数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--12章.pdf
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1、第十二章 多元函数的微分学 习习 题题 12.1 偏导数与全微分偏导数与全微分 1 求下列函数的偏导数:(1);(2);62456yyxxz+=)ln(222yxxz+=(3)yxxyz+=;(4);)(cos)sin(2xyxyz+=(5);(6))sin(coseyxyzx+=yxz2tan;(7)xyyxzcossin=;(8);yxyz)1(+=(9);(10))lnln(yxz+=xyyxz+=1arctan;(11);(12))(222ezyxxu+=zyxu=;(13)2221zyxu+=;(14);zyxu=(15),为常数;(16)为常数。1niiiua=xiajiijnji
2、jiijaayxau=,1,解解(1)234245yxxxz=,yxyyz45126=。(2)223222)ln(2yxxyxxxz+=,2222yxyxyz+=。(3)yyxz1+=,2yxxyz=。(4)2sin()cos(xyxyyxz=,)2sin()cos(xyxyxyz=。(5)sinsin(cosyyxyexzx+=,)sincos(yyxeyzx=。(6)=yxyxxz22sec2,=yxyxyz2222sec。(7)xyyxyxzcoscos1=xyyxxysinsin2+,xyyxyxyzcoscos2=xyyxxsinsin1。1课后答案网 w w w.k h d a w
3、.c o m(8)12)1(+=yxyyxz,+=xyxyxyxyyzy1)1ln()1(。(9)yxxzln1+=,)ln(1yxyyz+=。(10)注意,arctanarctanzxy=+211xxz+=,211yyz+=。(11)3(222zyxxu+=)(222zyxxe+,=yuxy2)(222zyxxe+,=zuxz2)(222zyxxe+。(12)1=zyxzyxu,=yuzyxzxln,=zuzyxzxy2ln。(13)()23222zyxxxu+=,=yu()23222zyxy+,=zu()23222zyxz+。(14)1=zyzxyxu,=yuxxzyzyzln1,=zuy
4、xxyzyzlnln。(15)niaxuii,2,1,?=。(16)niyaxunjjiji,2,1,1?=,njxayuniiijj,2,1,1?=。2.设22),(yxyxyxf+=,求及。)4,3(xf)4,3(yf解解 因为22221,1xyxyffxyx=+y,所以 52)4,3(=xf,51)4,3(=yf。3.设2eyxz=,验证02=+yzyxzx。证证 由于22231e,exxyyzzxyyy=2x,所以 02=+yzyxzx。2课后答案网 w w w.k h d a w.c o m4.曲线=+=4,422yyxz在点处的切线与 轴的正向所夹的角度是多少?)5,4,2(x解解
5、 以 x 为参数,曲线在点处的切向量为)5,4,2(2(,)(1,0,1xdx dy dzdx dx dx=),设它与 轴的正向所夹的角度为x,则(1,0,1)1cos(1,0,0)22=,所以4=。5.求下列函数在指定点的全微分:(1),在点;223),(xyyxyxf=)2,1((2),在点;)1ln(),(22yxyxf+=)4,2((3)2sin),(yxyxf=,在点和)1,0(2,4。解解(1)因为,所以 22(,)(6)(32)df x yxyydxxxy dy=+dydxdf=8)2,1(。(2)因为222222(,)11xydf x ydxdyxyxy=+,所以 dydxdf
6、218214)4,2(+=。(3)因为23cos2sin(,)xxdf x ydxdyyy=,所以 dxdf=)1,0(,dydxdf8282)2,4(=。6.求下列函数的全微分:(1);(2);xyz=xyxyze=(3)yxyxz+=;(4)22yxyz+=;(5)222zyxu+=;(6)。)ln(222zyxu+=解解(1)。dyxyydxydzxx1ln+=(2)。)(1(xdyydxxyedzxy+=3课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(3)dyyxxdxyxydz22)(2)(2+=。(4)dxyxxydz2322)(+=dyyxx23222)(+。(5)22
