模糊模式识别的基础——相似度量.pdf

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1、第 1 7卷第 2期 2 0 0 4年 6月 模式识别与人工智能 P R&AI V0 1 1 7 No 2 J u n e 2 0(14 模糊模式识别 的基础相似度量*刘华文(山东大学 数学与系统科学学院 济南2 5 0 1 0 0)摘要讨论模糊模式识别中模糊集之间的相似度量 针对模糊集的推广形式V a g u e 集，给出 V a g u e 集之间一 系列新的相似度量方法，并对其性质进行讨论 通过与现有方法的比较，阐明该方法有较强的分辨能力 对连续论 域的情况一并作了讨论，给出相应度量的积分表示 最后，用例子说明 V a g u e 集之间的相似度量在模式识别 中的应 用 关键词模糊集，V

2、 a g u e 集，直觉模糊集，相似度量，模式识别 中图法分类号T P 3 0 1；O1 5 9 引 言 自Z a d e h l l J 于 1 9 6 5年提 出模糊集理论以来，相 似度量便成为比较两群体及两元素的重要工具，在 模 式 识 别 中 是 识 别 规 则 的 主 要 依 据G a u和 B u e h r e r 2 J 提 出的 Va g u e集是模糊 集 的一种推 广形 式，它等 同于 A t a n a S s O v 提 出的直觉模 糊集l 引 目 前，V a g u e 集已成功运用于模糊控制、决策分析及专 家系统等领域，并 取得 了较传统模糊集理论更好 的 效果

3、，该理 论 也 因此 引起 了国 内外众 多 学者 的关 注 一 由于模糊环境下 的事物 常被 表示成模糊集，传 统的模糊集仅涉及元素对模糊概念的肯定隶属情 况，但现实情况中往往出现元素对模糊概念的肯定 与否定两个方面，且其中体现出介于肯定与否定之 间的踌躇性 比如投票模 型中有支持与反对两个方 面，且 有 弃 权 情 况 发 生 Ga u和 B u e h r e r提 出 的 V a g u e 集由真、假隶属函数定义，体现了元素对模糊 概念的属于与不属于的程度或证据，较传统的模糊 集有更强的表达不确定性的能力，且更具灵活性 相 似度量是模式 识别的基础，本文对 Va g u e集之间 的

4、 相似度量进行 讨论，提 出一系列具有较 强分辨力 的 度量方法，并与现有方法进行比较，阐明本文方法 的*山东省 自然科学基金资助项 目(No Y 2 0 0 1 G 0 7)收稿 日期：2 0 0 3 0 5 1 2；修回日期：2 0 0 3 1 1 0 6 有效性 对连续论域 的情况给 出其度量公 式的积分 表示 最后，通过例子说 明应用 2 Va g u e 集的概念 定义 1 设论域 X=z 1，2，X 上一 Va g u e 集 A由真隶属 函数t A和假隶属 函数 所描述 t A：X一 0，1 ，：x一 0，1 ，其中，t A()是由支 持 的证据所导出的肯定隶属度 的下界，f a

5、()则 是由反对 的证据所导出的否定隶属度 的下界，且 t A()+f a()1 元素z 在V a g u e 集A中的隶 属度 被 区间 0，1 的一 个 子 区间 t A()，1一 (所界定，称该区间为 在A中的V a g u e 值，记为 V A()对 Va g u e集 A，当 X 离 散 时，记 为 A=t A()，1 一 f a(x ，x 当x连续时，i=l 记为 r A=I f A()，1 一 f a()x，X V X，称 l r A()=1一t A()一f a()为 相对于 V a g u e 集 A 的 Va g u e 度，它刻画了 相对 于 V a g u e 集 A 的

