第三章 简单的优化模型.pdf

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1、数学模型华中科技大学管理学院第三章第三章简单的优化模型简单的优化模型3.1存贮模型存贮模型3.2生猪的出售时机生猪的出售时机3.3森林救火森林救火3.4最优价格最优价格3.5 血管分支血管分支3.6 消费者均衡消费者均衡3.7 冰山运输冰山运输数学模型华中科技大学管理学院 现实世界中普遍存在着优化问题现实世界中普遍存在着优化问题 静态优化问题指最优解是数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数)建立静态优化模型的关键之一是根建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数据建模目的确定恰当的目标函数 求解静态优化模型一般用微分法求解静态优化模型一般用微分法静静 态态 优优 化化 模

2、模 型型数学模型华中科技大学管理学院3.1存贮模型存贮模型问问 题题配件厂为装配线生产若干种产品配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设轮换产品时因更换设备要付生产准备费备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费产量大于需求时要付贮存费。该厂该厂生产能力非常大生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出即所需数量可在很短时间内产出。已知某产品日需求量已知某产品日需求量100件件，生产准备费生产准备费5000元元，贮存费贮存费每日每件每日每件1元元。试安排该产品的生产计划试安排该产品的生产计划，即多少天生产即多少天生产一次一次（生产周期生产周期），），每次产量多少每次产量多少，使总费用最

3、小使总费用最小。要要求求不只是回答问题不只是回答问题，而且要建立生产周期而且要建立生产周期、产量与产量与需求量需求量、准备费准备费、贮存费之间的关系贮存费之间的关系。数学模型华中科技大学管理学院问题分析与思考问题分析与思考 每天生产一次每天生产一次，每次每次100件件，无贮存费无贮存费，准备费准备费5000元元。日需求日需求100件件，准备费准备费5000元元，贮存费每日每件贮存费每日每件1元元。10天生产一次天生产一次，每次每次1000件件，贮存费贮存费900+800+100 =4500元元，准备费准备费5000元元，总计总计9500元元。50天生产一次天生产一次，每次每次5000件件，贮存

4、费贮存费4900+4800+100=122500元元，准备费准备费5000元元，总计总计127500元元。平均每天费用平均每天费用950元元平均每天费用平均每天费用2550元元1010天生产一次平均每天费用最小吗天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用每天费用5000元元数学模型华中科技大学管理学院 这是一个优化问题这是一个优化问题，关键在建立目标函数关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数目标函数每天总费用的平均值每天总费用的平均值 周期短周期短，产量小产量小 周期长周期长，产量大产量大问题分析与思考问题分析与思考贮存费少贮存费少

5、，准备费多准备费多准备费少准备费少，贮存费多贮存费多存在最佳的周期和产量存在最佳的周期和产量，使总费用使总费用（二者之和二者之和）最小最小数学模型华中科技大学管理学院模模 型型 假假 设设1.产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数 r；2.每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮存费为每天每件产品贮存费为 c2；3.T天生产一次天生产一次（周期周期）,每次生产每次生产Q件件，当贮存量当贮存量为零时为零时，Q件产品立即到来件产品立即到来（生产时间不计生产时间不计）；）；建建 模模 目目 的的设设 r,c1,c2 已知已知，求求T,Q 使每天总费用的平均值最小使每天总费用的平均

6、值最小。4.为方便起见为方便起见，时间和产量都作为连续量处理时间和产量都作为连续量处理。数学模型华中科技大学管理学院模模 型型 建建 立立0tq贮存量表示为时间的函数贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt=0生产生产Q件件，q(0)=Q,q(t)以以需求速率需求速率r递减递减，q(T)=0.一周期一周期总费用总费用TQccC221每天总费用平均每天总费用平均值值（目标函数目标函数）2)(21rTcTcTCTC离散问题连续化离散问题连续化AcdttqcT202)(一周期贮存费为一周期贮存费为A=QT/22221rTcc rTQ*数学模型华中科技大学管理学院模型求解模型求解Min2)(21rTc