7、2zyxzdzydyxdxdu+=。(6)222)(2zyxzdzydyxdxdu+=。7.求函数在点处的沿从点到点方向的方向导数。yxz2e=)0,1(P)0,1(P)1,2(Q解解 由于12(2,1)(1,0)1(1,1)(,)|(2,1)(1,0)|2PQv vPQ=?v,且 22e,2 eyyzzxxy=,所以 1212zzzvvxy=+=v。8.设,求它在点处的沿方向22yxyxz+=)1,1()sin,(cos=v的方向导数,并指出:(1)沿哪个方向的方向导数最大?(2)沿哪个方向的方向导数最小?(3)沿哪个方向的方向导数为零?解解 由于 cossin(2)cos(2)sinzzz
8、xyyxxy=+=+v,所以(1,1)cossinz=+vsin()sin2sincos()244=+=,(1)当4=时,沿)4sin,4(cos=v v,方向导数最大。4课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(2)当54=时,沿)45sin,54(cos=v v,方向导数最小。(3)当37,44=时,沿)43sin,34(cos=v v 或)47sin,74(cos=v v,方向导数为零。9 如果可微函数在点处的从点到点方向的方向导数为 2,从点到点方向的方向导数为-2。求),(yxf)2,1()2,1()2,2()2,1()1,1((1)这个函数在点处的梯度;)2,1((2
9、)点处的从点到点方向的方向导数。)2,1()2,1()6,4(解解 ,1v=(2,2)(1,2)(1,0)=110zzzzxyx2=+=v。2v=(1,1)(1,2)(0,1)=,20(1)zzzzxyy2=+=v。所以在处,)2,1(2zzxy=。(1)。)2,2()2,1(grad=f(2)因为(4,,6)(1,2)(3,4)=22(3,4)(3,4)534=+v,所以(1,2)3412255f 45=+=v v。10.求下列函数的梯度:(1);(2))sin(22xyyxz+=+=22221byaxz;(3),在点。zyxyzxyzyxu5264332222+=)1,1,1(解解(1)。
10、)cos()sin(2),cos(2(grad23xyxyxyyxyyxz+=(2)2,2(grad22byaxz=。(3),。grad(236,4342,645uxyyxzzy=+)5,9,11()1,1,1(grad=u11.对于函数,在第象限(包括边界)的每一点,指出函数值增加最快的方向。xyyxf=),(5课后答案网 w w w.k h d a w.c o m解解 在点,函数值增长最快的方向为)0,0(),(yx),(gradxyf=;在点,由于梯度为零向量,不能直接从梯度得出函数值增长最快的方向。设沿方向)0,0()sin,(cos=v自变量的改变量为 cos,sinxtyt=,则函
11、数值的改变量为 221(,)(0,0)cossinsin22fxyfx ytt=,由此可知当3,44=时函数值增长最快,即函数值增长最快的方向为和。)1,1()1,1(12 验证函数 3),(xyyxf=在原点连续且可偏导,但除方向和)0,0(ieie()外,在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。2,1=i解解 3(,)(0,0)(,)(0,0)lim(,)lim0(0,0)x yx yf x yxyf=,3000(0,0)lim0 xxxfx =,3000(0,0)lim0yyyfy =,所以函数在原点连续且可偏导。取方向)0,0()sin,(cos=v,则 0(0cos,0sin)(0,0
12、)limtffttft+=v 30cossinlimtttt+=330sin2lim2tt+=,当sin20=,即2k=时,极限存在且为零;当sin20,即2k时,极限不存在。所以除方向和ieie(2,1=i)外,在原点的沿其它方向的方向导数都不存在。13.验证函数=+=0,0,0,),(222222yxyxyxxyyxf 6课后答案网 w w w.k h d a w.c o m 在原点连续且可偏导,但它在该点不可微。)0,0(解解 由于 22220(,)(0,0)xyxyx yxy+,所以(,)(0,0)lim(,)x yf x y=22(,)(0,0)lim0(0,0)x yxyfxy=+
