第八章_离散模型.pdf
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1、数学模型华中科技大学管理学院第八章第八章离散模型离散模型8.1 层次分析模型层次分析模型8.2 循环比赛的名次循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程y数学模型华中科技大学管理学院离散模型离散模型 离散模型离散模型:差分方程差分方程(第第7 7章章)、)、整数规划整数规划(第第4 4章章)、)、图论图论、对策对策论论、网络流网络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数只用到代数、集合及图论集合及图论(少许少许)的知识的知识数学模型华中科技大学管理学院8.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作日常工作、生活中的决策问题生活中的决策问题
2、 涉及经济涉及经济、社会等方面的因素社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用的作用,各因素的重要性难以量化各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的定性与定量相结合的、系统化系统化、层次化层次化的分析方法的分析方法数学模型华中科技大学管理学院目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析
3、法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色个目的地中按照景色、费用费用、居住条件等因素选择居住条件等因素选择.数学模型华中科技大学管理学院“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次个层次:目标层目标层O,准则层准则层C,方案层方案层P;每层有若干元素每层有若干元素,各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重通过相互比较确定各准则对目标的权重,及各方及各方案对每一准则的权重案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合将上述两组权重进行综合,确
4、定各方案对目标的确定各方案对目标的权重权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤成以上步骤,给出决策问题的定量结果给出决策问题的定量结果。数学模型华中科技大学管理学院1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11AijjiijnnijaaaaA1,0,)(层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量元素之间两两对比元素之间两两对比,对比采用相对尺度对比采用相对尺度设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比
5、较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地景色景色费用费用居住居住饮食饮食 旅途旅途景色景色费用费用居住居住饮食饮食旅途旅途数学模型华中科技大学管理学院nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA21222121211171242/11A成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况):(2/12112CCa):(43113CCa):(83223CCa 一致比较一致比较不一致不一致允许不一致允许不一致,但要确定不一致的允许范围但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况nwwwW,)1(21jiijwwa/令权向量),(21
6、Tnwwww成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量C1C2C3C1C2C3注意注意i、j的含义的含义第第1行行形成形成w1见见P226石头的石头的解释解释数学模型华中科技大学管理学院wAwnnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况nkjiaaaikjkij,2,1,满足满足的的正互反阵正互反阵A称称一致阵一致阵,如如 A的秩为的秩为1,A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致
7、(但在允许范围内但在允许范围内)的成对比较阵的成对比较阵A,建议用对应于最大特征根建议用对应于最大特征根 的特征向量的特征向量作为权向量作为权向量w,即即一致阵一致阵性质性质成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量矩阵A中有一个r阶子式D0,所有含有D的r+1阶子式都等于0,则A的秩为r。Ax=x方阵特征值特征向量如何求?见P238-239数学模型华中科技大学管理学院2 4 6 8比较尺度比较尺度aijSaaty等人提出等人提出19尺度尺度aij取值取值1,3,9及其互反数及其互反数1,1/3,1/9尺度尺度1 3 5 7 9 ija相同相同稍强稍强强强明显强明显强绝对强绝对强的重要性jiCC:j
8、iCC:aij=1,1/3,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵阵,算出权向量算出权向量,与实际对比发现与实际对比发现,19尺度较优尺度较优。便于定性到定量的转化便于定性到定量的转化:成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量数学模型华中科技大学管理学院一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知已知:n 阶一致阵的唯一非
9、零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证可证:n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且=n时为一致阵时为一致阵1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大越大,不一致越严重不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51n1 234567891110为衡量为衡量CI 的大小的大小,引入引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模拟得到随机模拟得到aij,形成形成A,计算计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI当当CR0.1时时,通过一致性检验通过一致性检验Saaty的结果如下的结
10、果如下代表了代表了一致阵一致阵代表了我们要代表了我们要考察的矩阵考察的矩阵A为什么为什么n-1?因为因为:1)除去除去 后后,还还n-1个特征值个特征值;2)A有有n个特征个特征值值为什么取为什么取0.1?*数学模型华中科技大学管理学院“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验1135/13/11125/13/13/12/117/14/1557123342/11A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T01
11、8.0155073.5CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图个顶点的双向连通竞赛图,存在正整数存在正整数r,使邻接矩阵使邻接矩阵A 满足满足Ar0,A称称素阵素阵seAkkklim 素阵素阵A的最大特征根为正单根的最大特征根为正单根,对应正特征向量对应正特征向量s,且且eAAsskkk)1()(0001100011000110A排名为排名为1,2,4,3sskkk)(,)(归一化后Ts)230.0,167.0,280.0,323.0(,4.1用用s排名排名1234(4)
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