7、TcTC求求 T 使使0dTdC212crcrTQ212rccT 模型分析模型分析QTc,1QTc,2QTr,模型应用模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天天),Q=1000(件件),C=1000(元元)回答问题回答问题与P61中部计算的C=950不同，为什么？数学模型华中科技大学管理学院 经济批量订货公式经济批量订货公式（EOQ公式公式）212rccT 212crcrTQ每天需求量每天需求量 r，每次订货费每次订货费 c1,每天每件贮存费每天每件贮存费 c2，用于订货用于订货、供应供应、存贮情形存贮情形不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型 问问：为什么不考虑生产费用为什

8、么不考虑生产费用？（见P62中上部）T天订货一次天订货一次(周期周期),每次订货每次订货Q件件，当贮存量降到当贮存量降到零时零时，Q件立即到货件立即到货。数学模型华中科技大学管理学院 讨论讨论c1,c2,r的微小变化的微小变化，对生产周期对生产周期T的影响的影响 T对对c1,的敏感度记为的敏感度记为S(T,c1)敏感性分析敏感性分析S(T,c1)=T/Tc1/c1dT*c1dc1*T212rccT 根据得得S(T,c1)=1/2，即即c1增加增加1%，T增加增加0.5%得得S(T,c2)=-1/2，即即c2增加增加1%，T减少减少0.5%得得S(T,r)=-1/2，即即r增加增加1%，T减少减

9、少0.5%*数学模型华中科技大学管理学院允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求当贮存量降到零时仍有需求r,出现出现缺货缺货，造成损失造成损失原模型假设原模型假设：1、产品每天的需求量为常数产品每天的需求量为常数2、每次生产准备费为每次生产准备费为 c1,每天每件产品贮每天每件产品贮存费为存费为 c23、贮存量降到零时贮存量降到零时Q件立即生产出来件立即生产出来(或立或立即到货即到货)现假设现假设：1、2、不变不变，3改为改为：允许缺货允许缺货,每天每件缺货损失费每天每件缺货损失费 c3,缺货需补足缺货需补足T1rTQ AcdttqcT2021)(一周期一

10、周期贮存费贮存费BcdttqcTT331)(一周期一周期缺货费缺货费周期周期T,t=T1贮存量降到零贮存量降到零2)(2213121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用数学模型华中科技大学管理学院rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC每天总费用每天总费用平均值平均值（目标函数目标函数）213121)(2121TTrcQTccC一周期总费用一周期总费用Min),(QTC求求 T,Q 使使332212cccrccT323212ccccrcQ为与为与不允许缺货的存贮模型不允许缺货的存贮模型相比相比，T记作记作T,Q记作记作Q数学模型华中科技大学管理学院212r

11、ccT 212crcrTQ不允不允许缺许缺货模货模型型QQ,TT332ccc 记记1QQTT,13cQQTT,332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型不不允允许许缺缺货货3c数学模型华中科技大学管理学院332212cccrccT323212ccccrcQ允许允许缺货缺货模型模型0qQ rT1tT注意注意：缺货需补足缺货需补足Q 每周期初的存贮量每周期初的存贮量R每周期的生产量每周期的生产量R（或订货量或订货量）332212ccccrcTrRQ不允许缺货时的产量不允许缺货时的产量(或订货量或订货量)QQR数学模型华中科技大学管理学院3.2 生猪的出售时机生猪的

12、出售时机饲养场每天投入饲养场每天投入4元资金元资金，用于饲料用于饲料、人力人力、设设备备，估计估计可使可使80千克重的生猪体重增加千克重的生猪体重增加2公斤公斤。问问题题市场价格目前为每千克市场价格目前为每千克8元元，但是但是预测预测每天会降每天会降低低 0.1元元，问生猪应何时出售问生猪应何时出售。如果如果估计估计和和预测预测有误差有误差，对结果有何影响对结果有何影响。分分析析投入资金使生猪体重随时间增加投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随出售单价随时间减少时间减少，故存在最佳出售时机故存在最佳出售时机，使利润最大使利润最大数学模型华中科技大学管理学院trtgttQ4)80)(8()(求

