数值分析 第五版 李庆扬 第二章 插值.pdf

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1、江西理工大学理学院江西理工大学理学院 学而时习之 不亦说乎 插值条件使被插函数近似代替插值函数用简单函数望希)()(,)()(:iixpxfxfxp 第二章第二章 插值法插值法 引言引言:).2.1.0(.),(,)(:.1nixfyxfyii或导数值数据只知离散存在实际中问题提出叫截断误差或余项叫插值结点)()()(,),1,0(xpxfxRnixi 这样，对于函数这样，对于函数 在区间在区间a,ba,b上的各种计算，上的各种计算，就用对插值函数就用对插值函数 的计算取而代之。的计算取而代之。构造插值函数需要关心下列问题：构造插值函数需要关心下列问题：)(xp)(xf（1 1）插值函数是否存

2、在；）插值函数是否存在；（2 2）插值函数是否惟一；）插值函数是否惟一；（3 3）如何表示插值函数；）如何表示插值函数；由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常用代数多项式作为插值函数。故常用代数多项式作为插值函数。（4 4）如何估计被插函数）如何估计被插函数 与插值函数与插值函数 的误差。的误差。)(xp)(xf.)(),.,2,1,0()()(1:1.2 .2存在且唯一的多项式的次数不超过处满足插值条件互异个在定理性插值多项式的存在唯一xpnnkxfxpxnnkknk)(.)(.)(.:.)(:10111100001010nnnnnnnnnnnn

3、xfxaxaaxfxaxaaxfxaxaaxaxaaxp 代入插值条件得代入插值条件得设设证证.,0)(111 :001100存在且唯一该方程组解互异时当法则知故由其系数行列式nnijjinnnnnxxCrammerxxxxxxxx 在实际实用中，人们不采用待定系数法，因为：在实际实用中，人们不采用待定系数法，因为：(1)计算复杂；计算复杂；(2)不容易计算误差不容易计算误差。2.1 Lagrange插值插值 一、先讨论最简单情形，只有两个节点一、先讨论最简单情形，只有两个节点 ，的的插值多项式插值多项式 设插值多项式为设插值多项式为 ，且满足插，且满足插值条件值条件 解上述方程组得解上述方程

4、组得 0 x1xxaaxL101)()()(0001001xfyxaaxL)()(1111011xfyxaaxL1010010 xxxyxya10101xxyya将将 代入插值多项式得：代入插值多项式得：10,aa0101101010101010011)(xxxxyxxxxyxxxyyxxxyxyxL01011010)(,)(xxxxxlxxxxxl令：令：)()()(11001xlyxlyxL即有：即有：则：则：)(1xL)(0 xl)(1xl是是 和和 的线性组合。的线性组合。),(),(),(221100yxyxyx22102)(xaxaaxL二、抛物线插值（二次插值）二、抛物线插值（二

5、次插值）已知函数的三个点已知函数的三个点 设插值多项式为设插值多项式为 L L1 1(x)(x)是过两点（是过两点（x x0 0,y y0 0），），(x x1 1,y y1 1)的直线，从几何上看就的直线，从几何上看就是过（是过（x x0 0,y y0 0），），(x x1 1,y y1 1)两点的直线两点的直线p p1 1(x)(x)来近似代替来近似代替f f(x),(x),这这种插值称为线性插值。种插值称为线性插值。l l0 0(x),l(x),l1 1(x)(x)称为线性插值基函数。称为线性插值基函数。显然，显然，满足：满足：1 i=j1 i=j 0 i j (i=0,1 j=0,1)

6、0 i j (i=0,1 j=0,1)(),(10 xlxl)(jixl且满足插值条件且满足插值条件 222221021212110202020102)()()(yxaxaaxLyxaxaaxLyxaxaaxL)()()()()()()(1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL0a1a2a)(2xL解上述方程组解上述方程组,求出求出 ,并代入并代入 整理后可得整理后可得 )()()(2010210 xxxxxxxxxl令令 显然，二次插值多项式可以写成显然，二次插值多项式可以写成 ，的线性组合的线性组合。即即 )()()(21012

