(完整版)正弦定理、余弦定理、解三角形-(修改的).doc

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1、Learn General Secretary on two to learn a strengthening four Consciousnesses important speech caused a strong reaction in the country. Time, watching red treasure, the origin of building the party back to power, how to strengthen services for the masses, improve party cohesion, fighting to become th

2、e grass-roots party members and masses hot topic. Grass-roots party organizations two is to strengthen the service of party members and cadres, the pioneer spirit. Distribution of grass-roots party organizations in all walks of people, clothing, shelter, which belongs to the nerve endings of the par

3、ty organization and comments reputation has a direct perception of the masses. Strengthen the party ahead of the pedal spirit; strengthen the party members and cadres success does not have to be me and the first to bear hardships, the last to service spirit to set the partys positive image among the

4、 people is important. Grass-roots party organizations two is to cleanse all people not happy not to see stereotypes, establish the honest faithful, diligent faith for the people. No need to avoid mentioning that, some members of our party can not stand the money, corrosion of temptation, thin, Xu Zh

5、ou, such abuse and corrupt bribery, malfeasance borers, and rats. Two, is to clean up, thin, Xu, Zhous solution to restore the partys fresh and natural, solid and honest work style. Cleansing take, eat, card, undesirable and behaviour, cross, hard and cold, push attitude. Grass-roots party organizat

6、ions two is to strengthen the sense of ordinary party members, participating in consciousness, unity consciousness. For reasons known, members of grass-roots party branches less mobile, less resources, and the construction of party organizations have some lag. Two studies, is to focus on the grass-r

7、oots party branches loose, soft, loose problem, advance the party members and cadres, a gang working, Hong Kong report. Strong cleanup actions, style and rambling, presumptuous unqualified party members, pays special attention to party members and cadres joining party of thought problem. Party build

8、ing is obtained in the long-term development of our partys historical experience accumulated. Two is our party under the new historical conditions, strengthen the partys construction of a new rectification movement. Grass-roots party organizations should always catch the hard work, results-oriented.

9、 Two educational outcomes are long-term oriented and become an important impetus for the work. Two should have three kinds of consciousness two study and education, basic learning lies in the doing. Only the Constitution address the series of party rules, and do solid work, be qualified party member

10、s had a solid ideological basis. Only the learning and do real unity, to form a learn-learn-do-do the virtuous cycle, and ultimately achieve the fundamental objective of education. This requires that the Organization解三角形正弦定理（一）正弦定理：，(2)推论：正余弦定理的边角互换功能 ， ， = 典型例题:1在ABC中，已知，则B等于（ ）A B C D2在ABC中，已知，则这样

11、的三角形有_1_个3在ABC中，若,求的值解由条件同理可得练习: 一、 选择题1一个三角形的两内角分别为与，如果角所对的边长是，那么角所对的边的边长为（） 2在ABC中，若其外接圆半径为，则一定有（） 3在ABC中，则ABC一定是（）等腰三角形 直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形或直角三角形解：在ABC中，由正弦定理，得。2A2B或2A2B180，AB或AB90。故ABC为等腰三角形或直角三角形。二、填空题4在ABC中，已知且ABC，则_5如果，那么ABC是_等腰三角形_三、解答题6在ABC中，若，面积ABC，求的值解由条件ABC 当B为锐角时，由当B为钝角时，由7在ABC中，分别为内角，的

12、对边，若,求的值解 又 又 8在ABC中，求证：解：.111正弦定理（二）三角形的面积公式：（1）= （2）s=（3）典型例题:【例1】在ABC中，已知，则的值为 （ ） 【例2】在ABC中，已知，则此三角形的最大边长为_答案：【例3】ABC的两边长分别为3cm,5cm,夹角的余弦是方程的根，求ABC的面积解 设两边夹角为,而方程的两根ABC 【例4】在锐角三角形ABC中，A=2B，、所对的角分别为A、B、C，试求的范围。分析：本题由条件锐角三角形得到B的范围，从而得出的范围。【解】在锐角三角形ABC中，A、B、Cc新的三角形的三边长为ax、bx、cx，知cx为最大边，其对应角最大而(ax)2