13、求 t 使使Q(t)最大最大rggrt240410天后出售天后出售，可多得利润可多得利润20元元建模建模生猪体重生猪体重 w=80+rt出售价格出售价格 p=8-gt销售收入销售收入 R=pw资金投入资金投入 C=4 t利润利润 Q=R-C=pw-Cr=2若当前出售若当前出售，利润为利润为808=640（元元）t 天天出售出售=10Q(10)=660 640g=0.1(生猪体重每天增加的量生猪体重每天增加的量)模型模型假设假设(生猪价格每天降低的金额生猪价格每天降低的金额)当前价格当前体重每天投资额数学模型华中科技大学管理学院敏感性分析敏感性分析由于参数由于参数r和和g是估计的是估计的，所以应

14、该所以应该研究研究 r,g变化时对模型结果的影响变化时对模型结果的影响估计估计r=2g=0.1rggrt24041）设设g=0.1不变不变，研究研究r变化的影响变化的影响5.1,6040rrrtt 对对r 的的（相对相对）敏感度敏感度rrttrtS/),(trdrdt3604060),(rrtS结论结论：生猪每天体重增加量生猪每天体重增加量r 增加增加1%，出售时间推迟出售时间推迟3%。1.522.5305101520rt(式2)由式2得：如何求出？（当r=2 时）生猪每天增加的量价格每天降低的量如何得到？什么含义？*数学模型华中科技大学管理学院敏感性分析敏感性分析rggrt24042）设设r

15、=2不变不变，研究研究g变化的影响变化的影响15.00,203gggtt 对对g的的（相对相对）敏感度敏感度tgdgdtggttgtS/),(32033),(ggtS结论结论：生猪价格每天的降低量生猪价格每天的降低量g增加增加1%，出售时间提前出售时间提前3%。0.060.080.10.120.140.160102030gt(式2)含义？（当g=0.1 时）生猪每天增加的量价格每天降低的量*数学模型华中科技大学管理学院强健性分析强健性分析结论结论：保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时，再出售再出售由由 S(t,r)=3研究研究 r,g不是常数时对模型结果

16、的影响不是常数时对模型结果的影响w=80+rt w=w(t)4)()()()(twtptwtpp=8-gt p=p(t)若若(10%),则则（30%）2.28.1 w137 t0)(tQ每天利润的增值每天利润的增值每天投入的资金每天投入的资金ttwtptQ4)()()(利润即r=2即体重每天的增长率下降10%即t=10另另，由由 S(t,g)=-3 也可得出相应的对也可得出相应的对t的影响结论的影响结论，因此因此，建议过一周后建议过一周后(t=7)重新估计重新估计p、p、w、w,再作计算再作计算。增长10%*数学模型华中科技大学管理学院3.3森林救火森林救火森林失火后森林失火后，要确定派出消防

17、队员的数量要确定派出消防队员的数量。队员多队员多，森林损失小森林损失小，救援费用大救援费用大；队员少队员少，森林损失大森林损失大，救援费用小救援费用小。综合考虑损失费和救援费综合考虑损失费和救援费，确定队员数量确定队员数量。问题问题分析分析问题问题记队员人数记队员人数x,失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,时刻时刻t森林烧毁面积森林烧毁面积B(t).损失费损失费f1(x)是是x的减函数的减函数,由烧毁面积由烧毁面积B(t2)决定决定.救援费救援费f2(x)是是x的增函数的增函数,由队员人数和救火时间由队员人数和救火时间决定决定.存在恰当的存在恰当的x，使