7、01xxxxxxxxxl)()()(1202102xxxxxxxxxl)(0 xl)(1xl)(2xl2211002)()()()(yxlyxlyxlxL)(),(),(210 xlxlxl并且并且:满足条件满足条件:1 i=j 0 ij (i=0,1,2,j=0,1,2)j (i=0,1,2,j=0,1,2)则称之为二次插值的基函数则称之为二次插值的基函数。从几何上看从几何上看，二次插值就是用过三点二次插值就是用过三点 ，的抛物线来近似代替曲线的抛物线来近似代替曲线 。因。因此此三点二次插值又称为抛物线插值。三点二次插值又称为抛物线插值。)(jixl)(),(),(210 xlxlxl),(

8、00yx),(),(2211yxyx)(xf三三、n+1n+1个结点的插值函数个结点的插值函数 ikxnnkxlnn 1).2.1.0()(1:2.1)1(个结点在次多项式个若定义 )()()()()()()(01(110110)nkkkkkknkkkikxxxxxxxxxxxxxxxxxlkikixl然：显则称其为插值基函数。当当上满足(2)n+1(2)n+1个结点的个结点的LagrangeLagrange插值多项式插值多项式 的线性组合。且为基函数满足插值条件 10 00 1100,n),0,1,2,(i )()(0 )1.1.2()()()()(niinnijjjijniiiinnnll

9、lxLxxxxynilyyxlyxlyxlxLy四四、插值余项与误差估计、插值余项与误差估计：且有关与其中且为插值多项式的余项定义,)(:)2.1.2()(!1)()()()(,)()(:011)1(baxxxxnfxLxfxRxLxfRniinnnnnnn为零。显然在引入xxxxxtxtxtxktLtftnnn,1010,),()()()()()()(故设因证明：)3.1.2()()()(,)n,1,0i(0)(0nninxxxxxkxRxR0)!1()()(0)(),()()1()1(0nxkfxxRollennn，即使有反复使用定理由)(max,)()!1()(R 3.1.2)!1()(

10、)()1(01)1(xfxxxMxnMxnfxknnnn误差限）即得，代入（故为零。显然在引入xxxxxtxtxtxktLtftnnn,1010,),()()()()()()(故设因证明：)3.1.2()()()(,)n,1,0i(0)(0nninxxxxxkxRxR当当n=1时，线性插值的余项为时，线性插值的余项为,)()(21)()(!21)(1010 2 1xxxxxxfxfxR当当n=2n=2时，抛物插值的余项为时，抛物插值的余项为 ,)()()(!31)(20210 2xxxxxxxxfxR五、五、Lagrange算法算法:step1:输入插值节点数输入插值节点数n,插值点序列插值点

11、序列(xi,yi),i=0,1,n,待计算的函数点待计算的函数点x;step2:for i=0 to n 2.1 for j=0 to n /*对于给定的对于给定的x计算基函数计算基函数li(x)*/if(j!=i)temp=temp*(x-xj)/(xi-xj);2.2 fx=fx+temp*yi;step3:输出输出Ln(x)的计算结果的计算结果.;);/()(;)();0(;0.1);0(;,0.0;,int)int,(/*/*/*/*:sumreturntempkysumjxxkxxjxxxtempcontiniekjifjnjjfortempknkkfortempsumdoublej

12、knydoublexxdoublexdoublelagrangedouble，nxyxx为插值节点的个数为指定的插值点与对应的函数值的数组分别指向存放插值节点和具体应用程序一差商一差商 阶差商。的在为一般的二阶差商在为的一阶差商在为的一阶差商（均差）在为kxxfxxxxfxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxxfxxfxxxfxfxxfxxfxxxfxfxxfkkkkk,.,.,)()(,)()(,0010211021002102121021121221100101102.2 Newton2.2 Newton插值公式插值公式 1.定义定义,!)(,:,x，nba,f(x).3,.2)()