6、踌躇程度，是 相对于A 的未知信 息 的一种度量 r A()值越大，说明 相对于A的未 维普资讯 http:/ 1 4 2 模式识别与人工智能 1 7 卷 知信息越多 显然，0 丌 A(27)1 由上可知，27 相 对于A 的隶 属情 况应具 三维 表示(t A(2 7)，C A(2 7)，丌 A(2 7)对 V a g u e 集的解释 例如，设 V A()=0 5，0 8 ，则 t A()=0 5，f A()=10 8=0 2，丌 A()=1 一t A()一f A()=0 3，此时可解释为，元 素 属 于A的程 度 是0 5，不 属 于 A的程 度 是 0 2，对 A 的踌躇程度 是 0

7、3 用投票模 型来解 释 为，赞成 5票，反对 2票，弃权 3 票 3 Va g u e 集之间的相似度量 设 A 为论域 X 上 的 Va g u e集，V X，则 V A()=t A()，1 一f A()对A的隶属情况的 三维表示 为(t A()，f A()，丌 A()，其 中 t A()、f A()和 丌 A()在投票模型中分别表示赞成、反对 和弃权部分所 占的 比例 考虑到弃权人群 中可能有 一部分人倾 向投赞成票，有一部分人倾 向投反对票，另一部 分 人 仍倾 向弃 权，所 以，可 以对 弃 权 部分 丌 A()按投 票 结 果 细 化 成 三 部 分，t A()丌 A()、f A(

8、)丌 A()、丌 ()，分别表示弃权 中倾 向投赞成 票，反对票和弃权票的比例 于是 对A的隶属情况 的三维表示转化为(t A()+t A()丌 A()，f A()+f A()丌 A()，丌 ()转 化 后，在 A中 的 记 分 a A()和 精 确 度 加 ()分别为 A()=t A()+t A()丌 A()一 f A()+f A()丌 A()=(t A()一f A()(1+丌 A()，()=t A()+t A()丌 A()+f A()+f A()丌 A()=(t A()+f A()(1+丌 A()若将元素 在两 Va g u e 集 中的记分之间和精确 度之间的差值 考虑进去，则可定义如下

9、两 Va g u e 集 之间的相似度量 定义 2 设论域 X=l，2，A、B为 X上 的两 Va g u e 集，其中 A=t A()，1 i=1 B=t B(1 =1 定义 A与B之间的相似度量如下：T(A，B)1 1 I a A()一a B()I+2 I()一 ()I 4 =1 (1)其中 4()=(t A()一f A()(1+丌 A()，f j()=(t B(z )一 ()(1+7 l B()，(2 7 )=(t A()+f A()(1+7 r A()，()=(t B()+f B()(1+丌 B()，7 l A()=1一t A()一f A()，丌 B()=1一t B()一f B()特别

10、，若 A、B 为 X 上 的 Z a d e h模 糊 集，则 t A()+f A()=1，丌 A()=0，t B()+f B()=1，丌 只()=0(V X)于 是 a A()=2 t A()一1，()=1，B()=2 t B()一1，()=1(V X)此时公式(1)简化为 T z(A，B)=1一 l()()1 (2)以下讨论度量 函数 丁(A，B)的性质 定理 1 设 A、B是论域 X：l，2，上的两 Va g u e 集，则度量 函数 丁(A，B)有如下性质：(1)0 T(A，B)1，(2)T(A，B)=T(B，A)，(3)丁(A，B)=l e=A=B 证明(2)的证 明是直接 的，以下

11、 给出(1)和(3)的证明 (1)a A()=(t A()一 ()(1+丌 A()=t A()+t A()丌 A()一()+()丌 A()，0 t A()+t A()丌 A()t A()+丌 A()=1一 (z )1，0()+()丌 A()()+丌 A()=1一t A(3 2 )1，一1 a A()1 同理得 一1 a B()1 于是 I A()一 B()I 2 0()=(t A()+(1+丌 A(=(t A()+()+(t A()+厶()丌 A()(t A()+()+丌 A()=1 同理得 0()1 于是，I()一 ()I 1 所以 0 )二 =1，故 0 T(A，B)1 维普资讯 http

