边坡稳定性分析的Sarma模式及其可靠度计算方法.pdf

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1、2006年4月水 利 学 报SHUILIXUEBAO第37卷 第4期收稿日期:2005207211基金项目:国家自然科学基金项目(50378036)作者简介:苏永华(1966-),男,湖南涟源人,博士,副教授,主要从事地下及岩土结构稳定可靠性方面的研究。E-mail:syh5327 文章编号:055929350(2006)0420457207边坡稳定性分析的Sarma模式及其可靠度计算方法苏永华,赵明华,邹志鹏,欧阳光前(湖南大学 土木工程学院,湖南 长沙 410082)摘要:推导了边坡Sarma力学模式稳定性分析的有关公式,揭示了其稳定性系数是隐式函数的特点,研究了该隐式稳定性系数的迭代计算

2、方法。针对Sarma模式和经典响应面法的特点,将响应面中的有限元数值模拟以Sarma模式中隐含稳定性系数的迭代方法代替,而隐含稳定性系数迭代计算过程中随机变量的抽样则遵从响应面中的规则,将传统的响应面思路与Sarma模式结合起来,形成了一种新的边坡稳定可靠性响应面分析方法。最后采用此方法分析了某一边坡工程的稳定可靠性,并把分析过程与结果与蒙特卡洛模拟法计算结果进行对照,表明该方法计算效率较高,原理简单,精度满足要求。关键词:边坡稳定性;Sarma模式;响应面;可靠度分析中图分类号:TU41316文献标识码:A岩土边坡是一种复杂的地质体,其稳定性取决于岩土的物理力学性质、破坏模式。这些因素都存在

3、不确定性,为了考虑这些不确定性,引进了以概率统计为手段的可靠度分析方法。可靠度分析方法中极限状态方程的建立是以稳定系数计算为基础的。对于边坡而言,由于滑动模式的复杂性,在大多数情况下边坡稳定性系数都没有显式表达,无法利用常规的可靠度方法进行分析,只能求助于随机有限元1,2或蒙特卡洛模拟法3。随机有限元法需要开发程序,其运算周期长、数据的处理和分析工作量大,目前在岩土工程中商业化的软件很少。蒙特卡洛模拟法在通常情况下达到收敛的次数在10万次以上4,亦需要进行大量抽样计算。为了利用解析法的优点并减少计算工作,有学者提出响应面方法5。响应面方法由有限元数值模拟、定值抽样规则及结构可靠度极限状态方程拟

4、合三部分组成。但其有限元计算的准确性与计算者的经验有关,而且计算结果信息的利用率很低。本文的研究以Sarma方法为例,充分利用边坡稳定性分析中已经成熟的模式,为边坡稳定可靠度分析研究一种精度满足要求,计算过程较为简便的方法。1 边坡Sarma分析方法稳定性系数计算111Sarma方法力学模型 岩质边坡稳定性分析的Sarma分析方法,于20世纪70年代由Sarma提出6,7,首先用于水库大坝坝体的稳定性计算。坝体在地震力作用下,滑面通常为非圆曲面。计算中引用一个水平地震加速度系数K(地震系数K是边坡质点最大加速度与重力加速度g的比值),它代表地震作用的大小,其值表示地震烈度的大小。K对边坡稳定的

5、影响在本质上与边坡岩体的物理力学参数ci、i、ci、i是一样的。它是稳定性系数Fs函数的一个自变量。其力学模式如图1所示,图1(a)为条块划分示意图,条块划分可以根据岩土体性质和实际界面采用竖直或倾斜界面,无须象其他方法需要首754 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/先采用一些假设条件;图1(b)为分条的详细受力分析图。模型中各物理量的含义如下:Fi为第i条块坡面锚索或锚杆等施加给条块的力及其它坡面荷载,kN;i为第i条块坡面荷载与水平面的夹角,();Wi