13、(,)()(,.1.2)(1010001110banfxxxfnbaxxxxfxxfxfxxxxfxxxfnnnijjijkjkijjijkjkjk阶差商与导数的关系为则且节点阶导数上存在在若性质性）（对称与结点排列无关性质略，归纳法）的线性组合形式。（证可表为值性质3.3.造差商表造差商表 各级差商的计算可按下表进行各级差商的计算可按下表进行 2.2 Newton2.2 Newton插值公式插值公式 有了差商的概念，前面介绍的线性插值公式可表示为：有了差商的概念，前面介绍的线性插值公式可表示为：(2.2.1)(2.2.1)(2.2.1)(2.2.1)称为一次称为一次NewtonNewton插

14、值多项式插值多项式,记为记为N N1 1(x),(x),即即 xi 0阶差商 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 x0 f(x0)x1 f(x1)fx0,x1 x2 f(x2)fx1,x2 fx0,x1,x2 x3 f(x3)fx2,x3 fx1,x2,x3 fx0,x1,x2,x3 x4 f(x4)fx3,x4 fx2,x3,x4 fx1,x2,x3,x4 fx0,x1,x2,x3,x4 x5 f(x5)fx4,x5 fx3,x4,x5 fx2,x3,x4,x5 fx1,x2,x3,x4,x5,)()()(10001xxfxxxfxL,)()()(10001xxfxxxfxN,)(,)(

15、,)(,)(,)()()(,0101010111020210221010101100000nnnnnnnnxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxxxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxfxxfxxxfxf，而得由各阶差商的定义一般地,)()(,)()(,)(,)()()(101010110210101000nnnnxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf，得把后一式代入前一式综合以上式子 由上面推导可以看出由上面推导可以看出,Nn(x)至多是至多是n次多项式。另次多项式。另外，由外，由 )()()(,)(,)()()(,)()(

16、,)(,)()()(:101101010110210101000 xRxNxfxxxxfxxxxxfxxxxxxxRxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxNnnnnnnnnnn则记.)()()().,1,0)()(),1,0(0,)()(101次插值多项式的是所以条件满足插值即说明即nxfxN，xNnixNxfnixxxxfxxRnnininiinin(2.2.2)(2.2.3)由由Newton插值多项式的定义可以看出有如下的递推公式插值多项式的定义可以看出有如下的递推公式 (2.2.4),)()()(11011nnnnxxxfxxNxN)()!1()(,)()(1)1(101x

17、nfxxxxfxxRnnnnn),(ba 由由(2.2.2)式知：每增加一个插值节点式知：每增加一个插值节点，Newton插值多项式只插值多项式只增加一项。这是增加一项。这是Newton插值多项式最大的优点插值多项式最大的优点,另外另外,Newton插插值多项式的计算量也比值多项式的计算量也比Lagrange插值多项式小插值多项式小.因为因为,满足插值条件的插值多项式是惟一的满足插值条件的插值多项式是惟一的,所以所以,Newton插值插值余项与余项与Lagrange插值余项应该相等插值余项应该相等,即即 )!1()(,)1(10nfxxxxfnn据此还可以得到导数与差商的关系据此还可以得到导数

18、与差商的关系 三三、Newton插值算法插值算法:step1:输入插值节点数输入插值节点数n,插值点序列插值点序列(xi,yi),要计算的插值要计算的插值点点u.step2:形成差商表形成差商表 gk,k=0,1,n.step3:置初值置初值 t=1;newton=f(x0);step4:for i=0 to n t=(u-x(i-1)*t;/*形成形成(x-x0)(x-xi-1)*/newton=newton+t*gi;step5:输出输出f(x)=Nn(u)=newton;.e 049787068.0135335283.0367879441.0e321 3,2,1e 2.12.1-x-x计

19、估差的近似值，并进行误插值公式求试用二次的值如下在已知例Lagrangexx3-2-1-2e)23)(13()2)(1(e)32)(12()3)(1(e)31)(21()3)(2()(xxxxxxxL二次插值多项式为：解120165644.0e)23)(13()21.2)(11.2(e)32)(12()31.2)(11.2(e)31)(21()31.2)(21.2()1.2(e 3-2-1-22.1-L00607001.0)31.2()21.2()11.2(!3)1.2()1.2(,max122.1-121eLeReexx故有误差估计因的近似值。插值公式求用数值表如下：已知例)596.0(02

