带机会约束的动态投资决策模型研究.pdf

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1、第 1 3卷 2 0 0 5年 第 1 期 2月 中国管 理科学 C h i n e s e J o u r n a l o f Ma n a g e me n t S c i e n c e Vo 1 1 3，No I Fe b，2 0 0 5 文章 编号：1 0 0 32 0 7 2 0 0 5)0 1 0 0 0 90 4 带机会约束的动态投资决策模型研究 彭大衡，姚元端2 (1 复旦大学太平洋金融 学院，上海 2 0 1 3 0 0；2 湖南大 学数学与计 量经济学院，长沙4 1 0 0 7 9)摘 要：本文在 B l a c k-Sch o l e s 型市场中，建立了具有投资机会约

2、束的 C a R动态投资决策模型：mi 耐 R(z，r，T)s f P r o b(丁)R)，R 其中 z是初始财富，r(f)=(，r l(t)，(f)R 为可行的证券组合过程，(丁)为计划期末的财富水平，C a R (z，r，丁)为投资期末的在险资本，R 是投资者事先给定的某正的财富水平，0 0)，为标准正态分布的a下 侧分位数(a 0 5。维普资讯 http:/ 第 l期 彭大衡：带机会约束 的动态投资决策模型研究 3 模型求解 因 为C a R(z，丌，T)=xe x p(r T)1 一 e x p(丌 (6一 r l )一 ll 丌 ll 2)T+z。ll 丌 ll ，要使 C a R

3、(z，丌，T)最小，当且仅 当 L厂(丌)=丌 (6一 r l )一 ll 丌 d ll 2)T+z。ll 丌 ll 最大。注意 到 X(T)=xe x p (丌 (6一 r l )+r ll 丌 d ll 2)T+丌 w(T)，所以模型(I)等价于 f (丌)=丌 (6一r 1 )一 ll 丌 ll 2)T I j+ll 丌 ll l 5 t P r o b(x e x p (丌 (6一r l )+r 【一 ll 丌 ll 2)T+zr a W(T)R)(I )分两种情形来讨论。情形一，6=r l 。记=l l 丌 d ll0。模型(I )成为 lm a I (丌)一 丌 T 一 (+)+l

4、 5 P r o b(z e x p r ll 丌 d ll 2)T 【+丌 d w(T)R)。()注意到 丌 (T)ll 丌 ll T 是标准正态随机变 量，问题()中的约束条件等价于 +zp r T _ ln rT _ ln 芋=0，其 中 z 口(0)是标准正态 分布的 卢一分位数。上式 成立 当且 仅 当=o 于是 丌=0，厂(丌)=0，最优 的 在险资本 C a R(z，0，T)=0。由于 6=r 1 ，市场是 风险中性的，对于风险资产的投资，市场不提供风险 报酬，所得的最优在 险资本为零 的结论是合 理的。情形二，r(i=1，2，d)至少有一个成立。首先，对任给 0，在椭球面 ll

5、 丌 ll=上 求 厂(丌)的最大值。记=ll I 1(br l )ll。由于 丌 (6一 r 1 )=(丌 )(d 一 (6一r l )ll 丌 d ll ll d 一 (6一r 1，)ll=，当且 仅 当 d 丌 d-1(b r 1 )ll 丌ll ll 一 1(br 1，)ll 即 丌=(6一r l )(1)时上式取等号。因此，m a。x：f(z c)=f(7 r e)=一球一)+一 (2)再考虑约束条 件。因为 l n X(t)N(1 n x+(丌 (6一r l，)+r lll 丌 ll)t，ll 丌 d ll t)，其 中，N(，)表示正态 分布随机变量 的分布 函数。不难发现，在l

6、l r PO ll=上，丌 (6一r l )越大，(I )到约束 条件越 容易满 足。由于 丌 使丌 (br 1)在 ll 丌 ll=上取到最大值，将它代人(I )中约 束条件，得到 _ 2 一 秀)+1n R _ 2 r 0。(3)因为 R ze x p(r T)，所 以：l n 一2 r 0。于是 由(3)得 讨论 的 一。(4)围，对原问题 的解 1 若(一 芳)。，(4)式 不可能成立，因此原 1=-3 题无解。2 若(一 秀)=，则 由(4)知 只 能 等 于 一印 。注意到 0，因此，如果 一z 0，则有如下 讨论：2 1)若 一 0，则 ma x 厂(丌)：T。厂(一 仃)0，最

7、优投 资比例为 丌 一一 析=秀)(5)2 2)若。一 丢(一 秀 V 一 V ma x 厂(丌)=厂(一 z )O o 这 时 C a R(x，丌 ，T)0 最 优 橙 咨 比例 为*e z e，芳)(6)n 焉 骺 虾 维普资讯 http:/ 中 国管 理科 学 2 0 0 5年 2 3)若。1 T)0 0这 时 C a R(z，7 r，T)0-,T0，l ll ma x )=厂(o-p ,f T)0，C a R(z，7 r，T)己 足=秀 。注意到 0，因此，根据(4)，如果 0一 印 0，记 k l=(一 )一 ，k 2=(一印 )+，易见 k 2 k l 0 o 约束条件(4)成为