6、为第i条块的自重,kN;Kc为临界水平地震加速度系数;Ei、Ei+1为作用在第i条块两侧而的正压力,kN;Xi、Xi+1为作用在第i条块两侧面的剪切力,kN;Ni为作用在第i条块底滑面的正压力,kN;Ti为作用在第i条块底滑面的剪切力,kN;Ui为作用在第i条块底滑面上的静水压力,kN;PWi、PWi+1为作用在第i条两侧静水压力,kN;i为第i条块底滑面与水平面的夹角,();i、i+1为第i条块两侧与铅直面的夹角,();ci、i分别为第i条块底滑面的内聚力和内摩擦角,ci、i分别为第i条块侧滑面的内聚力和内摩擦角。图1Sarma法计算112 稳定性系数Fs与Kc关系 设在临界水平地震加速度系

7、数为Kc条件下的边坡稳定性系数(或称强度储备系数)为Fs。根据边坡稳定的极限平衡分析原理8采用如下形式:Ci=ciFs,i=iFs,Ci=ciFs,i=iFs(1)根据边坡地质体最一般的情况,假设分条是倾斜的,分条编号自下而上递加,首先确定Kc。分析时按如下过程进行。(1)采用边坡极限平衡原理,即在建立力平衡方程和极限平衡方程时,以Ci,i,Ci,i代入。(2)按照 Fx=0,Fy=0建立力平衡方程。对每一条块,取 Fx=0,则有Ticosi-Nisini=KcWi+Xi+1sini+1-Xisini+Ei+1cosi+1-Eicosi-Ficosi(2)取 Fy=0,则有Nicosi+Tis

8、ini=Wi+Xi+1cosi+1-Xicosi-Ei+1sini+1+Eisini+Fisini(3)(3)采用Mohr-Coulomb准则建立极限平衡方程,底滑面上应有Ti=(Ni-Ui)tani+cibiseci(4)分条斜截面上也有极限平衡,按Mohr-Coulomb准则,应有(n-1)个Xi与Ei的关系式Xi=(Ei-PWi)tan i+Cidi(5)Xi+1=(Ei+1-PWi+1)tan i+1+Ci+1di+1(6)PWi为斜截面上的水压力,以分条自重乘百分数P表示,又Ni=Ni+Ui,Ei=Ei+PWi(7)为底滑面及斜截面上全压力。将式(4)式(6)代入式(2)、式(3),

9、消去Ni,解Ei,则有Ei+1=ai-piKc+Eiei(8)式(8)为递推方程,将其逐个条块(i=1,2,n)代入展开,有854 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/En+1=an-pnKc+EnenEn+1=(an+an-1en)-(pn+pn-1en)Kc+En-1enen-1En+1=(an+an-1en+a1enen-1e1)-(pn+pn-1en+p1enen-1e1)Kc+E1ene1(9)利用边界条件,E1=EQ,En+1=RWZ2W2,因而

10、可得Kc=an+enan-1+enen-1an-2+enen-1en-2e2a1+enen-1en-2e2e1EQ-En+1pn+enpn-1+enen-1pn-2+enen-1en-2enp1(10)式中:ai、pi、ei为第i条块物理力学参数的函数,表达式如下:图2 某一地震基本烈度下Kc0的逼近模式图3Fs的迭代计算过程ai=WisiniFS-i+RicosiFS+Si+1siniFs-i-i+1cos i+1Fs-i-i+1+iFssec i+1Fs-SisiniFs-i-i+FicosiFs-i-icos i+1Fs-i-i+1+iFssec i+1Fs(11)pi=WicosiFs

11、-icos i+1Fs-i-i+1+iFssec i+1Fs(12)ei=cos iFs-i-i+iFssec iFscos i+1Fs-i-i+1+iFssec i+1Fs(13)Ri=biciFsseci-UitaniFs(14)Si=diciFs-PWitan iFs(15)式中:di、di+1为边坡第i条块前后侧面的长度;bi为边坡第i条块底滑面在水平面上的投影的长度;EQ为边坡前缘支护力;ZW为后缘拉裂缝充水深度,可根据边坡排水率自动调整;RW为水的容重。从纯粹的表达方式看,式(10)是根据边坡稳定极限平衡分析原理推导得到的Kc与ai、pi、ei等的函数表达式,由于ai、pi、ei是

