2014电磁场与电磁波2-静电场4 [兼容模式].pdf

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1、【电位系数矩阵】【电位系数矩阵】对于对于n个带电导体组成的系统，空间任意一点的电位由各个导体表面的电荷产生，满足叠加原理，于是各导体上的电位可表示为个带电导体组成的系统，空间任意一点的电位由各个导体表面的电荷产生，满足叠加原理，于是各导体上的电位可表示为写出矩阵形式写出矩阵形式p称为电位系数矩阵，它也是只与导体形状、相对位置、介质特性有关，与导体所带的电荷量无关。称为电位系数矩阵，它也是只与导体形状、相对位置、介质特性有关，与导体所带的电荷量无关。多导体系统的电容多导体系统的电容111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnp qp qp qp qp qp qp qp qp

2、 qq1qn-1qnq2 n 1 2 n-1多导体系统多导体系统 p q【电位参数的物理意义】【电位参数的物理意义】前者表示除导体前者表示除导体i外，其余导体均不带电时，导体外，其余导体均不带电时，导体i自身的自身的电位系数电位系数。后者表示除导体后者表示除导体i外，其余导体均不带电时，导体外，其余导体均不带电时，导体i与导体与导体j之间的之间的互电位系数互电位系数。0,1,2,jiiiiqjn j ipq0,1,2,ijjiiqjn ijpqq1qn-1qnq2 n 1 2 n-1多导体系统多导体系统111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnp qp qp qp qp

3、 qp qp qp qp q【电容系数矩阵】【电容系数矩阵】即即 称为感应系数（电容系数）矩阵，显然称为感应系数（电容系数）矩阵，显然 ii 表示除导体表示除导体i外，其余导体均接地时，导体外，其余导体均接地时，导体i自身的自身的自感应系数自感应系数。ji 表示除导体表示除导体i外，其余导体均接地时，导体外，其余导体均接地时，导体i与导体与导体j之间的之间的互感应系数互感应系数。111 11221221 122221 122nnnnnnnnnnqqq q1 pq1qn-1qnq2 n 1 2 n-1多导体系统多导体系统0,1,2,jiiiijn j iq0,1,2,ijjiiqjn ijq【部

4、分电容】【部分电容】将各个导体上的电荷量用各个将各个导体上的电荷量用各个导体间的电压（电位差）导体间的电压（电位差）表示，就引出了表示，就引出了部分电容部分电容的概念。的概念。令令11112111221112211221222222112212()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnnqqq）niiijjC ()ijijCij ()ijijUijiiiU则则111111212112212122222211222nnnnnnnnnnnnqC UC UC UqC UC UC UqC UC UC UCii 表示导体表示导体i的的自部分电容自部分电容，就是，就是n个导体系统中导体

5、个导体系统中导体i与参考点之间的部分电容。与参考点之间的部分电容。Cij(ij)表示导体表示导体i与导体与导体j之间的之间的互部分电容互部分电容。对于互易媒质中多导体系统对于互易媒质中多导体系统jiijCCq1qn-1qnq2 n 1 2 n-1多导体系统多导体系统部分电容公式表明，多导体系统可以看成是一个电容网络部分电容公式表明，多导体系统可以看成是一个电容网络例：例：半径为a和b半径为a和b(abab)的两同心导体球壳，如图所示，其间介质为空气，且外球离地甚远。求部分电容，内球对大地的电容及两球壳之间的工作电容。的两同心导体球壳，如图所示，其间介质为空气，且外球离地甚远。求部分电容，内球对

6、大地的电容及两球壳之间的工作电容。解：解：两导体球壳与大地之间的部分电容可以用方程组表示如下：202221212121210111UCUCqUCUCq102000222010211221414 ;,001,1,0UUbbqbrUUUUbrCqq位为称，而外球壳对大地电的场可近似看作是球对地甚远，故又因为外球壳离，两球壳等电位，即强度为内电场电荷，则壳带即内球壳不带电，外球假设ab 1C12 2电位参考点电位参考点C11C22bCCCbC022211201141010410代入部分电容方程组有b022114C0C 解得则再假设,0,121qq2102112020201014,41,41 Uaba

7、bUbUaU120021000 11044 10444baCaabbaCbabb 代入部分电容方程组有12210124 CCababC解得bCababCCC02202112114 ,4 ,0 容为：故此三导体系统部分电aCCCCC022122212114 内球壳对大地电容为：ababCCCCC022112211124 ：两球壳间的工作电容为ab 1C12 2电位参考点电位参考点C11C222.8 静电场的能量2.8 静电场的能量 电荷系统的能量电荷系统的能量 静电场的能量静电场的能量 虚位移法虚位移法 静电场对电荷有作用力，使电荷获得动能,因此静电场应该带有能量。静电场对电荷有作用力，使电荷获