20、652.188811.069675.057815.041075.0)(90.080.065.055.040.0)()(2.2 fNewtonxfxxshxfkk解：先造差商表解：先造差商表 63192.0)596.0()596.0(596.0)80.0)(65.0)(55.0)(40.00.034()65.0)(55.0)(40.00.197()55.0)(40.00.2800()40.0(1160.141075.044 NfxxxxxxxxxxxN代入得：代入得：将将 由由Newton公式得四次插值多项式为：公式得四次插值多项式为：牛顿基本插值公式对结点是否等距没有限制牛顿基本插值公式对结点

21、是否等距没有限制。当结点为当结点为等距时等距时，牛顿插值公式可进行简化牛顿插值公式可进行简化。为此引入差分概念为此引入差分概念。2.3 等距结点插值公式等距结点插值公式 一一.差分差分 1.1.定义定义 设设 ,),10(0为常数h,n,kkhxxk叫步长叫步长.kkkkkkfhxxfnkxfxfxff，记为为步长的一级前向差分处以在点为函数，称记)(),1,1,0(),()()(1）（1.3.2 )1,1,0(,1nkfffkkk)2,1,0(,.,)2,1,0(,1221nkffffnkffkkkkkk即记为为二级差分称一般地，一般地，m级差分可以定义为级差分可以定义为:),1,0(,11

22、1mnkfffkmkmkm(2.3.2)(2.3.4)(2.3.3),)(11111kmkmkmkkkkkkkfff，mffff，hxxfff阶向后差分定义为一般地即记为为步长的向后差分处以在为函数由式由式(2.3.1)和式和式(2.3.2)定义的差分定义的差分,通常称为向前差分通常称为向前差分.二、差分表二、差分表 1.前向差分前向差分 xk fk=f(xk)fk 2fk 3fk 4fk x0 f0 x1 f1 f0 x2 f2 f1 2f0 x3 f3 f2 2f1 3f0 x4 f4 f3 2f2 3f1 4f0 2.后向差分表后向差分表:xk fk=f(xk)fk 2fk 3fk 4f

23、k x0 f0 x1 f1 f1 x2 f2 f2 2f2 x3 f3 f3 2f3 3f3 x4 f4 f4 2f4 3f4 4f4 三、差分的性质三、差分的性质 性质性质1:各阶差分均可表示成函数值的线性组合各阶差分均可表示成函数值的线性组合 jmjkmf0)1(m j jmkfmjjkmf0)1(m j jkf例如：例如：2112121222kkkkkkkkkkkkffffffffffff为二项式展开系数其中!)1()1(:jjmmmjm性质性质2:向前差分和向后差分的关系为向前差分和向后差分的关系为:性质性质3:差分与差商之间有如下关系差分与差商之间有如下关系:mkmkmff),2,1

24、(!1!1,1mfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk(2.3.5),1,0(,0nkkhxxk四、等距节点的插值公式四、等距节点的插值公式 当插值节点是等距离的时候当插值节点是等距离的时候,插值公式可以用差分表示插值公式可以用差分表示,设设 将式将式(2.3.5)代入式代入式(2.2.2)得等距节点插值公式得等距节点插值公式:)()(!)(!2)(1,)()(,)(,)()()(11001020200010110210101000nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxN(2.3.6)在上式中令在上式中令x=x0+th,则式

25、则式(2.3.6)变成变成 002000!)1()1(!2)1()(fnntttfttftfthxNnn)()!1()()1()()()!1()()()1(110)1(nnnnnfhnntttxxxxxxnfxR),(0nxx(2.3.7)也可以用向后差分公式表示也可以用向后差分公式表示Newton插值公式插值公式,令令x=xn+th,x x0,xn,则有则有 nnnnnnnfnntttfttftfthxN!)1()1(!2)1()(2上式称为上式称为Newton向后插值公式向后插值公式,其余项为其余项为)()!1()()1()()1(1nnnfhnntttxR),(0nxx(2.3.8)(2