12、Fs、ci、i、ci、i的过渡表达方式,而在因果关系上看,在Kc、Fs、ci、i、ci、i等变量中,Fs是导出量,其大小变化决定于Kc、ci、i、ci、i等基本变量。因此式(10)实际上是Fs与Kc、ci、i、ci、i等的函数关系。根据式(10)式(15)可知,稳定性系数Fs和所有条块的物理力学参数ci、i、ci、i(i=1,2,n),几何参数i、i+1、i(i=1,2,n)及Kc的函数关系是复杂的和高度非线性的。113 稳定性系数Fs的迭代计算 在确定性理论中,边坡稳定性分析的目标就在于已知Kc、ci、i、ci、i(i=1,2,n)等的条件下,求得稳定性系数Fs的值,即计算边坡在某一水平地震

13、系数Kc0条件下的稳定系数F3s。对于式(10)这样的高度非线性函数,只能954 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/采用迭代逐步逼近方法求解。根据数学分析原理结合式(10)的表达形式,取Kc0为程序迭代逼近值9,计算KcKc0时的稳定系数F3s(根据大量试算,Fs与Kc呈单调递减的函数关系,如图2所示),即为边坡在该地震烈度条件下的稳定系数。其逼近模式为:Fs=Fs+Kc,其中Kc=Kc-Kc0,直到Kc0为止。这一过程需要编制程序,通过计算机完成,程序流

14、程图如图3所示。2 基于Sarma模式的响应面方法在式(10)中,由于Fs出现在方程右边分子和分母的每一项中,不能单独剥离出来移到方程的左边,无法使Fs通过Kc、ci,i,ci,i(i=1,2,n)的显式表达出来,只能为Fs=f(Fs,Kc,c1,cn,c1,cn,1,n,1,n)的形式。对于这种情况,由常规方法无法建立可靠度分析所必需的极限状态方程。为解决这个问题,将响应面思想引入,以Sarma稳定性系数的求解模式作为模拟技术,建立近似极限状态方程,然后再进行可靠度计算。211 状态方程拟合的RSM 传统的响应面(Response Surface Method,简称RSM)方法7以有限元数值

15、试验为基础。对于RSM的研究以往大都集中在近似方程的形式及计算精确程度方面1012,而对其中的试验技术则没有学者涉及。RSM方法的基本思想是通过设计一系列变量值,每一组变量值组成一个试验点,然后逐点进行结构有限元数值计算得到对应的功能函数值,通过这些变量组和功能函数值来拟合一个明确表达的函数关系,以此函数关系为基础计算可靠概率或失效概率。设结构有n个随机变量x1,x2,xn,兼顾简单性和灵活性,对于拟合函数的表达形式,通常取不含交叉项的二次多项式形式12?Fs=?g(X)=a+ni=1bixi+ni=1dix2i(16)式中:a、bi、di(i=1,2,n)为待定系数,总计2n+1个待定系数。

16、RSM方法运算过程按下述步骤进行:假定迭代点X(0)=(x(0)1,x(0)i,x(0)n),初次计算一般取平均值点;利用有限元数值模拟方法得出功能函数?F(0)s=g(x(0)1,x(0)i,x(0)n),?F(i)s=g(x(0)1,x(0)ifi,x(0)n),得到2n+1个点值,其中系数f在第一轮估计中取3,在以后的迭代计算中取1,i为xi的均方差;由于式(16)有2n+1个待定系数,利用上述有限元求得的2n+1函数值,解出待定系数a、bi、ci(i=1,2,n)确定二次多项式近似功能函数。在确定了工程近似状态函数后,根据经典可靠度模型建立方法有?Fs-1=?g(X)-1=a+ni=1

