角的平分线的性质PPT.ppt

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1、12.3角平分线的性质旧知回顾旧知回顾 一条射线把一条射线把一个角一个角分成两个相等的分成两个相等的角，这条角，这条射线射线叫做这个角的平分线叫做这个角的平分线.oBCA1 12 2符号语言：符号语言：射线射线OC是是AOB的角平分线的角平分线 1=21.角平分线的定义：2 2、点到直线距离、点到直线距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离.OPAB点点P到直线到直线AB的距离的距离就是就是垂线段垂线段PO的长度的长度旧知回顾旧知回顾旧知回顾旧知回顾3.三角形的角平分线：三角形的角平分线：在三角形中，一个角的平分线与它的对边相交，在三角形中，一个角的平分线与它的对边相

2、交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线分线如何做角平分线呢如何做角平分线呢？1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？活动活动2ADBCp2、证明：在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（

3、已知）DC=BC（已知）（已知）CA=CA（公共（公共边）ACD ACB（SSS）CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）角相等）AC平分平分DAB（角平分（角平分线的定的定义）ADBCE尺规作角的平分线A A画法：画法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，长为半径作弧，交于，交于交于分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 1/2 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在的内部交于的内部交于作射线作射线OC射线即为所求射线即为所求 根据角平分仪的制作原理怎样作一个根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）角的平分线？（不用角平分仪或量角器）老

4、师提示老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握这种方法要确实掌握.A A为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？O O想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC求证：求证：OCOC平分平分AOBAOB证明证明：在在OMCOMC和和ONCONC中，中，OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OCOC=OC，OMC ONCOMC ONC（SSSSSS）MOC=NOCMOC=NOC 即：即：OCOC平分平分AOBAOB1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OC

5、OC以后，把以后，把它反向延长得到直线它反向延长得到直线CDCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。ABOCD 角平分线有什么性质呢？角平分线有什么性质呢？OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P是射线是射线OC上的任意一点，上的任意一点，1.操操作作测测量量：取取点点P的的三三个个不不同同的的位位置置，分分别别过过点点P作作PDOA，PE OB,点点D、E为为垂垂足足，测测量量PD、PE的的长长.将三

6、次数据填入下表：将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段观察测量结果，猜想线段PD与与PE的大小关系，的大小关系，写出结论：写出结论：_ PD PE 第一次第一次第二次第二次 第三次第三次 COBAPD=PEpDE角平分线的性质：角的平分线上的点 到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED猜想：C数学符号表示已知和求证：即即注意特别是文字性叙述的几何证明题P PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上

7、，PDOA于点D，PEOB于点E求证:PD=PE证明：证明：OC平分平分 AOB（已知）（已知）1=2（角平分线的定义）（角平分线的定义）PD OA，PE OB（已知）（已知）PDO=PEO（垂直的定义）（垂直的定义）在在PDO和和PEO中中 PDO=PEO（已证）（已证）1=2（已证）（已证）OP=OP（公共边）（公共边）PDO PEO（AAS）PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12你还可以得到其他什么结论？1.1.先证所缺条件先证所缺条件2.2.写齐条件：一个写齐条件：一个中心三个基本点中心三个基本点1.OD=OE1.OD=

8、OE2.PO2.PO是是是是DPEDPE的平分线的平分线的平分线的平分线ODEPP P到到OAOA的距离的距离P P到到OBOB的距离的距离角平分线上的点角平分线上的点几何语言描述：几何语言描述：OC OC平分平分AOBAOB，且且PDOAPDOA，PEOBPEOB PD=PE PD=PEACB 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角的平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线的性质：角平分线的性质：不必再证全等不必再证全等作用：作用：判断线段相等的依据判断线段相等的依据.如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

9、个角的两边的距离相等。BD CD（）判断正误：练习练习1 1 如图，如图，DCAC，DBAB （已知）（已知）=，()在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。BD CD（）AD平分平分BAC,DCAC，DBAB （已知）（已知）=，（）DBDC在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角的两边的距离相等。不必再证全等不必再证全等如 图,OC是 AOB的 平 分 线,点 P在 OC上,PDOA,PEOB,垂 足 分 别 是 D、E,PD=4cm,则PE=_cm.ADOBEPC4随课巩固例1:如图，在ABC中，C900，AD

10、平分BAC交BC于点D，若BC8,BD5，则点D到AB的距离为？ACDBEEDE=CD=BC-BD=8-5=3 在在OAB中，中，OE是它的角平分线，且是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直分别垂直OA，OB，垂足为，垂足为C，D.求证：求证：AC=BD.O OA AB BE EC CD D提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质提示：有角平分线的条件，常考虑角平分线性质要证AECBED有哪些条件？需要先证吗？请写出证明过程例2：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEDFMN NDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCP

11、ABCP点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段点拨：有角平分线时，常过角平分线上的点向角的两边作垂线段证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BF是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等ABCPDEF结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等结论：两内角平分线的交点到三边的距离相等练习：练习：如图，如图，的的的外角的平的外角的平分线与分线与的外角的平分线相交于的外角的平分线相交于点求证：点到三边，点求证：点到三边，所在直线的距离

12、相等所在直线的距离相等F FGHF FGH证明：过点P作PG、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H BD是ABC的角平分线，点P在BM上 PG=PF（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理 PF=PH.PG=PF=PH.即点P到边AB、BC、CA的距离相等两外角平分线的交点到三边的距离相等两外角平分线的交点到三边的距离相等得到结论：得到结论：小结:及画一条已知直线的垂线；及画一条已知直线的垂线；2 2：角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等判断线段相等的依据判断线段相等的依据.1.1.如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线如何作一个已知角的角平分线作业布置