12、:/ 2 期 刘华文：模糊模式识别的基础 相似度量 1 4 3 (3)充分性显示，下证必要性 丁(A，B)=l A()一口 B()=0&()一 ()=0 =(t A()一厶()(1+丌 A()=(B()一 ()(1+丌 B()，(*)(t A()+f A()(1+4()=(B(z )+f B()(1+丌 B()(1一 丌 A(1十丌 A()=(1一 (1+r B(x 丌 A()=丌 B()，(*)再 由(*)(*)得 t A()一f A()=t B(x )一f B()t A()+()=t B()+f B()J()=t B()，(3 2 )=()，即 A=B 定义 3 对连续论域 X=a，b ，

13、a b，设 X 上的 Va g u e 集 A=l A()，l 一()：r，r B=l t B()，l f B()：r，定义 A，B之间的相似度量为 1 T(A，B)=卜南。4 u (3)其中 口 A()=(t A()一厶()(1+丌 A()，口 B()=(B()一Z B()(1+丌 B()，()=(t A()+f A()(1+丌 A()，()=(B()+f B()(1+丌 B()，丌 A()=lt A()一f A()，丌 B()=l一 B()一f B()易证，函数(A，B)有 与函数 丁(A，B)相同 的性质 4 Va g u e 集之间的加权相似度量 定义4 设论域 X=1，z2，A、B为

14、 X上的两 V a g u e 集，其中 A=t A()，l f A(x ，i=1 B=t B(l f B(x ，f=1 设元素 在X 中的权重为 叫(=l，2，)，其中 叫 0，1 且叫 =1 ：S Z A与 B 之间的 加权 相 i=1 似度量为 W(A，B)=l 一 叫 =1 I A()一a B()I+2 I()一 ()I 4 ，(4)其中 A()=(t A()一f A()(1+丌 A(z )，B(j)=(t B()一 ()(1+7 f B()，()=(t A()+f A()(1+丌 A(z )，()=(B()+()(1+丌 B()，丌 A(3 2 )=1一t A()一Z A(z )，丌

15、 B()=l一 B()一 ()类似定理 l 的讨论，可得 函数 w(A，B)有 以下 性质：(1)0 W(A，B)l，(2)W(A，B)=W(B，A)，(3)W(A，B)=l 管A=B 定义5 对连续论域 X=a，b ，a b，设 X 上的 Va g u e集 A=l A()，l f A()x，J V B=l t B()，l 一 ()x，设元素 z的权重为 W(X)，其中 W(X)0，1 且 1 w(x)d x=1 定义A与B之间的加权相似度量为(A，B)=l l 叫()4 (5)其中 4()=(t A()一厶()(1+丌 A()，B()=(B()一 ()(1+丌 B()，()：(t A()+

16、f A()(1+丌 A()，()=(t B(x)十 ()(1+丌 B()，丌 A()：lt A(z)一f A()，丌 B()=lt B()一 ()易证，函数(A，B)有与函数 W(A，B)相同 的性质 显然，在公式(4)中，若取 叫 =1 n(i=l，2，)，便得公式(1)在公式(5)中，若取 叫()=1 (ba)(V 口，b )，便得公式(3)维普资讯 http:/ 模式识别与人工智能 1 7卷 5 与现有方法 的 比较及应用 设 A、B是 论 域 X=1，2，上 的两 Va g u e 集，文献 6 文献 9 分别给出 A与B之间 的相似度量如下：1 T c(A，B)=1 一 言!二厶!2