13、(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形5.在ABC中，cos2，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为 ()A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形解析：cos2，cosB，a2c2b22a2，即a2b2c2，ABC为直角三角形答案：B二、填空题6ABC中，ABC，则_7. 在ABC中，已知,ABC,则_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，证明。解由余弦定理,知，9已知圆内接四边形的边长，求四边形的面积解如图，连结，则四边形面积ABD+BCD=A+C=1800 s

14、in= sin C=16 sin由余弦定理,知在ABC中，在CDB中,又120016sin10、 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，（1）求角C的大小；（2）求ABC的面积解：（1）由 4cos2C4cosC解得 0C180,C=60 C60（2）由余弦定理得C2a2b22ab cos C 即 7a2b2ab 又ab5 a2b22ab25 由得ab6 SABC113正、余弦定理的综合应用典型例题:例题在中，若，则的大小是_.解： a:b:c5:7:8设a5k，b7k，c8k，由余弦定理可解得的大小为.例题.在ABC中，满足条件，则_ ，ABC的面积等于_ 答案：；例题3在ABC中

15、，A60，b1，求的值。错解：A60，b1，又，解得c4。由余弦定理，得又由正弦定理，得。辨析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。正解：由已知可得。由正弦定理，得。例题4. 在ABC中，角A、B、C对边分别为，已知，（）求的大小；（）求的值解 （）在ABC中，由余弦定理得 （）在ABC中，由正弦定理得 练习:一、 选择题在ABC中，有一边是另一边的倍，并且有一个角是，那么这个三角形（）一定是直角三角形 一定是钝角三角形可能是锐角三角形 一定不是锐角三角形点评：三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有

16、：三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。在ABC中，角A、B、C所对的边分别为，且，则的值为（）A B C D已知ABC中，（）成立的条件是（） 且 或4.ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为()A . B . C . D9解析：由余弦定理得：三角形第三边长为 3，且第三边所对角的正弦值为 ，所以2RR.二、填空题5已知在ABC中，最大边和最小边的长是方程的两实根，那么边长等于_7_6已知锐角的三内角A、B、C的对边分别是 则角A的大小_； 7在ABC中，是其外接圆弧上一点，且，则的长是_5_三、解答题8在ABC中，角A、B、C对边分别为，为A

17、BC的面积，且有，（）求角的度数；（）若，求的值解 由二倍角公式，已知等式化简为或120当时，由余弦定理,得当120时，由余弦定理,得9ABC中的三和面积满足，且，求面积的最大值。解由余弦定理,得 02当时，max =10在中，已知内角，边.设内角,面积为.(1) 求函数的解析式和定义域；（2）求的最大值解：（1）的内角和，由得应用正弦定理，知，因为，所以，（2）因为 ，所以，当，即时，取得最大值11在中, 角A、B、C的对边分别为、.若的外接圆的半径,且, 求B 解析：由，代入得整理得即12 应用举例（一）典型例题:图1ABCD例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸

18、标记物C，测得CAB=30，CBA=75，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求ABC在AB边上的高，而在河的一边，已测出AB长、CAB、CBA，这个三角形可确定。解析：由正弦定理得，AC=AB=120m，又，解得CD=60m。点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”210在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )A米 B米 C米 D米A3在湖面上高h处，测得云彩仰角为a，而湖中云彩影的俯角为b，求云彩高.解 C、C解关于点B对称，设云高CE = x 则CD = x - h，CD = x + h，在RtACD中，

19、在RtACD中，, 解得 .4、如图，为了测量塔的高度，先在塔外选和塔脚在一直线上的三点、，测得塔的仰角分别是，求求的大小及塔的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因为 sin4=2sin2cos2cos2=,得 2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 两式相减，得x=5,h=15在 RtACE中,tan2=2=30,=1

20、5 答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2，AC = BC =30m , AD = CD =10m在RtACE中，sin2= - 在RtADE中，sin4=, - 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=155.为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。解： 方案一：需要测量的数据