13、。由定义,20000(0,0)lim0 xxxxfx +=,20000(0,0)lim0yyyyfy+=。所以函数在原点连续且可偏导。但)0,0(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxf+y=(,)fxy=22x yxy+22()oxy+,所以函数在不可微。)0,0(14.验证函数=+=0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf 的偏导函数在原点不连续,但它在该点可微。),(),(yxfyxfyx)0,0(解解 由定义,222201(0)sin00(0,0)lim0 xxxxfx+=,当时,(,)(0,0)x y 22222222121(,)2 sin
14、cos,0 xxfx yxxyxyxyxy=+。由于 7课后答案网 w w w.k h d a w.c o m00lim(,)limxxxfx y=x y=22111(2 sincos)222xxxx,极限不存在,所以(,)xfx y在原点不连续。同理)0,0(,)yfx y在原点也不连续。但由于)0,0(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxf+y=22221()sinxyxy+22()oxy=+,所以函数在可微。)0,0(15.证明函数 =+=0,0,0,2),(2222422yxyxyxxyyxf 在原点处沿各个方向的方向导数都存在,但它在该点不连续,因而不可微。)0,0
15、(解解 函数沿方向)sin,(cos=v的方向导数为 0(0cos,0sin)(0,0)limtffttft+=v 23242202cossinlim0,(cossin)tttt+=+所以函数在原点处沿各个方向的方向导数都存在。但当)0,0(,)x y沿曲线2xky=趋于时,极限)0,0(2424420022lim(,)lim1yyx kykykf x yk yyk=+与 k 有关,所以函数在原点不连续,因而不可微。16计算下列函数的高阶导数:(1)xyzarctan=,求22222,yzyxzxz;(2))cos()sin(yxyyxxz+=,求22222,yzyxzxz;(3),求xyxz
16、e=2323,yxzyxz;8课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(4),求)ln(czbyaxu+=22444,yxzxu;(5),求qpbyaxz)()(=qpqpyxz+;(6),求zyxxyzu+=erqprqpzyxu+。解解 (1)由 2222y11zyxxxyyx=+222111zxyxxyyx=+,得到 22222)(2yxxyxz+=,=yxz222222)(yxxy+,=22yz222)(2yxxy+。(2)由(1)sin()cos()zyxyxxyx=+,(1)cos()sin()zxxyyxyy=+得到)sin()cos()2(22yxxyxyxz+=
17、,=yxz2)sin()1()cos()1(yxxyxy+,=22yz)sin()2()cos(yxxyxy+。(3)由 2exyzxy=,232exyzxy=,=yxz22(2)xyxx y e+得到 xyeyxxyyxz)42(2223+=,xyeyxxyxz)3(3223+=。9课后答案网 w w w.k h d a w.c o m(4)经计算,可依次得到 1()uaxbyczaxaxbyczxaxbycz+=+,2222()()()uaaxbycza2xaxbyczxaxbycz+=+,323332()2()()uaaxbycza3xaxbyczxaxbycz+=+,43443 2()
18、6()()uaaxbycza44xaxbyczxaxbycz+=+,3322uuxyy x=22332()2()()aaxbycza baxbyczyaxbycz+=+,442222222443 2()6()()uua baxbycza bxyyxaxbyczyaxbycz+=+。(5)()()p qpqpqqppqpqpqzzyxaxyxyxy+=b()()ppqqpqdxadybdxdy=!p q=。(6)对 x,y,z 应用 Leibniz 公式,()()()()()(p q rpxqyrzpxqyrzpqrpqrpqruxeyezedxedyedz)exyzxyzdxdydz+=。=(
19、)()()xyzxp eyq ezr e+=()()()x y zxpyq zr e+。17计算下列函数的高阶微分:(1),求;)ln(xyxz=z2d(2),求;)(sin2byaxz+=z3d(3),求;)(e222zyxuzyx+=+u3d(4),求。yzxsine=zkd解解 (1)(ln()1)xdzxydxdyy=+,10课后答案网 w w w.k h d a w.c o m222221dyyxdxdyydxxzd+=。(2),2sin()cos()()sin2()()dzaxbyaxby d axbyaxby adxbdy=+=+222cos2()()d zaxby adxbdy