17、 二!旦!二 2 1 2 =l T H(A，B)=1 一 言 i=l (A B)=1一 f a()一(t B()一f B()4 +I t A()一t B()1+f f a()一f B()I 4 j T o(A，B)=1 一 言 !2 二 鱼!=三 1 2 1 !厶 二 !2 ：2 今通过例子对以上公式与本文公式(1)进行比 较 例 1 设 X=，X 上 的 Va g u e 集 A，B1、B 2、B3、B4、B5、B 6、B7及 由以上 公式 所 得 的 A 与 B (=1，2，7)之 间的相似度量 由如下表 1 给出 表 1 Va g u e 集 A与B，之间的相似度量 1 2 3 4 5

18、6 7 0 4，0 4，0 4，0 4，0 4，0 4，0 4，A 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8 0 3，0 3，0 3，0 4，0 4，0 5，0 5，B 0 7 0 8 0 9 0 7 0 9 0 7 0 8 Tc 0 9 0 9 5 1 0 9 5 0 9 5 1 0 9 5 TH 0 9 0 9 5 0 9 0 9 5 0 9 5 0 9 0 9 5 TL 0 9 0 9 5 0 9 5 0 9 5 0 9 5 0 9 5 0 9 5 T0 0 9 0 9 3 0 9 0 9 3 0 9 3 0 9 0 9 3 T 0 9 3 0 9 2 2 5 0 8 9

19、O 9 2 7 5 0 9 1 2 5 0 9 3 0 9 3 7 由表 中可看出，相对于 Va g u e 集 A，若利用度量 函数，则 B2、B4、B5、B7 不可分辨，B3、B6 不可分 辨；若利用度量数 T H或，则 B 2、B 4、B B7 不可 分辨，B】、B 3、B 6 不可分辨；若利用度量函数 T j，则 B2、B3、B 4、B5、B6、B7 均不可分辨；若利用本文提出 的度量 函数 T，则 只有 B 、B 不可分辨 由此知，本 文给出的度量公式有更强 的分辨力 文献 6 文献 9 给 出的度量公式仅考虑元 素在模糊集中的真假隶属度，而本文给出的公式同 时考虑到元素相对于模糊集

20、的踌躇性，且真假隶属 度作为一定的权数影响到肯定与否定两方面的隶属 程度，所以更具合理性 以下说明 Va g u e 集之 间的相似度在模式识别 中 的应用 识别规则 设论域 X 上 m 个标准模 型A，k=1，2，z，待识别模型 B 若存在某个 k 0 1，2，使得 T(A ，B)=m a x T(A ，B)，其中 o l H l T(A，B)表示 A 与 B之间的相似度量，则给 出结 论为模型 B应属于模型A 例 2 设 X=1，2，3 ，X上三个标准模型 由以下 Va g u e 集表示：A1=1，1 1+0 8，1 X 2+0 7，0 9 3，A2=0 8，0，9 x1+1，1 X 2

21、+0 9，1 3，A3=0 6，0 8 x1+0 8，1 X 2+1，1 3，待识别模型 B=0 5，0 7 x 1+0 6，0 8 x 2+0 8，0 9 x 3 利用公式(1)得 T(A1，B)=0 8 8 0 8，T(A2，B)=0 8 8 2 5，T(A3，B)=0 9 1 9 2，据识别规则，模型 B应属于A 6 结 束 语 本文借助 V a g u e 集中隶属度的三维含义及真假 隶属度对肯定与否定隶属程度的影响，给出度量 V a g u e 集之间相似程度 的一 系列讨论，并讨论其 相 应 的性质 通过与现有方法的比较阐明其优越性 对 连续论域的情况一并作了讨论 最后，将 Va

22、g u e 集之 间的相似度 量应用 于模 式识别 本 文的结论 为 V a g u e 环境下知识模式的比较与耦合提供了一种新 的更加合理的方法，该方法有望在更广泛 的领域 得 到应用 参考文献 1 Z a d e h L AF u z z y S e t s I n fo r ma t io n a n d C o n t ro1 1 9 6 5 8：3 3 8 3 5 6 2 Ga u W L，B u e h r e r D J Va g u e Set s I E E E Tr a n s o n s y s t e ms，Man，and C y b e rne t i c s，1 9