26、.3.8)则上式为则上式为Newton向前插值公式向前插值公式,其余项为其余项为:例例:已知已知y=f(x)=sin(x)的函数表如下的函数表如下 X 0.4 0.5 0.6 0.7 sinx 0.38942 0.47943 0.56464 0.64422 分别用分别用Newton向前、向后插值公式求向前、向后插值公式求sin0.57891的近似值。的近似值。xi fi=sin(xi)一阶差分 二阶差分 三阶差分 0.4 0.38942 0.5 0.47943 0.09001 0.6 0.56464 0.08521-0.00480 0.7 0.64422 0.07958-0.00563-0.0

27、0083 解解:x0=0.4 x1=0.5 x2=0.6 x3=0.7，写出差分表如下，写出差分表如下:Newton向前插值公式为向前插值公式为 54711.02109.07891.07891.100083.0617891.07891.100480.0217891.109001.038942.0)57891.0(57891.0sin7891.11.04.057891.0)2)(1(00083.061)1(04480.02109001.038942.0)(3003NhxxtttttttthxN带入上式将上面差分表中最后一行数据就是向后差分值上面差分表中最后一行数据就是向后差分值 5471118.

28、057891.0sin54711.07891.0)2109.0)2109.1(00083.0!31)2109.0()2109.1(00563.0212109.107958.064422.057891.0sin2109.11.07.057891.0)2)(1(!300083.0)1(200563.007958.064422.0)(00083.0,00563.0,07958.033333323而代入上式得将向后插值公式为将向后差分代入hxxtttttttthxNNewtonfff2.4 Hermite2.4 Hermite插值多项式插值多项式 一、一、Hermite插值多项式插值多项式 设设x0,

29、x1xn为区间为区间a,b上的上的n+1个各互异节点个各互异节点,且且),1,0(),(),(njxfmxfyjjjj。要求。要求 一个一个2n+1次的插值多项式次的插值多项式H2n+1,使得使得),1,0(),()(1212njxHmxHyjnjjnj(2.4.1)构造两个插值基函数构造两个插值基函数.,1,0),(),(njxxjj每个基函数每个基函数 为为2n+1次多项式次多项式,且满足如下条件且满足如下条件 jkkjkjkjjkkjxxxx)(,0)(0)(,)(其中其中:jk1 j=k 0 jkk )()(12),1,0(),(),(012xmxyHnnjxxjjjnjjnjj次插值

30、多项式构造由(2.4.2)可以证明可以证明)()()(21()()1)(21()(220 xlxlxxxlxxxxxjjjjjnjiiijjj)()()()()(02njiiijijjjjxxxxxlxlxxx其中其中 j=0,1,2,n 因此因此Hermite插值多项式为插值多项式为:)()12)()()()1)(21(20020012xlxxymxxyxlmxxxxxxyHjnjnjiiijjjjjjjjnjnjiiijjjn特别：当特别：当n=1时，三次时，三次Hermite插值多项式在应用插值多项式在应用中非常重要，列出其详细计算公式，取插值节点中非常重要，列出其详细计算公式，取插值节

31、点xk，xk+1，三次，三次Hermite插值多项式插值多项式H3(x)满足满足:,)(,)(33kkkkmxHyxH113113)()(kkkkmxHyxH相应的插值基函数为相应的插值基函数为:因为因为n=1,故故j=k,k+1 2111211211112111)()()()()(21()()(21()(kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx于是有于是有:)()()()()(11113xmxmxyxyxHkkkkkkkk二、二、Hermite插值余项插值余项 定理定理:设设x0，x1，xn为为a，b上上n+1个各互异节

32、点，个各互异节点，H2n+1(x)为为f(x)的过该组节点的的过该组节点的2n+1次次Hermite插值多项式，插值多项式，若若f(x)CC2 2aa，b，则对任意，则对任意xaa，b，插值余项为，插值余项为:)()!22()()()()(21)22(12xnfxHxfxRnnnn,ba特别对于三次特别对于三次Hermite插值余项为插值余项为:2120)4(3)()(!4)()(xxxxfxR例例:设函数设函数f(x)在在x0=1.3,x1=1.6,x2=1.9的函数值及导数值如下的函数值及导数值如下:xi f(xi)(xi)1.3 0.6200860-0.5220232 1.6 0.455