18、使f1(x),f2(x)之和最小之和最小数学模型华中科技大学管理学院 关键是对关键是对B(t)作出作出合理的简化假设合理的简化假设.问题问题分析分析失火时刻失火时刻t=0,开始救火时刻开始救火时刻t1,灭火时刻灭火时刻t2,画出时刻画出时刻 t 森林烧毁面积森林烧毁面积B(t)的大致图形的大致图形t1t20tBB(t2)分析分析B(t)比较困难比较困难,转而讨论森林烧毁转而讨论森林烧毁速度速度dB/dt.数学模型华中科技大学管理学院模型假设模型假设3）f1(x)与与B(t2)成成正比正比，系数系数c1(烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费）1）0 t t1,dB/dt 与与 t成成正比正比，系

19、数系数(火势蔓延速度火势蔓延速度）2）t1 t t2,降为降为-x(为单个队员的平均灭火为单个队员的平均灭火速度速度）4）每个每个队员的单位时间灭火费用队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用一次性费用c3假设假设1）的解释的解释 rB火势以失火点为中心火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓均匀向四周呈圆形蔓延延，半径半径 r与与 t 成正比成正比面积面积 B与与 t2成正比成正比，dB/dt与与 t成正比成正比.损失费损失费数学模型华中科技大学管理学院xbtt12202tdt)t(B)t(B模型建立模型建立dtdBb0t1tt2x假设假设1）,1tbxcttxcxftBcxf31222211)

20、()(),()(目标函数目标函数总费用总费用)()()(21xfxfxC假设假设3）4）xttt112假设假设2）)(222212212xttbtt=t1时，dB/dt=b即t1时刻烧毁面积的单位时间的增量火势蔓延的速度相当于“距离”相当于“速度”dB/dt相当于三角形的面积代入代入损失费损失费烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费救援费救援费每个每个队员的单位队员的单位时间灭火费用时间灭火费用一次性一次性费用费用灭火花灭火花的时间的时间火势蔓延的速度数学模型华中科技大学管理学院0dxdCxcxxtcxtctcxC3122121211)(22)(模型建立模型建立目标函数目标函数总费用总费用模型求

21、解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小231221122ctctcx结果解释结果解释/是为了把火扑灭所需的最少队员数是为了把火扑灭所需的最少队员数，即即只有当行只有当行x /时时，才能灭得住火才能灭得住火。dtdBb0t1t2tx其中其中 c1,c2,c3,t1,为已知参数为已知参数火势蔓延速度每个队员的平均灭火速度灭火的速度*数学模型华中科技大学管理学院模型模型应用应用c1,c2,c3已知已知,t1可估计可估计,c2 x c1,t1,x c3,x 结果结果解释解释231221122ctctcxc1烧毁单位面积损失费烧毁单位面积损失费,c2每个每个队员单位时间灭火费队员单位时间灭火费,c3每

22、个每个队员一次性费用队员一次性费用,t1开始救火时刻开始救火时刻,火火势蔓延速度势蔓延速度,每个每个队员平均灭火队员平均灭火速度速度.为什么为什么?,可可设置一系列数值设置一系列数值由模型决定队员数量由模型决定队员数量x与常识一致由森林类型决定由队员素质决定常识应该为：c2x*数学模型华中科技大学管理学院3.4最优价格最优价格问题问题根据产品成本和市场需求根据产品成本和市场需求，在在产销平衡条件下产销平衡条件下确确定商品价格定商品价格，使利润最大使利润最大假设假设1）产量等于销量产量等于销量，销量记作销量记作 x2）收入与销量收入与销量 x 成正比成正比，系数系数 p 即价格即价格3）支出与产

23、量支出与产量 x 成正比成正比，系数系数 q 即成本即成本4）销量销量 x 依赖于价格依赖于价格 p,x(p)是减函数是减函数建模建模与求解与求解pxpI)(收入收入qxpC)(支出支出)()()(pCpIpU利润利润进一步设进一步设0,)(babpapx求求p使使U(p)最大最大所以，支出C也成了p的函数其含义为：只要生产出来，就能卖得出去。数学模型华中科技大学管理学院0*ppdpdU使利润使利润 U(p)最大的最优价格最大的最优价格 p*满足满足*ppppdpdCdpdI最大利润在边际收入等于边际支出时达到最大利润在边际收入等于边际支出时达到pxpI)(qxpC)(bpapx)()(bpa