17、bixi+ni=1dix2i-1(17)则极限状态方程表达式为g(X)=a+ni=1bixi+ni=1dix2i-1=0(18)利用JC法(国际结构安全委员会推荐的可靠度计算方法,详细计算过程见后)求解x3(K)和可靠度指标(K),其中上标K表示第K步迭代。判断收敛条件|(K)-(K+1)|(19)是否满足(为预先设定的误差限,在本文中设为0105),如果不满足,则用插值法得到新的展开点x(K)M=x(K)+(x3(K)-x(K)g(x(K)g(x(K)-g(x3(K)(20)此插值可使x(K)M较接近极限状态曲面,然后返回 进行下一步迭代,直至收敛条件满足。212 基于Sarma模式的响应面

18、方法 岩土体是地质体,经历了各种构造运动,其物理力学参数存在随机性和变异性。在同一边坡工程中,不同性质的地质体及其界面、物理力学参数的变异性和随机性程度不同。采用Sarma模式分析边坡的稳定可靠度时考虑了地震因素,在模型中采用系数Kc表达,它表示064 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/地震烈度。在一个边坡工程范围内,其变异性和随机性相对于地层的物理力学参数而言是非常微小的。在可靠度分析中可以作为一个定值考虑。不失一般性,将所考虑的基本随机参数表示成一个随

19、机向量的形式为X=(X1,X2,Xn)。根据式(10)有Fs=f(Fs,Kc,c1,cn,c1,cn,1,n,1,n),则结构相应的实际功能函数为Fs=g(Fs,X1,X2,Xn)(21)上式右边含有Fs,无法求解。按响应面思路,设?Fs=?g(X)=a+ni=1bixi+ni=1dix2i(22)作为式(21)的响应面函数。对于式(21)的求解和随后可靠度的计算,是通过将响应面思想与Sarma的结合进行的。具体结合点在于首先将经典RSM方法中运算过程中的步骤 有限元数值模拟方法替换为Sarma模式中的Fs迭代计算程序。然后在Sarma模式稳定性系数的迭代计算中,随机变量的抽样按照RSM方法中

20、的规则,即在Fs的迭代计算程序中,按照RSM,第一次抽取的样本点为随机变量的均值点:X(0)=(x(0)1,x(0)i,x(0)n),以后各次抽样按照X(i)=(x(0)1,x(0)ifi,x(0)n)(系数f在第一轮估计中取2或3,在以后的迭代计算中取1,i为xi的均方差)规则进行。这样使RSM和Saram相互嵌套,结合在一起,形成了一种新的基于Saram稳定分析模式的响应面方法。这种方法解决了稳定性系数计算式为隐函数的边坡可靠性中状态方程无法直接建立的难题,而且充分利用已经成熟的边坡稳定性分析模式,无须采用另外的有限元工具和进行大量有限元计算,无论在计算效率、工作量及分析原理上都优于传统的

21、响应面方法。213 可靠度指标的计算 在RSM方法的步骤 中,对于验算点x3(K)和可靠度指标(K)的计算采用的是国际结构安全委员会推荐的JC计算方法,基本原理和过程如下10。设X=(X1,X2,Xn)为相互独立的正态随机变量,极限状态方程为坐标系OX1X2Xn中的一个曲面,把n维空间划分为安全和失效两个区域。图4 三维正态空间及验算点引入标准化正态随机变量,令?Xi=Xi-XiXi(i=1,2,n)(23)可靠度指标是标准正态坐标系?O?X1?X2?Xn中原点?O到极限状态曲面的最短距离?OP3,即P3点沿其极限状态曲面切平面的法线方向至原点?O长度,法线的垂足P3成为验算点,图4为3个正态