8、0 k l k 2。3 1)若 一 lJ ma x 厂(=厂()0，最优投资 比例 为 丌 一，=秀 3 2)若 0 一 丢 lll m a x 厂(丌 )=厂(。)0，i l i i C R(x，7 r，T)0，最优投资 比 例 为 丌，=秀)1_ 。3 3)若 1足l 一 则n 1 a x 厂(丌 )厂(，)0，i l i i C R(x，7 r，T)0，最优投资 比例为 丌。=秀)1_ 3 4)若 k l 0，从而 C a R(z，7 r，T)k 2，则 ma xr(7 r)=f()0，C a R(z，7 r，T)0，最优投 资 比例 为 丌 一：=一秀)1_ 3 综合 以上 的讨论，可

9、 以得 到如下 的结论：结论一 对于机会约束下的动态投资组合，在 风险中性 市场中，其 最优 的常 数再 调整投 资 策略 是 纯债券投资策略，最优的在险资本值为零；结论二 对于机会约束下的动态投资组合，在 风险非 中性市场 中，其 最 优 的常数 再调 整投 资策 略 可 以统一表示 为 7 r：()-l(br l )即在不同的投资机会约束下最优的常数再调整投资 策略都是平行 的向量，投 资机会不同，常 系数 相应 不 同。这正 是常数 再调整投资策略 的意义所在。不 同投资机会下 的最 优投 资策略 的具 体结 论 由(5)一 (1 3)给 出；结论三对于机会约束下的动态投资组合，常 数再

10、调整投 资 策 略意 义下 的最 优 C a R(z，丌*，T)只通过市场风险价格 0=0 -1(br l，)0依赖于 风险资产，而对风险资产的个数没有明显的依赖性。于是可以选取市场参数值 b和 使得由多个风险资 产组成 的市 场和仅 由一个股票和一个债券组 成的市 场具有相 同的市 场 风险 价格 0，从 而 达到 两个 市 场 的最优投资效果 的一致 性。因此结 论二 可 以解 释为 共同基金定理。4 一个算例 设市场 只有两 种资产，一 种为债券，另一种 为股 票。相应 的市场参数值 为：r=0 0 5，b=0 1 5，=0 2，贝 0 0=ll 一 (br 1 )ll=0 5，()一

11、(b r l )=2 5 o 设初始财富z=1 0 0 0 元，置信水平 口=维普资讯 http:/ 第 1期 彭大衡：带机会约束的动态投资决策模型研究 1 3 0 0 5，卢=0 8，则 z。=一1 6 5，口=0 8 4。设投资计 划期 T 3，1 0 ，给定的财富水平 R依计划期T满 足如下关系：R(T)=x e x p 寺(0 4-一 z )+r T ，即 R(T)=1 0 0 0 e x p (0 5 一 0 8 4)+0 0 5 T，T 3，1 0 由 2 1)知 ：0一 ：0 5一 。由(5)可得 、7 r =(a a 。(6一 r l )=2 5一 V上 例如：若 T=4，则

12、7 r =0 4，R(4)=1 2 3 7 1 1 元，C a R(1 0 0 0，0 4，4)=1 3 4 6 5 元，即投资者如果要以 8 0 的概 率保 证 其 终 端(T=4)财 富 不 小 于 1 2 3 7 1 1 元，其最优投资策略是将 6 0 9 6的初始资本 投资于债券，4 0 9 6的资本投资于股票，所面临的在 险资本为 1 3 4 6 5 元，这是这种情况下投资者所面临 的最小的在险资本；若 T=9，则 7 r =1 1，R(9)=1 9 4 9 8 1元，Ca R(1 0 0 0，1 1，9)=4 2 5 8 1元，即 投资者如果要以8 0 9 6的概率保证其终端(T=

13、9)财 富不小于 1 9 4 9 8 1 元，其最优投资策略是卖空数量为 初始资本 的 1 0 的债券，所得资本连同初始资本一 起投资于股票，所面临的在险资本为 4 2 5 8 1 元，这是 这种情况下投资者所面临的最小的在险资本。参考文献：1 Ma r k o wi t z，H P o r t f o l i o s e l e c t i o n J J F i n a n c e，1 9 5 2，7：7 791 2 Me r t o n，R L i f e t i me p o r t f o l i o s e l e c t i o n u n d e r u n c e r t a

14、 i n t y：t h e c o n t i n u o u s-t i me c a s e J R e v E c o n S t a t i s t i c s，1 9 6 9，51：2 4 72 5 7 3 Me r t o n R O p t i mu m con s u mp t i o n a n d p o r t f o l i o r u l e s i n a c o n t i n u o u st i memo d e l J J E con Th e o r y，1 9 7 1，3：3 7 3 41 3【4 S a mu e ls o n，P A L i f e