33、4022-0.569859 1.9 0.2818186-0.5811571 f 应用应用Hermite插值求插值求f(1.5)的近似值。的近似值。解解 首先来计算首先来计算Lagrange基本插值多项式及其导数基本插值多项式及其导数 5)(91759100)(91529175950)()()(00022010210 xlxxlxxxxxxxxxxxl5)(91459100)(91049145950)()()(0)(93209200)(924793209100)()()(2222120210211122101201xlxxlxxxxxxxxxxxlxlxxlxxxxxxxxxxxl其次其次,计算

34、多项式计算多项式 2,1,0,)(,)(ixxii220)91529175950)(5)(3.1(21)(xxxx222221220222221)91049145950)(9.1()()924793209100)(6.1()()91529175950)(3.1()()91049145950)(2(10)()924793209100(1)(xxxxxxxxxxxxxxxxxxx最后得到最后得到 5118277.0)5.1()5.1(5.1)(5811571.0)(5698959.0)(5220232.0)(2818186.0)(4554022.0)(6200860.0)(210210Hf，xxx

35、xxxxxH得代入上式将2014/10/5 51 重节点均差重节点均差 定理3 0101,nnnfC a b x xxa bf x xx设为上的相异节点，则是其变量的连续函数。1,a bfC a b如果上的节点互异，根据均差定义，若，则有000000()()lim,lim()xxxxf xf xf x xfxxx由此定义重节点均差重节点均差 00000,=lim,=()xxf x xf x xfx2014/10/5 52 类似地可定义重节点的二阶均差类似地可定义重节点的二阶均差 102000001201,=lim,=()2xxxxf x xxf x xxfx，0()0000101,=lim,=

36、()!innxxf x xxf x xxfxn，一般地，可定义重节点的一般地，可定义重节点的n n阶均差阶均差 ()00000()()()()()()!nnnfxP xf xfxxxxxn在牛顿均差插值多项式中若令在牛顿均差插值多项式中若令x xi ixx0 0(i=0,1,n),(i=0,1,n),则由上式可得则由上式可得 泰勒多项式泰勒多项式 它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为它就是一个埃尔米特插值多项式，其余项为 (1)10()()(),(,)(1)!nnnfR xxxa bn例例2:2:给定函数值表如下给定函数值表如下:3)(1242)(321iiixfxfx.)()()(3)2(

37、,)3,2,1()()(:),(33333的表达式并写出截断误差使之满足如下条件的多项式求次数不超过xfxHxRHiifiHxH属非标准的插值问题 251832123424221 .1 造重节点差商表方法)3,1(),3()2)(1()!4()()(:2)4(xxxfxR截断误差为61592 )2)(2)(1(2)2)(1(1)1(22 )(:233xxxxxxxxxxHNewton 插值公式得由)3)(2)(1()()(:23xxxkxpxH设所求多项式为得的二次多项式先求满足插值条件方法解,)3,2,1()()(.2 :2iifip673)(22xxxp61592)(.2:,3)2(233

38、3xxxxHkH故得由条件2014/10/5 56 例3：给定函数值表如下：2014/10/5 57 解法：（带重节点的牛顿插值法）（带重节点的牛顿插值法）0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 -1 1 -1 1 1-214jx()jf x则则 22220001011()00()1()(1)()()()()4H xxxxxxxxxxxxx 221(3)4xx2.5 分段低次插值分段低次插值 一、高次插值的病态性质一、高次插值的病态性质:在代数插值中在代数插值中,过分地提高插值的次数会带来一些过分地提高插值