20、=+,33)(2sin4bdyadxbyaxzd+=。(3),222()()(222)x y zduexyzdxdydzxdxydyzdz+=+22222()()2(222)()x y zd uexyzdxdydzxdxydyzdz dxdydz+=+22222dxdydz+2()()x y zexyzdxdydz+,3d u=222326()()xdxydyzdz dxdydz+2226()()dxdydzdxdydz+2223dx3222)66(dyyzyx+(66)x y zexyzx+=+dz)66(3222dzzzyx+dydxyxzyxezyx2222)224(3+dzdyzyzy
21、x2222)224(+dxdzxzzyx2222)224(+2222)242(dxdyyxzyx+2222)242(dydzzyzyx+)242(2222dzdxxzzyx+2226(222)x y zexyzxyz dxdy+。(4)()kkd zdxdyxy=+0sinixk ikikik iikeydxdyixyi=0sin2kxiikkieydx dyik i=+。18函数满足),(yxfz=xyyxz+=11sin,及。3sin2),0(yyyf+=求的表达式。),(yxf解解 对 x 积分,得到 11课后答案网 w w w.k h d a w.c o m1(,)sinln(1)()
22、f x yxyxyg yy=+,再将代入上式,得到 3sin2),0(yyyf+=3()2sing yyy=+,所以 3)1ln(1sin)2(),(yxyyyxyxf+=。19验证:(1)满足热传导方程)sin(e2nyzxkn=22yzkxz=;(2)yxzuarctan=满足 Laplace 方程0222222=+zuyuxu;证证(1)由 2cos()kn xznenyy=,2222sin()kn xzn enyy=,得到 zx=22sin()kn xkn eny=22zky。(2)由 ux=22111yzzyxyxy=2+,22ux=222()2xyzxy+,uy=222211xxz
23、zyxyxy=+22uy=222()2xyzxy+,ux=arctanxy,220uz=,得到 0222222=+zuyuxu。20设trttrf42e),(=,确定使得满足方程 f =rfrrrtf221。解解 将 12课后答案网 w w w.k h d a w.c o mft=212241()4rtttre+,fr=21412rttre,2frrr=21224431()24rttrtre+,代入方程,解得 23=。21求下列向量值函数在指定点的导数:(1),在T),sin,cos()(cxxbxax=f4=x点;(2),在T23)tan,cot3(),(zyxzexzyxy+=f4,2,1
24、点;(3),在T),sin,cos(),(vvuvuvu=g),1(点。解解(1)()(sin,cos,)Txax bx c=f,()4f fT),22,22(cba=。(2)2223cotcsc(,)32 tansecyyezezx y z2xyzyz=f,(1,2,)4ff2232348ee=。(3),cossin(,)sincos01vuvu vvuv=g),1(gg=101001。22设为向量值函数。33:RR f(1)如果坐标分量函数zzyxfyzyxfxzyxf=),(,),(,),(321,证明的导数是单位阵;f(2)写出坐标分量函数的一般形式,使的导数是单位阵;f(3)如果已知
25、的导数是对角阵,那么坐标分量函数应该具有什么样的形式?f)(),(),(diag(zryqxp解解(1)由于 1(,)(1,0,0)fx y z=,2(,)(0,1,0)fx y z=,3(,)(0,0,1)fx y z=,13课后答案网 w w w.k h d a w.c o m所以的导数是单位阵。f(2)由1(,)(1,0,0)fx y z=,可知1(,)f x y z与 y,z 无关,所以 11(,)f x y zxC=+,同理可得 22(,)fx y zyC=+,33(,)fx y zzC=+。(3)由1(,)(),0,0)fx y zp x=,可知1(,)f x y z与 y,z 无
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