24、qp)()()(pCpIpUbaqp22*建模建模与求解与求解边际收入边际收入边际支出边际支出价格变动一个单位时，收入的改变量价格变动一个单位时，支出的改变量产品的单位成本数学模型华中科技大学管理学院结果结果解释解释baqp22*0,)(babpapxq/2 成本的一半成本的一半b：dx/dp=-b价格上升价格上升1单位时单位时，销量的下降幅度销量的下降幅度（需求对价格的敏感需求对价格的敏感度度）a：绝对需求绝对需求(p很小时的需求很小时的需求),即产品在免费供应时即产品在免费供应时（P=0），），社会的需求量社会的需求量。思考思考：如何得到参数如何得到参数a,b?销量与“绝对需求量”成正比，

25、与“需求对价格的敏感度”成反比*数学模型华中科技大学管理学院3.5 血血 管管 分分 支支背背景景机体提供能量维持血液在血管中的流动机体提供能量维持血液在血管中的流动能量消耗之处能量消耗之处：1、给血管壁以营养给血管壁以营养；2、克服血克服血液流动的阻力液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下研究在能量最小原则下，血管分支处血管分支处粗细血管半径粗细血管半径比例比例和和分岔角度分岔角度问问题题qq1q1ABB CHLll1rr1 即即：r/r1=?

26、,=?数学模型华中科技大学管理学院模型假设模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增壁的内表面积和体积的增加而增加加而增加，管壁厚度近似管壁厚度近似与血管半径成正比与血管半径成正比qq1q1ABB CHLll1rr1 q=2q1考察血管考察血管AC与与CB,CB 血液单位时间的流量数学模型华中科技大学管理学院粘性流体在刚粘性流体在刚性管道中运动性管道中运动lprq84 pA,C压力差压力差

27、，血液粘性系数血液粘性系数1、克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量4218rlqpqE2、提供营养消耗能量提供营养消耗能量与血管壁与血管壁内表面积内表面积、血血管壁体积有关管壁体积有关21,2lbrE管壁内表面积管壁内表面积 2 rl管壁体积管壁体积v=(d2+2rd)l,模型假设模型假设qq1q1ABB CHLll1rr1 (r+d)2-r2管壁厚度管壁厚度d与与r成正比成正比最终得到最终得到：流体力学？医学？流体力学？医学？血液单位时间的流量数学模型华中科技大学管理学院模型建立模型建立qq1q1ABB CHLll1rr1 4218rlqpqE1、克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量21,2lbrE

28、2、提供营养消耗能量提供营养消耗能量11412142212)/()/(lbrrkqlbrrkqEEEsin/Hl,tg/HLl1sin/H)brr/kq()tg/HL)(brr/kq(),r,r(E214121421AC段CB、CB段数学模型华中科技大学管理学院模型求解模型求解qq1q1ABB CHLll1rr1 0,01rErE0/40/451211521rkqrbrkqrb4114rr0E412cosrr442cos210014937,32.1/26.1rrsin/H)brr/kq()g t/HL)(brr/kq(),r,r(E214121421问题问题：r/r1=?,=?，使上式最小使上

29、式最小？前页有定义数学模型华中科技大学管理学院模型模型解释解释生物学家生物学家：结果与观察大致吻合结果与观察大致吻合大动脉半径大动脉半径rmax,毛细血管半径毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有大动脉到毛细血管有n次分岔次分岔4114rr4minmax4nrr5minmax41000/rr21001493732.1/26.1rr实际观察数据实际观察数据：狗的血管狗的血管)4(5n3025nn次分岔次分岔，则血管总条数为则血管总条数为2n：97302510103222n推论推论n=？（式8）反复将式8利用n次，得：（式12）代入式12得：狗的血管条数狗的血管条数*数学模型华中科技大学管理学院q