23、 9 3，2 3(2)：6 1 06 1 4 3 At ana s s o v KI n t u i t io n i s t i c F u z z y Set s F u z z y Set s and S y s t e m s 1 9 8 6 2 0(1)：8 79 6 4 B u s t i n e HB u fi l lo PVa g u e Set s A r e I n t u i t io n i s t i c F u z z y Set s 维普资讯 http:/ 2 期 刘华文：模糊模式识别的基础 相似度量 1 4 5 F u z z y S e t s a n d S

24、 y s t e ms，1 9 9 6，7 9(3)：4 0 3 4 0 5 5 C ben S M Me a s u r e s o f S im i l a r i t y b e t w e e n V a g u e S e t s F u z z y S e t s and S y s t e ms，1 9 9 5，7 4(2)：2 1 7 2 2 3 6 C benS M S i m i l a r i t y Me a s u r e bet wee nV a g u e Set s and betweeh E l e n e nt s I EEE Tr a n s o n S

25、y s t e ms。Man，a n d Cy b e r ne t ic s，1 9 9 7，2 7 (1)：1 5 31 5 8 7 H o n g DH，K imC AN o t e o n S i m i l a ri t y Me a s u r e s betwee nV a g u e Se t s and be t we e r l El e me n t s I nf o mmt io n sc i e n c e s，1 9 9 9。1 1 5：8 3 9 6 8 李凡，徐章艳 V a g u e 集之间的相似度量 软件学报，2 0 0 1，1 2 (6)：9 2 29 2

26、 7 9 李艳红，迟忠先，阎德勤 V a g u e 相似度量与 V a g u e 熵 计算机科 学，2 0 0 2，2 9(1 2)：1 2 91 3 2 1 O H o n g D H，C h o i C HMu l t i C ri t e ri a F u z z y D e c i s io n Ma k i n g Prob l e ms B a s e d o n Va gu e Set Th e o r yFu z z y Se t s an d Sy s t e ms，2 0 0 01 1 4(1)：1 0 31 1 3 BAS I S 0_F FUZZY P ATT ER

27、N RECoGNI TI oN S I M I LARI TY M EAS URES Li u Hu a we n (S c h o o l o fMa t h e ma t i c s a n d S y s t e m Sci e n c e s，S h a n d o n g I n i v e r s i t y，J i n a n 2 5 0 1 0 0)ABS TRACT Th e p r o b l e m o f s i mi l a r i t y me a s u r e b e t we e n f u z z y s e t s i n p a t t e r n r

28、e c o g n i t i o n i s d i s c u s s e dA set o f n e w me t h o d s f o r me u r i n g t h e d e g r e e o f s i mi l a r i t y be t ween v a g u e s e t s a s a g e n e r a t i o n o f Z a d e h S f u z z y set s i s p r o p o s e d a n d t h e i r p r o p e r t i e s a r e d i s c u s s e dTh e

29、s en e w me t h e d sa l ei l l u s t r a t e d b y c)C mp s I3 nwi t ht h ep res e n t me a s u r eme t h o d s t h a t t h e y h a v e s t r o n g e r d i s c r i mi n a t i o nF u r t h e r mo r e，a set o f c o r r e s p o n d i n g me t h od s f o r me a s u rin g t h e d e g r ee o f s i mi l a

30、 r i t y be t ween v a g u e set s i n a con t i n u o u s u n i v e r se i s g i v e n F i n a l l y，t h e s i mi l a r i t y meas u r e s be t ween v a g u e set s a r e a p p l i e d t o p a t t e r n r e cog n i t i o n K e y Wo r d s F u z z-y S e t s，V a g u e Set s，I n t u i t io n i s t i c F u z z y Set s，S imi la ri t y Meas u r e s，P a t t e r n R e c o g n i t io n 维普资讯 http:/