第1章 电磁场矢量分析 答案khdaw.pdf

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2、的辐射与散射100107第 8 章天线基础108125有关任课老师注意：本题解未经作者同意，请不要拷贝，以防难免传给学生，以致形成学生中广泛流传、抄袭，后果严重！课后答案网 111.1/1.1-1 矢径z zyyxxr与各坐标轴正向的夹角分别为,。请用坐标(x,y,z)来表示,并证明1coscoscos222解 coscoscos222zyxzyxz zyyxxrrr 222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxx1coscoscos222,得证.1.2/1.1-2 设 xy 平面上二矢径ar、br与 x 轴的夹角分别为、，请利用barr证明sinsincoscos)cos(

3、。解 设 sincosaaaryrxr sincosbbbryrxr 则sinsincoscosbababarrrrrr 因ar、br夹角为,如图所示,有 )cos(babarrrr 比较上二式得sinsincoscos)cos(,得证.1.3/1.1-3 zyxA9，342zyxB，求：(a)BA;(b)BA;(c)BA解 (a)BA=45)31()49()21(zyxzyx (b)BA=3533623492zzyyxx (c)342191zyxBA14531)184()32()427(zyxzyx1.4/1.1-4 用两种方法求 1.1-3 题矢量A和B的夹角。课后答案网 2解 1 cos

4、ABBA7134.02983359164181135cosABBA49.44解 2 sinABnBA 7008.029.831182298314531sin222ABBA44.49解 3 222222222cos1544283294235cos0.71342283 29240744.49ABABABABABAB1.5/1.1-5 设czbyxA，83zyxB，若使(a)BA，或(b)BA/，则 b和 c 应为多少？解 (a)BA,则0,A B故1 3807,81 3,;2,;8A Bbcb ccbbc1满足即可 如:b=1,c=2(b)BA/,则0AB,故 038388311bzcycbxcb

5、zyxBA8308030bccb得 b=3,c=-8 1.6/1.1-6 设czbyaxBzyxA,369，为使BA/，且B的模 B=1，请确定abc。课后答案网 3解BA/,则0AB,故 0699336cba369abzcaybcxzyxBA2030320cbacba 即 cacb32 又因 22221Babc,得21(94 1)1,14cc123123,141414141414cbacba或1.7/1.1-7 已知三个矢量如下：zyxA32，4zxB，52zxC，请用两种方法计算(a)(CBA；(b)(CBA；(c)CBA)(。解 (a)1.385yyyCB 9332yzyxCBA 2.1

6、2318xzyBA91524371252zyxzxBACCBA(b)1.63332)(zxyzyxCBA2BACCABCBA)(.6330123694252544zxzxzxzxzx(c)1.523712zxzyxCBA1466353514660zyxxzy 2.ACBBCABACCBA课后答案网 41.8/1.2-1 已知22z zxyyxxA，2xyyxB，在点（2，1，2）处，试求：(a)A;(b)B;(c)(BA。解 (a)zxzzyxyxxA22)2(284222,1,2A(b)02yxxyB(c)222232zxxyzyxyzxzBA222322222zxzzxyxyyzxzx 1

7、22222222,1,2BA1.9/1.2-2 设zzyyxxA32，22yx，请用两种方法计算)(A在（1，2，3）点的值。解 1.zzyyxxyxA322222222232yxzzyxyyyxxxA2222222281032222yxyxyyyxxxyx4232103,2,1A2.AAA 22222222810246223232yxyxyxyyxxzzyyxxzzyyxxyx4232103,2,1A1.10/1.2-3 已知矢径z zyyxxr,21222)(zyxr，试证:(a)0)(3rr;(b)nnrnrr)3()(。课后答案网 5证 (a)033322222221222232222