30、2U(q1,q2)=cq101l2l3l3.6 消费者的选择消费者的选择问题问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品购买这两种商品，以达到最大的满意度以达到最大的满意度。设甲乙数量为设甲乙数量为q1,q2,消消费者的无差别曲线族费者的无差别曲线族(单调减单调减、下凸下凸、不相不相交交），），记作记作 U(q1,q2)=cU(q1,q2)效用函数效用函数已知甲乙价格已知甲乙价格 p1,p2,有钱有钱s，试分配试分配s,购买甲乙数量购买甲乙数量 q1,q2,使使 U(q1,

31、q2)最大最大.数学模型华中科技大学管理学院s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq101l2l3l模型模型及及求解求解已知价格已知价格 p1,p2,钱钱 s,求求q1,q2,或或 p1q1/p2q2,使使 U(q1,q2)最大最大sqpqptsqqUZ221121.),(max),(2211qpqpUL)2,1(0iqLi2121ppqUqU122dqdqKl几几何何解解释释sqpqp2211直线直线MN:最优解最优解Q:MN与与 l2切点切点21p/pKMN直线直线斜率斜率MQN21/qUqUs/p2s/p1-曲线l2斜率什么含义？用拉格朗日乘子法推算所以，图解法与拉格朗日法一致*数学模

32、型华中科技大学管理学院0000021222221221qqU,qU,qU,qU,qU.B2121ppqUqU结果结果解释解释21,qUqU边际效用边际效用消费者均衡状态在两种商品消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到价格之比时达到。效用函数效用函数U(q1,q2)应满足的条件应满足的条件A.U(q1,q2)=c 所确定的函数所确定的函数 q2=q2(q1)单调减单调减、下凸下凸 解释解释 B的实际意义的实际意义AB 如何解释？如何证明？*数学模型华中科技大学管理学院0,)(.1121qqU效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形

33、式2121ppqUqU212211ppqpqp 消费者均衡状态下购买两种商品费用之比消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比与二者价格之比的平方根成正比。U(q1,q2)中参数中参数,分别表示消费者对甲乙分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度两种商品的偏爱程度。越大，用于购买商品甲的钱越多越大，用于购买商品乙的钱越多数学模型华中科技大学管理学院1,0,.221qqU0,)(.3221baqbqaU2121ppqUqU2211qpqp 购买两种商品费用之比与二者价格无关购买两种商品费用之比与二者价格无关。U(q1,q2)中参数中参数,分别表示对甲乙分别表示对甲乙的偏爱程度

34、的偏爱程度。思考思考：如何推广到如何推广到 m(2)种商品的情况种商品的情况效用函数效用函数U(q1,q2)几种常用几种常用的形式的形式数学模型华中科技大学管理学院3.7 冰山运输冰山运输背景背景 波斯湾地区水资源贫乏波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的淡化海水的成本为每立方米成本为每立方米0.1英镑英镑。专家建议从专家建议从9600千米远的南极用拖船千米远的南极用拖船运送冰山运送冰山，取代淡化海水取代淡化海水 从经济角度研究冰山运输的可行性从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备建模准备1.日租金和最大运量日租金和最大运量船船型型小小中中大大日租金日租金（英镑英镑）最大运量最大运量（米米3）4.

35、06.28.05 105106107数学模型华中科技大学管理学院2.燃料消耗燃料消耗（英镑英镑/千米千米）3.融化速率融化速率（米米/天天）与南极距离与南极距离(千米千米)船速船速(千米千米/小时小时)0 1000 40001350 0.1 0.30 0.15 0.450 0.2 0.6冰山体积冰山体积(米米3)船速船速(千米千米/小时小时)105106 1071358.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.213.2 16.5 19.8建模准备建模准备数学模型华中科技大学管理学院建模建模目的目的选择船型和船速选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立使冰山到达目的地后每立米水的费用最