8、得动能,因此静电场应该带有能量。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。静电能量是在电场的建立过程中，由外力作功转化而来的。能量存在于电场强度不为0的地方。能量存在于电场强度不为0的地方。静电场是保守场，具有的能量只与系统电荷的分布有关，与建立过程无关。静电场是保守场，具有的能量只与系统电荷的分布有关，与建立过程无关。电场带有能量电场带有能量【分布电荷系统的能量】【分布电荷系统的能量】设在线性、各向同性媒质中，已建立了一个电荷密度为的带电系统，电位为。由于静电场能量只与最终的电荷分布有关，与的充电过程无关，故可以选择一个简单的充电过程：设充电过程中的变化关系为当t=0时，系统开始充

9、电；当t=1时，系统充电完毕。(,)()01ttt rr=(x,y,z)t(,)=(x,y,z)x y z t带电体系统中的静电能量带电体系统中的静电能量 由于电位与电荷分布成正比，充电过程中，电位的变化关系为 体积元dV充电需要能量 于是，整个充电过程中，电荷系统的总能量为(,)()01ttt rr1001(,)(,)2eVVVWt dt dVtdtdVdV rr=(x,y,z)t(,)=(x,y,z)x y z t(,)dt dVr(,)(,)edWt dt dVrr如果电荷是分布体电荷分布，则如果电荷是分布面电荷s分布，则如果电荷是分布线电荷l分布，则12esSWdS 12elCWdl=

10、(x,y,z)t(,)=(x,y,z)x y z t12eVWdV【n个带电体系统的能量】【n个带电体系统的能量】设系统中每个带电体上电荷和电位为设系统中每个带电体上电荷和电位为qi和，则采用类似的方法可得和，则采用类似的方法可得n个带电体系统的能量为个带电体系统的能量为 考虑考虑两个电荷两个电荷的系统的系统 系统能量由系统能量由自有能自有能和和互有能互有能组成。自有能是将许多元电荷“压紧”构成组成。自有能是将许多元电荷“压紧”构成 q 所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。所需作的功。互有能是由于多个带电体之间的相互作用引起的能量。12neiiiWq111222211q

11、2q2111122222111 112221 1222111()()2211()()22eiiiWqqqqqqq自有能互有能i【点电荷点电荷系统的能量】系统的能量】N个带电体的能量公式也可用于个带电体的能量公式也可用于n个点电荷系统，即个点电荷系统，即 但由于点电荷在自身所在的地方产生的电位为无限大，所以自能量项但由于点电荷在自身所在的地方产生的电位为无限大，所以自能量项qiii也为无限大也为无限大。因此约定，上面公式用于点电荷系统时，只是其他电荷在电荷因此约定，上面公式用于点电荷系统时，只是其他电荷在电荷i处产生的电位。换句话说，处产生的电位。换句话说，点电荷能量公式中，只考虑互有能。点电荷

12、能量公式中，只考虑互有能。12neiiiWqi静电能的分布及能量密度静电能的分布及能量密度电场能量分布应该与电场的分布联系在一起，上述能量公式给出了电荷系统的能量，但从形式上没有与静电场直接联系起来。电场能量分布应该与电场的分布联系在一起，上述能量公式给出了电荷系统的能量，但从形式上没有与静电场直接联系起来。将带入上述能量公式并利用将带入上述能量公式并利用有有D1112221122eVVVSVWdVdVdVddV DDDDSE D DDD12eVWdV=(x,y,z)t(,)=(x,y,z)x y z tVS散度定理散度定理如果如果V为整个空间，为整个空间，S为无限远的球面，体电荷可以看成点电

13、荷，则为无限远的球面，体电荷可以看成点电荷，则电场能量为电场能量为令令电场能量密度电场能量密度有有对于各向同性媒质，故对于各向同性媒质，故eeVWw dVDE212eVWE dV12ew E D=(x,y,z)t(,)=(x,y,z)x y z tVS2204044SRqqdRRR DS12eVWdVE D【两种公式的讨论】【两种公式的讨论】用电荷电位计算的能量的公式从表面上看，似乎电荷能量是集中在电荷里的，电荷是能量的承载者，没有电荷的地方就没有能量。用电荷电位计算的能量的公式从表面上看，似乎电荷能量是集中在电荷里的，电荷是能量的承载者，没有电荷的地方就没有能量。（错误）（错误）用电场表示的