15、 t i me por t f o l i o s e l e c t i o n b y d y n a mi c s t och a s t i c p r o g r a mmi n g J R e v E c o n S t a t i s t i c s，1 9 6 9，5 1：2 3 92 4 6【5 Z h o u，X Y，L i D C o n t i n u o u s-t i me me a n-v a r i a n c e por d o-l i o s e l e c t i o n：a s t o c h a s t i c L Q f r a me wo r k

16、J Ap p l i e d Ma t h e ma t i es a n d Op t i mi z a t i o n，2 O o o，4 2：1 93 3 【6 E mme r，S ，Kl u p p e l b e r g，C，K o r n，R Op d mpor t f o l i o s w i t h b o und e d c a p i t a l a t r ls k J Ma t h F i n a n c e，2 0 0 1，1 1 (4)：3 6 53 8 4【7 李仲飞，汪寿阳 E a R风险度量与动态投资决策【J 数 量经济技术经济研究，2 0 0 3，2 0(

17、1)：4 5 5 1 8 彭大衡 长期投资组合的连续时间模型 J 湖南大学学 报(自然科学版)，2 0 0 4，3 1(1)：1 0 31 0 7 9 姚京，李仲飞 基于 Va R的金融资产配置模 型 J 中国 管理科学，2 0 0 4，1 2(1)：81 4 1 0 韩其恒，唐万生，李光 泉 机会约束下 的投 资组合问题 J 系统工程学报，2 0 0 2，1 7(1)：8 7 9 1 1 1 刘庆伟，彭大衡 投资机会与 Va R约束下的投资组合分 析 J 经济数学，2 0 0 2，1 9：8 58 9 1 2 郭福华，彭大衡，吴健雄 机会约束下的均值 一Va R投 资组合模型研究 J 中国管

18、理科学，2 0 0 4，1 2(1)：2 8 3 4 1 3 C h a mes，A，C o o p e r，W W，C h a n c e-const r a i n ed p r o-g r a mmi n g J Ma n a g e me n t S c i e n c e，1 9 5 9，6(1)：7 37 9 Re s e a r c h o n a Dy n a mi c I n v e s t me n t De c i s i o n M o d e l wi t h Co n s t r a i n t o f I n v e s t me n t Ch a n c e P

19、E NG Da-h e n g t，YAO Yu a n-d u a n 2 (1 Col l e g e o f P a c i f i c F i n a n c e，F u d an Un i v e r s i t y，S h a ngh a i 2 0 1 3 0 0，C h i n a；2 Co l l e g e o f Ma t h e ma t i cs and E c o n o me t r i c s，Hu n a n Univ e r s i t y，C han g s ha 4 1 0 0 7 9，Ch i n a)Ab s t r a c t：I n Bl a c

20、 k S e h o l e s t y p e f i n a n c i a l ma r k e t s t h e Ca R d y n a mi c p o r t f o l i o d e c i s i o n mo d e l wi t h con s t r a i n t o f i n v e s t me n t c h a n c e i s est a b l i s h e d a s f o l l o wi n g：mi n C a R(z，7 r，T)s t P r o b(X(T)R)卢，Rd wh e r e x i s t h e i n i t i

21、 al we a l t h，7 r(t)=(7 r I(t)，(t)R d i s t h e p r o c e s s o f f e a s i b l e p o r t f o l i o，(T)i s t h e t e r mi n al we a l t h，R i s a p o s i t i v e w e a l t h l e v e l g i v e n b y i n v est o r a n d 0 卢1 Th e e x p fi c i t s o l u t i o n s f o r t h i s mod e l a r e o b t a i

22、n e d i n t e rm s o f t h e o p t i mal c o n s t a n t r e b ala n c e s t r a t e g y Th e f i n a n c i a l i n t e r p r e t a t i o ns o f t h e r esu l t s i n c l u d e t ha t，for po rtf o l i o d e c i s i o n wi t h con s t r a i n t o f i n v es t me n t c h a n c e，t h e o p t i ma l co

23、ns t a n t r e b alan c e s t r a t eg y i s p u r e b o n d i n v est me n t s t r a t egy a n d t h e o p t i ma l Ca p i t al a t Ri s k i s z e r o i n n e u t r al r i s k ma r k e t s an d t h e o p t i ma l const a n t r e b a l a n c e s t r a t egy i mp l i es t h e mu t u a l f u n d t h e o r e m i n n o n-n e u t r a l r i s k ma r k e t s Ke y w o r d s：C a p i t a l-a t-R (C a R)；c o n s t r a i n t o f i n v e s t me n t c h a n ce；d y n a mi c por d o l i o；con s t a n t r e h a h n c e s t r a t e g y 维普资讯 http:/