Gompertz模型.doc

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1、 本文由黑涩哎贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 Gompertz 模型在人口预测中的应用 阎慧臻 （大连工业大学 信息科学与工程学院，辽宁 大连 116034） 摘要： 摘要：Gompertz 模型是用来描述生物种群生长发育规律的数学模型，将 Gompertz 模型用于 人类即为人口增长模型。本文利用 Gompertz 模型对中国人口进行了预测，建立了人口预测 公式。通过与实际人口相比较，结果表明利用该预测公式进行人口预测是比较符合实际情况 的。 关键词：Gompertz 模型；人口；预测 关键词 中图分类号：O29；Q141 文献标识

2、码：A 中图分类号 文献标识码 Application of Gompertz model in population prediction YAN Hui-zhen (School of Informational Science and Engineering,Dalian Polytechnic University,Dalian, 116034,China) Abstract:The Gompertz model can be used to describe the growth law of the biology population , the population growt

3、h model can be obtained by applying the Gompertz model to the humanity . In this paper,the population of China has been predicted using Gompertz model,and the formula of population prediction has been obtained.Compared with the actual population,we see that the results of population prediction using

4、 this formula conform to the real situation. Key words: gompertz model; population; prediction 0 引言 人口预测就是根据现有的人口状况并考虑影响人口发展的各种因素，按照科学的方法， 1 测算在未来某个时间的人口规模、水平和趋势 。人口预测为社会经济发展规划提供重要信 息，预测的结果可以指明经济发展中可能发生的问题，借以帮助制订正确的政策。 由于人口增长规律符合 S 型生长曲线，因此，通常利用 Logistic 模型 2 进行人口预测， Logistic 模型是一种对称的 S 型增长模型，但在实际应用

5、中，由于疾病、灾难等一些外在的 客观因素的影响，使得人口增长的趋势并不是完全对称的 S 型。因此，人口增长规律并不一 定要采用 Logistic 模型来描述，本文利用另一种 S 型增长模型：Gompertz 模型 3 来描述人 口增长规律，并进行拟合和预测。 1 Gompertz 种群增长模型 Gompertz 模型的基本形式是： 式中， x(t ) 表示 t 时刻种群的数量；r 是种群的內禀增长率（即增长率减去死亡率） ；N 为环境能容纳的种群的最大数量。 式（1）的平衡点为： x = N 。 dx N = rx ln dt x （1） 由微分方程稳定性理论 4 可知： x = N 是稳定平

6、衡点。 1.1 利用凑微分法求 Gompertz 模型的解析解 应用微分方程的凑微分法，可求得式（1）的解析解为： x = Ne ? e 其中 = ln rt （2） N ， x0 是初始时刻种群的数量。 x0 下面给出两组 N 、 r 及初值 x 0 ， N=50,x0=10,r=0.5 N=80,x0=30,r=0.7 分别带入式（2） ，得出结果见表 1 Matlab 计算程序如下： t=0:1:20; x=50.*exp(-log(50/10)*exp(-0.5*t) t=0:1:20; x=80.*exp(-log(80/30)*exp(-0.7*t) 1.2 用 Matlab 软件

7、绘制解曲线 下面利用 Matlab 软件绘制 Gompertz 模型解析解的图像。 令环境容纳量 N=80，瞬时增长率 r=0.7 分别取初值 x01=1，x02=20，x03=80，x04=100，x05=140 其中 x01，x02 小于 N，x03 等与 N，x04，x05 大于 N， Matlab 程序如下： t=0:1:25; x1=80.*exp(-log(80/1)*exp(-0.7*t); x2=80.*exp(-log(80/20)*exp(-0.7*t); x3=80.*exp(-log(80/80)*exp(-0.7*t); x4=80.*exp(-log(80/100)

8、*exp(-0.7*t); x5=80.*exp(-log(80/140)*exp(-0.7*t); plot(t,x1,t,x2,t,x3,t,x4,t,x5) 执行程序后得出图像如图 1。 种群数量/万 图1 Fig.1 t/年 解析解曲线图 Curve of analytic solution 在图 1 中，五条不同的曲线分别对应初值不同的五个解析解。无论初值 x0n 大于、等于 还是小于环境容纳量 N，当时间 t + 时，种群数量 x(t ) 总会趋近于 N，即平衡点 x = N 是稳定的。 1.3 用四阶龙格库塔方法求数值解 用四阶龙格 用四阶龙格库塔方法求数值解，每一步需要 4 次

9、计算函数值 f ，可以直接验证它具有 四阶精度。 这里用 wintc 编程软件编制四阶龙格库塔方法求解程序。得出结果见表 1。 表 1 Gompertz 模型解析解与数值解及其误差表 Tab.1 Analytic solution、numerical solution and error value of Logistic model N=50, x0=10, r=0.5 解析解/万 10 18.8375 27.6588 34.9147 40.2138 49.9836 49.9901 49.9940 49.9963 数值解/万 10 18.8344 27.6551 34.9106 40.209

10、4 49.9835 49.9900 49.9939 49.9963 误差/万 0 0.0031 0.0037 0.0041 0.0044 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 N=80, x0=30, r=0.7 解析解/万 30 49.1541 62.8126 70.9459 75.3679 79.9995 79.9997 79.9999 79.9999 数值解/万 30 49.1469 62.7953 70.9234 75.3473 79.9994 79.9997 79.9999 79.9999 误差/万 0 0.0072 0.0173 0.0225 0.0206 0.0