14、能量公式告诉我们，只要有电场就有能量，即使所在的区域没有电荷。这是用电场表示的能量公式告诉我们，只要有电场就有能量，即使所在的区域没有电荷。这是场的观点场的观点。（正确）（正确）用电荷电位计算的能量公式只能计算整体空间的能量。用电荷电位计算的能量公式只能计算整体空间的能量。而电场能量公式可以计算局部区域中的能量。就整体空间而言，两个公式计算的结果一样。而电场能量公式可以计算局部区域中的能量。就整体空间而言，两个公式计算的结果一样。12eVWdV12eVWdVE D【例题】计算半径为a，电量为Q的导体球具有的能量。导体周围介质的介电常数为。解法1：用电荷电位计算。已知半径为a，电量为Q的导体球的

15、电位为应用电荷电位电荷电位计算能量公式，得4Qa2e128QWQa解法2：用电场能量公式电场能量公式计算。已知电量为Q 的导体球外的电场强度为能量密度为那么沿球外整个空间积分求得24QEr2e2432Qwr 2 2ee 0 0 2ddsin d8 eVaWwdVwrrQa静电力静电力2.虚位移法2.虚位移法1.由电场强度由电场强度E的定义求静电力的定义求静电力，即，即Efq它是用假设带电导体系统中某一导体发生一小的位移时的功能转换关系来确定该导体所受的电场力的。它是用假设带电导体系统中某一导体发生一小的位移时的功能转换关系来确定该导体所受的电场力的。常电荷系统常电位系统常电荷系统常电位系统E为

16、除电荷为除电荷q外的其他电荷产生的电场。复杂的系统中，外的其他电荷产生的电场。复杂的系统中，E无法求解，如何求静电力？无法求解，如何求静电力？虚位移法计算静电力虚位移法计算静电力利用能量转换可以简化静电力的计算利用能量转换可以简化静电力的计算虚位移法虚位移法设设(n+1)个带电体组成的系统，只有个带电体组成的系统，只有p号带电体在静电力号带电体在静电力f作用下发生位移作用下发生位移dg，此时电场力，此时电场力f对对p号带电体做的功为号带电体做的功为fgdg。而系统电荷分布发生变化，系统的储能也发生变化，令系统静电储能增量为而系统电荷分布发生变化，系统的储能也发生变化，令系统静电储能增量为dWe

17、，则功与能关系为，则功与能关系为如果能够计算出这个过程中如果能够计算出这个过程中dW和和dWe，则，则 f 可以计算出来可以计算出来egdWdWf dg外源提供能量静电能量增量电场力所作功=+【常电荷系统】【常电荷系统】系统没有与外电源相连（系统没有与外电源相连（K打开），虚位移时，带电体上电荷打开），虚位移时，带电体上电荷qk保持不变。因此，外电源未提供给系统能量。保持不变。因此，外电源未提供给系统能量。不接外源时，电场力做功不接外源时，电场力做功需要减少静电能量。需要减少静电能量。0egdWdWf dg.keqconstWfg【常电位系统】【常电位系统】系统与外电源相连（系统与外电源相连（

18、K闭合），虚位移时，系统的电荷发生变化，为了保持带电体上电位不变，外电源必须给系统补充电荷，因此系统提供了能量闭合），虚位移时，系统的电荷发生变化，为了保持带电体上电位不变，外电源必须给系统补充电荷，因此系统提供了能量。外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。外源提供的能量有一半用于静电能量的增量，另一半用于电场力做功。kkdWdq1122ekkkkdWdqdq12kkkkdqdqfdg.keconstWfg k电源开关【例】求平板电容器中介质块在x方向所受的力。解法1：常电位系统法常电位系统法。忽略边缘效应，电容器内能量为于是 xl0Ud0 UEd22200011122

19、2eVUUWE dVxwdlx wddd2200011|22exconstWUFwdE wdxd解法2：常电荷系统法常电荷系统法。首先求用q表示的电场。能量为于是1211220,ssEEEDEDE，12ssxwlx wq0qExwlx w=222102011222eq dWE xwdElx wdxwlx w2020201|22exq constq dwWfEwdxxwlx w xl0Ud【例】求带电平板电容器的两个导体板之间的作用力。解法1：常电位系统法。常电位系统法。平行板电容器12211221 21 2eWqqqUCU2202022keconstWUSUCfgdd 0SCd平行板电容器解法2：常电荷系统法。常电荷系统法。221122eqWCUC22022022keqconstWSqCUfgCdd qCU0SCd