22、随机变量的情况。极限状态曲面P3的法线?OP3对坐标向量的方向余弦为cos?Xi=cosXi=-9?g9XiP3Xini=19?g9XiP3Xi212(24)由方向余弦有:x3i=?OP3cosXi=cosXi,x3i=Xi+XicosXi(25)因为P3是极限状态曲面上的一点,故?g(X3)=?g(x31,x32,x3n)=0(26)式中:Xi、Xi为随机变量Xi的均值和方差。由式(24)(26)联立可求解和x3i(i=1,2,n)。根据可靠度指标,工程的稳定概率Ps或者失效概率Pf为Ps=()或Pf=(-)(27)164 1994-2007 China Academic Journal E

23、lectronic Publishing House.All rights reserved.http:/3 应用与比较311 工程概况 某边坡相对高差42m,因挖方形成一个有两级台阶的高陡边坡,其中二级台阶以上边坡坡度为11,二级台阶以下坡度为10175。边坡主要由震旦系云开群混合花岗岩组成,表层为第四系洪坡积物。边坡岩体结构破碎,削坡成型后,与坡面垂直距离20m左右范围内存在一个构造破碎带,呈强风化散体结构,岩土体极其破碎,锚索钻孔施工经常卡钻或漏风。以此为界,破碎带以上为中风化碎裂结构,局部为块状结构;破碎带以下为中、微风化块状结构,岩体较完整,坚硬。经分析该风化破碎带界面为危险滑动面,

24、为折线形分布。因此,该边坡为一典型的复杂岩质边坡。本区地震基本烈度为7度。边坡采用锚索框架梁支护方案,单宽(1m)加固总力为3700kN。在研究其工程地质条件后,将容重、底滑面ci和i值、侧滑面ci和 i值作为随机变量,经检验,它们均不拒绝正态分布。根据对边坡岩土体物理力学参数统计分析,边坡底滑动面容重,底滑面ci,i值均值分别为24148kNm3,361067kPa,27111,标准差分别为11729kNm3,41738kPa,21636。侧滑面ci,i均值分别为:491645kPa,331674,相应标准差分别为51134kPa,31021。312 计算过程及精确度比较 对于上述工程,在可

25、靠度分析中主要考虑5个随机参数,即边坡底滑动面容重,底滑面ci、i,侧滑面ci、i。令X1=,X2=ci,X3=i,X4=ci,X5=i,将随机变量表示为随机向量的形式X=(X1,X2,X3,X4,X5),则按照基于Sarma模式的响应面方法,Fs的响应面拟合方程为:?Fs-1=?g(X)-1=a+ni=1bixi+ni=1dix2i-1=a-1+5i=1bixi+5i=1dix2i(28)式(28)中有5个随机变量,共11个待定参数。以饱水7度地震情况为例,分析边坡的可靠度。根据RSM方法的抽样规则,第一次抽样点为均值X(0)=(241480,361067,271110,491645,331

26、674),代入Fs的迭代计算程序,得到F(1)s=119602。根据RSM的抽样规则,抽取共11组样本,代入Fs计算程序,得到11个相应的Fs值,即可确定式(28)中的待定系数a,b1b5,d1d5为:a=317654,b1=-114456,b2=51670,b3=-21087,b4=41078,b5=71056,d1=-131894,d2=910489,d3=171894,d4=-201412,d5=171589。将上述系数代入式(18)并令其为0,则得到极限状态方程,然后按照213节介绍的JC法求得验算点为:x3(1)=(271783,291756,311082,441511,301235

27、),相应的(1)=317745,至此第一次迭代计算结束。一共进行7轮迭代计算。|(7)-(6)|=|312781-312302|=010479。故该边坡的可靠度为(7)=312781,根据式(27)可得Ps=()=(312302)=99194991%。采用本文方法模拟计算一共是7个循环,每一循环稳定性系数计算为11次,总共抽样77组,即稳定性系数的迭代计算次数为77次。将Sarma模式与Monte-Carlo方法结合,通过抽样进行Monte-Carlo模拟计算,在地震烈度为7度的情况下,对稳定性系数的迭代计算次数为10万次,得到在100%排水情况下边坡稳定可靠度为Ps=991893%,相应的可