11、001 0.0000 0.0000 0.0000 t/年 0 1 2 3 4 17 18 19 20 2 利用 Gompertz 模型进行人口预测 将 Gompertz 生物模型用于人类即为人口模型。现用该模型对我国人口进行分析预测。 从文献5获得人口数据如表 2。模型(2)为三参数（N, ,r）S 型增长模型，对于三个参 数的拟合我们可以先确定其中的 N，并通过变换将其线性化。这样便可由最小二乘法估计出 另两个参数值。 将(2)式两边取对数： ln x = ln N ? e ? rt (3) ln N = e ?rt x (4) ln ln 令 y = ln ln 则式(5)为 N = ln

12、 ? rt x （5） N ， ln = A , ? r = B x y = A + Bt (6) 设 n 组观测值为 (ti , xi ) ，i=1,2,n 取 N=20（亿） ，令 yi = ln ln 由最小二乘法得 n ? (ti yi ) ? nt y ? ? ? B = i =1 n = ? 2 ? ti2 ? nt ? i =1 ? ? = y ? Bt ? ?A ? 1 n 1 n N ， y = yi ， t = ti n i =1 n i =1 xi (t n i =1 i t yi ? y i )( ) (7) (t n i =1 t ) 2 则 = eA ， r = ?

13、B x = 20e ? e rt (8) 由于数据取自 19852007 年，为此选择这 23 年相应的人口数据 x1 = 10 .5851 、 x2 = 10 .7507 、 x3 = 10 .9300 、 x21 = 13 .0756 、 x22 = 13 .1442 、 x23 = 13 .2129 。 令 1985 年为 0 年，则 t1 = 0 , t 2 = 1 , t3 = 2 , ， t 21 = 20 ， t 22 = 21 ， t 23 = 22 用 wintc 编 程 软 件 编 制 人 口 预 测 的 程 序 ， 利 用 以 上 数 据 ， 可 得 ： = 0.6190

14、411 ， r = 0.019543 ，则 x (t ) = 20 e ? 0 . 6190411 e ? 0 . 019543 t （9） 式（9）即为中国人口预测公式，利用此公式，通过计算机计算可得中国各年份人口预测的 结果，见表（2） 表 2 中国各年份人口数与预测值及误差一览表 Tab.2 Actual value、predicted value and prediction error of China population 年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 20

15、00 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 实际人口/亿 10.5851 10.7507 10.9300 11.1026 11.2704 11.4333 11.5823 11.7171 11.8517 11.9850 12.1121 12.2389 12.3626 12.4761 12.5786 12.6743 12.7627 12.8453 12.9227 12.9988 13.0756 13.1442 13.2129 预测人口/亿 10.7692 10.8990 11.0278 11.1556 11.2823 11.4081 11.5327 11.6562

16、11.7786 11.8999 12.0201 12.1392 12.2570 12.3737 12.4892 12.6036 12.7167 12.8286 12.9394 13.0489 13.1572 13.2642 13.3701 误差/亿 0.1841 0.1483 0.0978 0.0530 0.0119 -0.0252 -0.0496 -0.0609 -0.0731 -0.0851 -0.0920 -0.0997 -0.1056 -0.1024 -0.0894 -0.0707 -0.0460 -0.0167 0.0167 0.0337 0.0816 0.1200 0.1572 百

17、分比/% 1.7392 1.3794 0.8948 0.4774 0.1056 -0.2204 -0.4282 -0.5198 -0.6168 -0.7101 -0.7596 -0.8146 -0.8542 -0.8208 -0.7107 -0.5578 -0.3604 -0.1300 0.1300 0.2592 0.6241 0.9129 1.1897 从表 2 可知，各年份预测值与实际人口数符合情况较好。 下面利用公式（9）分别对 2010、2020、2050 年我国人口数进行预测。结果见表 3 表 3 我国人口预测值 年份 预测值/亿 2010 13.6802 2020 14.6343

18、2050 16.8094 3 结论 运用 Gompertz 模型，建立了中国人口的预测公式，利用该公式，对中国 19852007 年 的人口进行了检验。通过与中国 19852007 年的实际人口相比较，可以看出，用该公式对中 国人口进行预测的结果与中国实际人口符合情况较好，最大误差为 1.7392%。运用该公式， 对我国 2010 年、2020 年、2050 年人口数进行了预测，预测结果为：2010 年我国人口数约 为：13.6802 亿，2020 年我国人口数约为：14.6343 亿，2050 年我国人口数约为：16.8094 亿。 参考文献： 参考文献： 1 蒋辉. 我国人口预测分析J. 科技管理研究,2005(11):142-145. 2 阎慧臻. Logistic 模型在人口预测中的应用J.大连工业大学学报，2008（4） ：333-335. 3 辛秋红,尹海东.基于 Gompertz 模型的黑龙江省人口预测J.统计观察,2008(23):82-83. 4 王高雄，周之铭，朱思铭.常微分方程:第二版M.北京:高等教育出版社，2004. 5 张云海，王朔.中国统计年鉴M.北京:中国统计出版社，2007.1