8、3222232222322232322223222232223zyxzyxzyxzyxzyxzzzyxyyzyxxxrrzyxzzzyxyyzyxxxrr(b)nnnrrrrrr2122222222223nnnnnrrz zyyxxzyxnzyxrzzyyxxrnnnnrnnrrrrrr3321.11/1.2-4 设电场强度yzzxyyxxE2,对直角坐标系第一象限内的正立方体，每边均为单位长，其中一个顶点位于坐标原点，请验证散度定理成立。证 参看图 1.2-5,但各边长为 1,则2212332101010dxdydzyxdvyxxdvAvvdxdzyz zxyxxdydzxyzzdydzxy

9、zzyyxsdAs1010210101010 dxdyzxyyxxdxdyzyzxyyxxdxdzyxx101021010210102 221211上二积分结果相同,故vssdAdvA1.12/1.2-5 应用散度定理计算下述积分：sdzyxyzzyxyxzxIs)2(2322,s 是 z=0 和21222)(yxaz所围成的半球区域的外表面，球坐标体积元为drdrdr sin2。解dvzyxyzzyxyxzxI课后答案网 6520002020532222522cos51sinarddrdrrdvyxzaav1.13/1.3-1 设yxyyxxA1)(，求点（1，0，0）处的旋度及沿2/)(1

10、zyl 方向和2/)(2yxl方向的环量面密度。解yAxAzXAzAyzAyAxAxyZxyzyxzyxxyz12zA0,0,1210,0,11lA00,0,12lA1.14/1.3-2 求下列矢量场的旋度：(a)zzyyxxA322；(b)()()(222222xzzzyyyxxB。解(a)0232322xyyxzzxxzyyzzyxA(b)222222222222yxyzyxzxzxyxzyzyzxzyxByzxyzxyzxyzx22221.15/1.3-3 设常矢量zyxczcycxc，矢径z zyyxxr，试证crc2)(证xcyczzcxcyyczcxrcyxxzzyC课后答案网 7

11、1.16/1.3-4 已知z zyyxxr,21222)(zyxr，试证(a)0 r;(b)0)(rf r，rrr，)(rf是 r 的函数。证(a)212222122221222zyxzzyxyzyxxzyxzyxrrr0222222222232222322223222zyxyxxyzzyxxzzxyzyxzyyzx(b)212222122221222zyxrzfzyxryfzyxrxfzyxzyxrf r2222322221222212222322222222222zyxzrf yzyxzryfzyxyzyxrf zzyxyrzfx222232222222322222222222zyxxrf

12、 zzyxxrzfzyxzrf xzyxzrxfy0222222222222322222223222zyxyrf xzyxyrxfzyxxrf yzyxxryfz1.17/1.3-5 设xyxyxA2，试计算面积分ssdAI)(，s 为 xy 平面第一象限内 半径为 3 的四分之一圆，即 x 的积分限为(0,29y),y 的积分限为（0,3）,并验证斯托克斯定理。解 202xzxxyzyxzyxA课后答案网 8dxdyxdszxzIyS29030222191sin96272273sin299226129929211301233022yyyyydyyy又321lllll dA033020203c

13、os32cossinsincos3sincos0dyddx2192sin2113sin3933cos6cossin92032022d由上,lSl dAdsA,斯托克斯定理成立.1.18/1.4-1 求标量场4sin0yex在点(2,2,0)处的梯度及沿2/)(yxl方向的方向导数。解04cos44sin00zyeyyexzzyyxxxx2020200,2,22cos4exeyex200,2,2000,2,20,2,224cos244sin2eyeyellxx1.19/1.4-2 求标量场yzx2在点 P(2,2,1)处的最大变化率值及沿方向43yxl5 z的方向导数。解 yxzzxyxyzxz

14、zyyxx222 282516910464124144224848PPPP课后答案网 91.20/1.4-3 已知21222)(zyxr，试求：(a)nr，n 为正整数；(b)(rf，)(rf 是r 的函数。解 (a)2222nnzyxzzyyxxr12122221222212222222222nnnnnnrrnrrzzyxnzyzyxnyxzyxnx(b)rfzzyyxxrfrf rrfrrzzyxrf zyzyxrf yxzyxrf x2212212212122221222212221.21/1.4-4 已知 c 为常数,zyxAzAyAxA和zyxkzkykxk为常矢量，矢径 z zyy