28、靠度指标为=3107。两者的绝对差为|=012081,相对误差为|=0120813107=6178%。近似方法得到的可靠度指标与Monte-Carlo方法得到的准精确解存在差异,但基本在可接受的范围内。4 结语Sarma法可以用于评价各种破坏模式下边坡稳定,诸如平面破坏、楔形体破坏、圆弧面破坏和非圆弧面破坏等,而且它的分块的分条是任意的,无需条块边界垂直,从而可以对各种特殊情况的边坡破坏模式进行稳定性分析。但算法比较复杂,导致可靠性分析的极限状态方程无法建立。本文将数值响应模264 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing H

29、ouse.All rights reserved.http:/拟拟合极限状态方程中的抽样规则与Sarma模式稳定性迭代系数计算思路结合起来,提出了一种新的响应面方法。这一方法的计算效率高于以有限元为核心的传统响应面方法.充分利用已经成熟的边坡分析模式,分析原理比较简单。根据实例分析及比较也显示,计算精度基本满足要求,具有工程应用前景。参 考 文 献:1 刘宁,卓家寿.基于三维弹塑性随机有限元方法的可靠度计算J.水利学报,1996,(9):52-62.2 刘宁,刘光廷.随机徐变应力影响下重力坝时变可靠度初探J.水利学报,1999,(5):49-56.3 祝玉学.边坡可靠性分析M.北京:冶金工业出

30、版社,1993.4 宋玉香,刘勇,朱永全.响应面方法在整体式隧道衬砌可靠性分析中的应用J.岩石力学与工程学报,2004,23(11):1847-1851.5 Wong F S.Slope reliability and response surface methodJ.Journal of Geotechnical Engineering,1995,111(1):32-53.6 Sarma S K.Stability analysis of embankments and slopeJ.Geotechnique,1973,23(3):423-433.7 Sarma S K.Critical a

31、cceleration versus static factor of safety in stability analysis of earth dams and embankmentsJ.Geotechnique,1974,24(4):562-574.8 周昌寿,杜竞中,郭增涛,崔治光.露天矿边坡稳定M.北京:中国矿业大学出版社,1990.9 姚爱军,苏永华.复杂岩质边坡锚固工程地震敏感性分析J.土木工程学报,2003,36(11):34-38.10 徐军,郑颖人.响应面重构的若干方法研究及其在可靠度分析中的应用J.计算力学学报,2002,19(2):217-222.11 赵国藩,金伟良,

32、贡金鑫.结构可靠度理论M.北京:中国建筑工业出版社,2002.12 苏永华,刘晓明,赵明华.摩擦桩承载稳定概率分析方法J.水利学报,2005,36(4):433-439.Sarma model for slope stability analysis and itsreliability degree calculation methodSU Y ong-hua,ZHAO Ming-hua,ZOU Zhi-peng,OUY ANG Guang-qian(Hunan University,Changsha410082,China)Abstract:The formula for analyzin

33、g the slope stability based on the Sarma model was deduced and theiteration method for determining the implicit stability coefficient was studied.The finite element numericalsimulation in classical response surface method was substituted by iterative calculation of implicit stabilitycoefficient of s

34、lope in Sarma model.Sampling rule of random variables in iterative calculation method ofimplicit stability coefficient obeys sampling rules of response surface method.An idea of classicalresponse surface method was combined with Sarma model and a new response surface method of slopestability reliabi

35、lity degree analysis was established.The new method was applied to analyze the stabilityofa slope and the procedure and calculation result were compared with those of Monte-Carlo method.It isfound that the calculation efficiencyof the proposed method is much higher and the accuracyof calculationresult is acceptable.Key words:slope stability;Sarma model;response surface method;reliability degree analysis(责任编辑:韩昆)364 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/