数学分析教案 (华东师大版)第二十二章 曲面积分.doc

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1、数学分析教案第二十二章 曲面积分 教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。 教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。 教学时数：18学时 1 第一型曲面积分 一. 第一型面积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算 2. 曲面的质量: 3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分 . 4. 第一型面积分的性质: 二. 第一型面积分的计算: 1. 第一型曲

2、面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 . 为 上的连续函数,则 . 例4 计算积分 , 其中 是球面 被平面 所截的顶部 . P2812 第二型曲面积分 一. 曲面的侧: 1. 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量为 ,则上侧法线方向对应第三个分量 , 即选“+”号时，应有 ，亦即法线方向与 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧. 二. 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P284 2. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性

3、, 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设 为曲面 的指定法向, 则 . 三. 第二型曲面积分的计算: Th22.2 设 是定义在光滑曲面 D 上的连续函数, 以 的上侧为正侧( 即 ), 则有 .证 P 类似地, 对光滑曲面 D , 在其前侧上的积分 .对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分 .计算积分 时, 通常分开来计算三个积分 , , .为此, 分别把曲面 投影到YZ平面, ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算. 投影域的侧由曲面 的定向决定. 例1 计算积分 ,其中 是球面 在 部分取外侧. P287 例2 计算积分 ， 为球面 取外侧. 解 对

4、积分 , 分别用 和 记前半球面和后半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, = + = . 对积分 , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, + = .对积分 , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧, 则有 : ; : .因此, = + = .综上, = . 3 Gauss公式和Stokes 公式 一. Gauss公式: Th22.6 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 . 若函数 在V上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 ,其中 取外侧. 称上述公式为Gauss公式或Gauss公式.证 只证 .设V是 型区域( 即 型体 ) , 其边界曲面

5、由曲面 下侧 , D , 上侧 , D . . 以及垂直于 平面的柱面 (外侧)组成. 注意到 = , 有= = .可类证 , .以上三式相加, 即得Gauss公式. 例1 计算积分 ， 为球面 取外侧. 解 . 由Gauss公式 . 例2 计算积分 ，其中 是边长为的正方体V的表面取外侧. V : . P291解 应用Gauss公式 , 有 .例1 计算积分 ， 为锥面 在平面下方的部分，取外法线方向 .解 设 为圆 取上侧 , 则 构成由其所围锥体V的表面外侧 , 由Gauss公式 , 有 = 锥体V的体积 ;而 因而, .例1 设V是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连

6、续收缩为V上的一点. 又设函数 、 和 在V上有连续的偏导数. 表示V内任一不自交的光滑封闭曲面, 是 的外法线. 试证明: 对V内任意曲面 恒有 的充要条件是 在V内处处成立.证 . 由Gauss公式直接得到 . 反设不然 , 即存在点 V, 使 ,不妨设其 . 由 在点 连续, 存在以点 为中心且在V内的小球, 使在其内有 . 以 表示小球 的表面外侧, 就有 ,与 矛盾.二. Stokes公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线L行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前进方向定为L的正向. 1. Stokes定理: T

7、h22.7 设光滑曲面 的边界L是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、 和 在 ( 连同L )上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 则.其中 的侧与L的方向按右手法则确定 . 称该公式为Stokes公式 . 证 先证式 . 具体证明参阅P292.Stokes公式也记为 . 例5 计算积分 ,其中 L为平面 与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往下看为逆时针方向. P294 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域.Th 22.5 设 R 为空间单连通区域 . 若函数 、 和 在 上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: 对于 内任一按段光滑的封闭曲线L , 有 ; 对于 内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分 与路径无关; 是 内某一函数 的全微分; 在 内处处成立 . P294 3. 恰当微分的原函数: 恰当微分的验证及原函数求法. 例6 验证曲线积分 与路径无关 , 并求被积表达式的原函数 . P295- 10 -