36、低米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较并与淡化海水的费用比较模型模型假设假设 航行过程中船速不变航行过程中船速不变，总距离总距离9600千米千米 冰山呈球形冰山呈球形，球面各点融化速率相同球面各点融化速率相同到达目的地后到达目的地后，每立方米冰可融化每立方米冰可融化0.85立方米水立方米水建模建模分析分析目的地目的地水体积水体积运输过程运输过程融化规律融化规律总费用总费用目的地目的地冰体积冰体积初始冰初始冰山体积山体积燃料消耗燃料消耗租金租金船型船型,船速船速船型船型船型船型,船速船速船型船型数学模型华中科技大学管理学院4000),1(40000),1(21dbuadbudar4.0,2.0

37、,105.6251baa模模型型建建立立1.冰山融化规律冰山融化规律船速船速u(千米千米/小时小时)拖船与南极距离拖船与南极距离d(千米千米)冰山球面半径融化速率冰山球面半径融化速率r(米米/天天）r是是 u 的的线性函数线性函数；d4000时时r与与d无关无关.utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4.01(2.0610000,)4.01(1056.13第第t天融天融化速率化速率0 1000 40001350 0.1 0.30 0.15 0.450 0.2 0.6urd气温很高了经验公式利用上表的数据，可得：*数学模型华中科技大学管理学院1.冰山融化规律冰山融化规律t

38、kktrRR10冰山初始半径冰山初始半径R0，航行航行t天时半径天时半径冰山初始体积冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积天时体积总航行天数总航行天数313004334),(tkkrVtVuV选定选定u,V0,航行航行t天时冰山体积天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积uuT400249600展开代入得到数学模型华中科技大学管理学院1,6,3.0321ccc14334log)6(2.7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuctVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2.燃料消耗燃

39、料消耗105106 1071358.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.213.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗燃料消耗 q1(英镑英镑/千米千米)q1对对u线性变化线性变化,对对log10V线性变化线性变化选定选定u,V0,航行航行第第t天燃料消耗天燃料消耗 q(英镑英镑/天天)：燃料消耗总费用燃料消耗总费用（到第到第t天为止天为止）：）：TttVuqVuQ100),(),(5、6、7所以：每天开了多少公里第t天的燃料消耗*数学模型华中科技大学管理学院V0 5 1055 105V0 106106V0 107 f(V0)4.0 6.2 8.03.运送每立方米水费用运送每立方

40、米水费用冰山初始体积冰山初始体积V0的日租金的日租金 f(V0)（英镑英镑）uu2496T40000航行天数航行天数:总燃料消耗费用总燃料消耗费用拖船租金费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS14334log)6(2.7),(31301010tkkTtrVuuVuQ=拖船的租金+燃料消耗公里公里/小时前页已推算出来总费用总费用数学模型华中科技大学管理学院冰山到达目的地冰山到达目的地后得到的水体积后得到的水体积),(85.0),(00VuVVuW3.运送每立方米水费用运送每立方米水费用冰山运输总费用冰山运输总费用运送

41、每运送每立方米立方米水费用水费用),(),(),(000VuWVuSVuY313004334),(TttrVVuV到达目的地到达目的地时冰山体积时冰山体积),(),(),(000VuQVuRVuS前面已推算出来数学模型华中科技大学管理学院模型求解模型求解选择船型和船速选择船型和船速，使冰山到达目使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低的地后每立方米水的费用最低求求 u,V0使使Y(u,V0)最小最小u=45(千米千米/小时小时),V0=107(米米3)，Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值只能取离散值经验公式很粗糙经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.0

42、6630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组取几组（V0，u）用用枚举法枚举法计算计算船型船型船速船速数学模型华中科技大学管理学院结果分析结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山冰山到达目的地后实际体积会显著小于到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为有关部门认为，只有当计算出的只有当计算出的Y(u,V0)显著显著低于淡化海水的成本时低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性才考虑其可行性。大型拖船大型拖船V0=107(米米3)，船速船速 u=45(千米千米/小时小时),冰山冰山到达目的地后每立米水的费用到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约约0.065(英镑英镑)虽然虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本英镑略低于淡化海水的成本0.1英英镑镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙但是模型假设和构造非常简化与粗糙。