15、xxr。试证：(a)rkcrkcekce；(b)rkcrkceAkceA)(；(c)rkcrkceAkceA)(。证(a)zkykxkcrkczyxezzyyxxerkczzkykxkcyzkykxkcxzkykxkcekcckezckeyckexzyxzyxzyx(b)rkczrkcyrkcxrkceAzeAyeAxeA,zkykxkrkzyxrkczrkcyrkcxrkceAzeAyeAxeArkczrkczyrkcyxrkcxeAkcckeAckeAckeA课后答案网 10(c)eA(rkcrkcxrkcyrkczrkcxrkcyrkczeAyeAxz eAxeAzy eAzeAyx r

16、kcyrkcxxrkcyxrkczzrkcxzrkcyyrkczeAkcckeAckeAzckeAckeAyckeAckeAx1.22/1.6-1 已知 P 点的直角坐标为(2,2,1)，请确定其柱坐标和球坐标。解柱坐标:14522828.222441122ztgxytgyx球坐标:31822zr 5.701828.211tgztg or 5.7031coscos11rz451xytg1.23/1.6-2 已知 z=0 平面上源点的矢径为yyxxr，场点位于),(rp其矢径为r，且有xr、y，试证源点至场点距离为)sinsincossin(yxrrrR。注：当1x，21121xx。证 rz z

17、yyxxrryyxxr zryrxcossinsincossin212222cossinsincossinryrxrrrR课后答案网 111.24/1.6-3 在 r=1 和 r=2 两个球面之间的区域存在电通量密度32cosrrD，请计算：(a)ssdD；(b)vdvD；(c)验证散度定理。解 (a)20202321202032sincossincosrrSddrrrrddrrrrsdD22sin21121cos212sin21121cos200200(b)ddrrdvDrrrdvDrvvsincos1122210204222212sin21121cos120021r(c)由(a)、(b)可

18、见散度定理成立.1.25/1.6-4 若(a)0)(rrf,(b)0)(rrf，请解出满足方程的)(rf。解(a)rrfrrrfrfrrrfrrf3 故03rrfrrf，rfdrrdfr3，rdrrfrdf3，Crrfln3ln,得3rCrf(b)0rrrfrrrfrrfrrf故的任意函数。可以是rrf1.26/1.6-5 试求A和A设:(a)22332),(yxzzxyzxyxzyxA;(b)sincos),(22zzA;(c)sin1sin),(rr rrA+cos12r。解(a)323200zyzyzAyAxAA课后答案网 123222322233223232xyzzxzxyzxyyxy

19、xxyxzxzxyzyxzyxA (b)cos30cos31112zAAAAzsinsin2cos1sin0cos122222zzzA (c)ArArArrrArsin1sinsin1122cos2sin30sin1cossin2sin1sin31222rrrrrrcossin1sinsinsinsin12rrrrrrrAcoscos1sin2coscossincossin2cos1sin13322rrrrrrrrrr1.27/1.6-6 设rerkr),(，k=常数，试证：)(22rekkr。证rerrerrerrrrkrkrkr22222222sin1sinsin11rekkekrkerrekrerrrkrkrkrkrkr222221111.28/1.6-7 证明下列函数满足拉普拉斯方程(a)zyexzyxsinsin),(,222;(b)nzncos),(;(c)sin),(rr。课后答案网 13证(a)2222222sinsinsinsinsinsinryexyxexyezyxzzz 0sinsin222zyex(b)2212222222cos1cos111nnnnznn0coscos2nnnn(c)2222222sin1sinsin11rrrrrr0coscos2cossin2sin1cos2122rrrrr得证课后答案网课后答案网