂直轴旋转的垂直轴旋转。磨盘的圆心。磨盘的圆心C以速度以速度v作匀速圆作匀速圆周运动周运动磨盘在平台上作纯滚磨盘在平台上作纯滚OQ周运动周运动。磨盘在平台上作纯滚磨盘在平台上作纯滚动动OCv3rR v求磨盘的角速度与磨盘上点求磨盘的角速度与磨盘上点Q的速度的速度解磨盘绕磨盘绕O作定点运动作定点运动解Q磨盘绕磨盘绕O作定点运动作定点运动磨盘在平台上作纯滚动，磨盘上给定点磨盘在平台上作纯滚动，磨盘上给定点P的绝对速度为零的绝对速度为零OC磨盘的角速度矢量方向磨盘的角速度矢量方向已已知知瞬轴瞬轴OPp v磨盘的角速度矢量方向知磨盘的角速度矢量方向知6/3/arctanrr2/3sinrRhCvPQ2/3sinrRhCCChvp2/3rvQOC3/2rv32rhhhQh磨盘的角速度磨盘的角速度P32rhhCQvhvQQ2Ch磨盘上点磨盘上点Q的速度的速度