39、的次数会带来一些新的问题新的问题,即随着插值节点的增加即随着插值节点的增加,插值多项式并不插值多项式并不一定能很好的逼近一定能很好的逼近 ,有时差异甚至很大有时差异甚至很大,如函数如函数:当用当用 去逼近时去逼近时,就出现所谓的龙格就出现所谓的龙格(Runge)现象现象.因此因此,高次插值多项式高次插值多项式(78次以上次以上)在实际中很在实际中很少使用少使用.)(xf211)(xxf)(10 xL二、分段线性插值二、分段线性插值 设在区间设在区间a,b上给定上给定n+1个节点个节点,以及各节以及各节点的函数值点的函数值 。作一插值函数作一插值函数 使满足使满足:nxxx,10），nixfyi

40、i,10(,)()(xP.)(,2.,1,0)()(11是线性函数上在每个小区间）（）（x，PxxnixfyxPiiiii我们称函数我们称函数P(x)为为a,b 上关于数据上关于数据(xi,yi)(i=0,1,n)的的 分分段线性插值函数段线性插值函数.由由Lagrange线性插值公式线性插值公式,可写出分段表达式可写出分段表达式 1,1,0,)(11111nixxxyxxxxyxxxxxPiiiiiiiiii值基函数为满足上述条件的分段插上为线性函数在每个区间满足首先构造一组基函数数表示的分段线性插值函下面给出用插值基函数.)1,2,1,0(,)()2(),1,0,(,0,1)()1(:)(

41、),1,0)(.1nixxxlnjiijijxlxlnixliiijiii,(0,)(1101010nxxxxxxxxxxxl,(),0(,110111111niiiiiiiiiiiixxxxxxxxxxxxxxxxxxx，)(xli),0,)(10111nnnnnnnxxxxxxxxxxxl1,2,1niniiiyxlxPxP0)()(:)(为分段线性插值函数|)(|max),(max8|)()(|)(:1102xfMxxhMhxPxfxRbxaiini 其中差估计如下分段线性插值公式的误:).5,1,0(05,0,11)(:2在各节点的函数值表为解求分段线性插值函数上取等距节点在已知函数例

42、iixxxfixi 0 1 2 3 4 5 1.00000 0.50000 0.20000 0.10000 0.05882 0.03846 211iixy)(xli4,005,44)(51)1,00 1,()1(,115,1(0 1,01)(:50 xxxxliixiixixiixixxxxxl，（插值基函数为由上式可求出分段线性i=1,2,3,4)(03846.0)(05882.0)(10000.0)(20000.0)(50000.0)()(:543210 xlxlxlxlxlxlxP，可求出分段线性插值函数将以上插值基函数代入二、二、Hermite分段插值多项式分段插值多项式 以上介绍的分

43、段线性插值只能保持节点处函数连续因而光以上介绍的分段线性插值只能保持节点处函数连续因而光滑性很差滑性很差,下面介绍的分段三次下面介绍的分段三次Hermite插值多项式是插值区间插值多项式是插值区间上的光滑函数上的光滑函数.设给定函数表设给定函数表:ixiyiy0 x0y0y1x1y1y2x2y2ynxnyny 在每个小区间在每个小区间xi,xi+1(i=0,1,n1)上作三次上作三次Hermite插值插值,可得到一个分段三次可得到一个分段三次Hermite插值多项插值多项式式H(x),使使H(x)满足满足:.)1,1,0(,)()2(),1,0()(,)()1(1上是三次多项式在nixxxHn

44、iyxHyxHiiiiii121112111)(21()(21()(iiiiiiiiiiiiiiyxxxxxxxxyxxxxxxxxxHHermite插值多项式为分段三次|)(|max384|)()(|)(|,)1,1,0(,)()()4(411211211xfhxHxfxRHermitenixxxyxxxxxxyxxxxxxbxaiiiiiiiiiiii值的误差有估计式插分段三次明由插值余项公式可以证2.6 三次样条插值三次样条插值 一、三次样条插值函数的基本概念一、三次样条插值函数的基本概念 定义定义:如果函数如果函数S(x)在区间在区间a,b上满足上满足:.,)(.,)()(),1,0(

