第5章 随机分析.pdf

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1、第5章 随机分析随机过程的微积分数学分析与随机分析在普通函数的微积分中，连续、导数和积 分等概念都是建立在极限概念的基础上。在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念 和性质。在普通函数的微积分中，连续、导数和积 分等概念都是建立在极限概念的基础上。在随机分析中，以随机序列极限为基础，研究分析随机过程的连续、导数和积分等概念 和性质。一、收敛性概念对于概率空间（对于概率空间（,P）上的随机序列）上的随机序列 Xn，每 个试验结果，每 个试验结果 e 都对应一序列 都对应一序列 X1(e),X2(e),Xn(e),若这一族序列对每个若这一族序列对每个 e 都收敛

2、，则称随机序列 都收敛，则称随机序列 Xn 处处收敛，即满足 其中，即满足 其中 X 为随机变量。为随机变量。XXnnlim以概率1收敛以概率1收敛 称二阶矩随机序列 称二阶矩随机序列 Xn 以概率1收敛于 二阶矩随机变量 于 二阶矩随机变量 X，若使 成立的，若使 成立的 e 的集合的概率为的集合的概率为1，即或称，即或称 Xn 几乎处处收敛于于X，记作。记作。XXnnlim1lim:XXePnnXXean.依概率收敛依概率收敛 称二阶矩随机序列 称二阶矩随机序列 Xn 依概率收敛于二 阶矩随机变量 于二 阶矩随机变量 X，若对于任意给定的 ，若对于任意给定的 0，有 记作。，有 记作。0l

3、imXXPnnXXPnXXXXnnnm.i.l m.i.l或均方收敛均方收敛 设有二阶矩随机序列 设有二阶矩随机序列 Xn 和二阶矩随机变 量 和二阶矩随机变 量 X，若有 成立，则称，若有 成立，则称 Xn 均方收敛于于X，记作。，记作。0lim2XXEnnXXsmn.依分布收敛依分布收敛 称二阶矩随机序列 称二阶矩随机序列 Xn 依分布收敛于二阶 矩随机变量 于二阶 矩随机变量 X，若，若 Xn 相应的分布函数列相应的分布函数列 Fn(x)，在，在 X 的分布函数的分布函数 F(x)的每一个连续点处，有 记作。的每一个连续点处，有 记作。)()(limxFxFnnXXdn四种收敛定义的关系

4、dpa.e.m.s.均方收敛的性质定理 设设 Xn,Yn,都是二阶矩随机序列，都是二阶矩随机序列，U 是二阶矩 随机变量，是二阶矩 随机变量，cn 是常数序列，是常数序列，a,b,c 为常数。令 为常数。令 l.i.mXn=X,l.i.mYn=Y,limcn=c，则有，则有bYaXbYaXnn)m(.i.l )4(cccnnnlimm.i.l )1(UU l.i.m )2(cUUcn)m(.i.l )3(m.i.llim )5(nnnXEXEXE)m.i.)(lm.i.(llim )6(,mnmnmnYXEYXEYXEm.i.l lim 222nnnXEXEXE特别有极限运算与求数 学期望运算

5、可以 交换顺序极限运算与求数 学期望运算可以 交换顺序收敛的充要条件定理1 二阶矩随机序列二阶矩随机序列 Xn 收敛于二阶矩随机变 量收敛于二阶矩随机变 量 X 的充要条件为的充要条件为0lim2,mnmnXXE定理2 二阶矩随机序列二阶矩随机序列 Xn 均方收敛的充要条件 为下列极限存在且为常数：均方收敛的充要条件 为下列极限存在且为常数：CXXEmnmnlim,随机过程的极限XtXtt)(m.i.l0极限 当当t t0 时，二阶矩随机过程 时，二阶矩随机过程 X(t),t T 均方收 敛于二阶矩随机变量 均方收 敛于二阶矩随机变量 X，即 则称，即 则称X为随机过程为随机过程X(t)在在t

6、0 点的点的极限，或记作，或记作0)(lim20XtXEtt二、均方连续定义 设有二阶矩过程 设有二阶矩过程 X(t),t T，若对某一个，若对某一个 t T，有 则称，有 则称 X(t)在在 t 点点均方连续，记作 若对记作 若对 T 中所有点都均方连续，则称中所有点都均方连续，则称 X(t)在在 T 上 上 均方连续。0)()(lim20tXhtXEh.)()(m.i.l0tXhtXh均方连续准则定理 二阶矩过程 二阶矩过程 X(t),t T 在在 t 点均方连续的充 要条件是相关函数点均方连续的充 要条件是相关函数 RX(t1,t2)在点 在点(t,t)处连续。处连续。推论 若相关函数若