21、有：点到，点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理方案二：需要测量的数据有：点到点的俯角；点到，的俯角；的距离（如图所示）第一步：计算由正弦定理；第二步：计算由正弦定理；第三步：计算由余弦定理练习:一、选择题1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是( )A.10海里 B.海里C. 5海里 D.5海里2海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B、C间的距离是 ( )A.10海里 B.海里

22、C. 5海里 D.5海里3如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得 ACB=60，BCD=45，ADB=60，ADC=30，则AB的距离是（ ）.（A）20（B）20（C）40（D）204、甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A分钟B分钟C21.5分钟D2.15分钟二、填空题5一树干被台风吹断折成与地面成30角，树干底部与树尖着地处相距20米，则树干原来的高度为 6甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为6

23、0，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 三、解答题7如图：在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进100m后，又从点B测得斜度为45，假设建筑物高50m，求此山对于地平面的斜度q解：在ABC中，AB = 100m , CAB = 15, ACB = 45-15 = 30由正弦定理： BC = 200sin15 在DBC中，CD = 50m , CBD = 45, CDB = 90 + q, 由正弦定理： cosq =q = 42.94北乙甲8如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于

24、甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解法一：如图，连结，由已知，北甲乙又，是等边三角形，由已知，在中，由余弦定理，因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里解法二：如图，连结，由已知，北乙甲，在中，由余弦定理，由正弦定理，即，在中，由已知，由余弦定理，乙船的速度的大小为海里/小时答：乙船每小时航行海里9某船在海上航行中不幸遇险，并发出呼救信号，我海上救生艇在A处获悉后，立即测出该船的方位角为45，与之相距10 nmail的C处，还测得该船正沿方位角105的方向以每小时9 n

25、mail的速度向一小岛靠近，我海上救生艇立即以每小时21 nmail的速度前往营救，试求出该海上救生艇的航向及与呼救船相遇所需时间。解：设所求最大圆的半径为x，则在ABC中 又在ACD中：又在ACD中：10在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向300 km的海面P处，并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？角：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km)若在时刻t城市O受到台

26、风的侵袭,则由余弦定理知由于PO=300,PQ=20t故即 解得 答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时12 应用举例（二）典型例题：例1一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南60西， 另一灯塔在船的南75西，则这只船的速度是每小时（ ）A.5海里 B.5海里 C.10海里 D.10海里例2某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是 小时 图3ABC北4515例3 如图3，

27、甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？ 解析：设用t h，甲船能追上乙船，且在C处相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，设ABC=，BAC=。=1804515=120。根据余弦定理，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）AC=28=21 n mile，BC=20=15 n mile。根据正弦定理，得，又=120，为锐角，=arcsin，又，arcsin，甲船沿南偏东arcsin的方向用h可以追上乙船。点评：（1）航

28、海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ABC、AB边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t有关。这样根据余弦定理，可列出关于t的一元二次方程，解出t的值。 （2）在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解例4 已知ABC，B为B的平分线，求证：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角

29、形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论.证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线.ABDDBC sinABDsinDBC.ADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC练习：一、选择题1台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为（ ）A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h2已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、

30、D两点测得A的点仰角分别为、（）则A点离地面的高AB等于（ ）A B CD 3在ABC中，已知b=2，B=45，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a的取值范 围是（）AB CD二、填空题4我舰在敌岛A南50西相距12nmile的B处，发现敌舰正由岛沿北10西的方向以10nmile/h的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要速度的大小为 14nmile/h 5在一座20 m高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为_20（1+） m _三、解答题6如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮，用一条（足够长）绳子跨过它们，并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体，另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体，为使系统保持平衡状态，此物体的质量应是多少?（忽略滑轮半径、绳子的重量） 解：设所求物体质量为m kg时，系统保持平衡，再设F1与竖直方向的夹角为1，F2与竖直方向的夹角为2，则有 （其中g为重力加速度）由式和式消去，得即.，由式知，式中 不合题意，舍去又4cos2130，解得经检验，当时，不合题意，舍去.2m6综上，所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时，系统可保持平衡.7海岛上有一座高出水面1000米的山，山顶上设有观察站A，上午11时测得一轮船在A的北偏东60的B处，俯角是30，11时10分，该船位于A的北偏西60的C处，俯角为60，