45、)()(),1,0(,)()3(.,)(,)1,1,0(,)2(,)(,)(),(),()1(21012的要求已能满足一般工程上具有二阶光滑度由于上的三次样条插值函数在为则称如果满足数值对于在节点上给定的函上的三次样条函数是则称其中上是三次多项式在子区间即上连续在区间baCxSbaxfxSnjxfxSnjyxfbaxSbxxxanjxxbaCxSbaxSxSxSjjjjnjj,)(,)(,)()(:,)(,)1.6.2(),2,1,0()(),()(),1,0()(:,)(1121110010nnnjjjjnxxxxSxxxxSxxxxSxSbaxSnjyxSxSxfnjyxfbxxxabax

46、f、即式上为分段三次插值多项在根据定义使满足的三次样条插值函数求及节点上的函数值上的节点为在区间设给定函数三次样条插值多项式二.33)2.6.2(,:)1,2,1;2,1,0()2.6.2()(lim)(lim,)(.4,4,)()()(21个条件表示有阶导数表示其中故有个参数故应确定个小区间共有个待定系数，上要确定在每个小区间上nPPnjpxSxSbaCxSnnxxxSPxxPxxjjjj (2.6.1)和和(2.6.2)共表示有共表示有4n-2个条件个条件,因此还需要两个条件因此还需要两个条件才能确定才能确定S(x),通常实际问题要求三次样条插值函数满足一定的通常实际问题要求三次样条插值函

47、数满足一定的边界条件边界条件,一般使用的边界条件有以下三类一般使用的边界条件有以下三类.第一类边界条件第一类边界条件:nnfxSfxS)()(00(2.6.3)第二类边界条件第二类边界条件:nnfxSfxS )()(00(2.6.4)第三类边界条件第三类边界条件:设设f(x)是周期函数是周期函数,不妨设以不妨设以xnx0为周期为周期,这时边界条件这时边界条件满足满足:.4)0()0()0()0(),0()0()5.6.2()2,1,0()(lim)(lim0 0 00)()(0个故条件仍为此时ny，yxSxSxSxSxSxSPxSxSnnnnPxxPxxn 这样三次样条插值函数这样三次样条插值

48、函数S(x)满足满足(2.6.1),(2.6.2)和和(2.6.3)(2.6.5)中的某一类边界条件时中的某一类边界条件时,共计共计4n个条件个条件,可以确定可以确定4n个待定参数个待定参数.三、样条插值函数的建立三、样条插值函数的建立 讨论用节点处的二阶导数来建立插值函数讨论用节点处的二阶导数来建立插值函数,设设:)7.6.2()(6)(6)()(,)6.6.2(:)6.6.2()(:,)(.,)(),1,0()(313111111jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjBxxAhxxMhxxMxSxxhhxxMhxxMxS，xxxSxxxSnjMxS 得连续积分两次对其中可设为上是

49、线性函数在则上是三次多项式在区间其中其中:Aj，Bj为积分常数为积分常数,根据插值条件根据插值条件:S(xj)=yj，S(xj+1)=yj+1，得得 jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxShMyBMMhhyyA)6()6(6)(6)()(:,)6.6.2(61)(621123131211并整理得式代入(2.6.8)(2.6.8)式中的式中的Mj(j=0,1,n)未知未知,为了确定为了确定Mj对对S(x)求导数求导数 1211211111121212)(2)()(:,)(63)0(:)9.6.2(62)(2)()(jjjjjjjjjjj

50、jjjjjjjjjjjjjjjjjhxxMhxxMxSxxxShyyMhMhxShMMhyyhxxMhxxMxS上的表达式在区间同理可求得由此可得1111136)0(jjjjjjjjhyyMhMhxS11116jjjjjjhMMhyy)1,2,1()9.6.2(2:)0()0(:11njdMMMxSxSjjjjjjjj得由连续性条件其中其中:00101010200102010000111111116)()(2)(2)()()(,)(:1:)1,2,1()10.6.2(,6,6,hMMxxxfxfhxxMhxxMxSfxSfxSnjxxxfhhxxfxxfdhhhhhhnnjjjjjjjjjjj