7、相关函数 RX(t1,t2)在 在 (t,t),t T 上连续，则它在上连续，则它在 T T 上连续。上连续。三、均方导数定义 设 设 X(t),t T 为二阶矩过程，若存在另一个随 机过程为二阶矩过程，若存在另一个随 机过程X(t)，满足 则称，满足 则称 X(t)在在 t 点点均方可微，记作 并称记作 并称X(t)为为 X(t)在在 t 点的点的均方导数。若。若X(t)在在 T 上每 一点上每 一点 t 均方可微，则称它在均方可微，则称它在 T 上上均方可微。0)()()(lim20tXhtXhtXEhhtXhtXttXtXh)()(m.i.ld)(d)(0均方可微准则定理 二阶矩过程 二

8、阶矩过程 X(t),t T 在在 t 点均方可微的充要 条件是相关函数点均方可微的充要 条件是相关函数 RX(t1,t2)在点 在点(t,t)的广义二阶导数 存在。即的广义二阶导数 存在。即推论1 二阶矩过程 二阶矩过程 X(t),t T 在在 T 上均方可微的充 要条件是相关函数上均方可微的充 要条件是相关函数 RX(t1,t2)在 在 (t,t),t T 上每一点 广义二阶可微。上每一点 广义二阶可微。21212212112211002121),(),(),(),(lim),(21hhttRhttRthtRhthtRttttRXXXXhhX均方可微准则)()()()(),(2)212111

9、21tXtXEtXtXEttttRX推论2 若相关函数若相关函数 RX(t1,t2)在 在 (t,t),t T 上每一点广义二阶可 微，则 在上每一点广义二阶可 微，则 在 T 上以及 在上以及 在 T T 上存在，且有上存在，且有ttmXd)(d),(),(),(21212212211ttRttttRtttRtXXX)(d)(dd)(d 1)(tXEttXEttmX)()()()(),(3)21212221tXtXEtXtXEttttRX)()(),(),(4)2112212121tXtXEttttRttttRXX数学期望 运算与求 导运算可 以交换顺 序数学期望 运算与求 导运算可 以交换

10、顺 序四、均方积分niiiiibatttXtfttXtfSn110)()(m.i.ld)()(设 设 X(t),t T 为二阶矩过程，为二阶矩过程，f(t)为普通函数，为普通函数，T=a,b，0lim20SSEnn定义 若当若当n 0时，时，Sn 均方收敛于均方收敛于S，即 则称，即 则称 f(t)X(t)在区间在区间a,b上上均方可积，其积分值记为，其积分值记为btttan10iiiiiiniiniininttttttXtfStt11111 ,)()()(max 其中记均方可积准则定理 f(t)X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充要条件是 存在。特别地，二阶矩过程 上均方可积的充要条件是

11、 存在。特别地，二阶矩过程 X(t)在区间在区间a,b上均方可积的充 要条件是 上均方可积的充 要条件是 RX(t1,t2)在 在 a,b a,b 上可积。上可积。babaXttttRtftf212121dd),()()(均方积分性质（1）babadttXEtfdttXtfE)()()()(1)(数学期望 求积运算 以交换顺数学期望 求积运算 以交换顺babadttXEdttXE)()(特别有 babaXbabadtdtttRtftfdttXtfdttXtfE212121222111),()()()()()()(2)babaXbadtdtttRdttXE21212),()(特别有均方积分性质（

12、2）tadXtY)()(定理 设二阶矩过程设二阶矩过程 X(t),t T 在区间在区间a,b上均方连 续，则 在均方意义下存在，且随机过程上均方连 续，则 在均方意义下存在，且随机过程 Y(t),t T 在区间 在区间 a,b上均方可微，且有上均方可微，且有Y(t)=X(t)。推论 设设 X(t)均方可微，均方可微，X(t)均方连续，则均方连续，则tadttXaXtX)()()(badttXaXbX)()()(例1(例6.7)设设 X(t),t T 是实均方可微过程，求其导数过程 是实均方可微过程，求其导数过程 X(t),t T 的协方差函数的协方差函数 BX (s,t)。解),()()(),()()()()()()(),(),(22tsBtstmsmtsRtstmsmtXsXEtmsmtsRtsBXXXXXXXXXXtadttXaXtX)()()(taXXXdttmamtm)()()()(d)(dtmttmXX