连续信号的频谱-傅里叶变换.ppt

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1、第三章第三章连续信号的频谱连续信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换 本章的主要内容：1、周期信号的傅里叶级数分析2、典型周期信号的傅里叶级数3、傅里叶变换4、典型非周期信号的傅里叶变换5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换6、傅里叶变换的基本性质7、卷积特性（卷积定理）8、周期信号的傅里叶变换9、抽样信号的傅里叶变换10、抽样定理第一节第一节引言引言傅里叶分析发展史从本章开始由时域分析转入频域分析。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作

2、，提出并证明了将将周周期期函函数数展展开开为为正正弦弦级级数数的的原原理理，奠奠定定了了傅傅里里叶叶级级数数的的理理论基础。论基础。泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电学中去。伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用。直到19世纪末，制造出电容器。20世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景。从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采采用用频频率率域域（频频域域）的的分分析析方方法法比比经经典典的的时时间间域域（时时域域

3、）方方法法有许多突出的优点。当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具。20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段。使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法。但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础。而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力。傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用。本章讨论的路线：本章讨论的路线：

4、傅里叶级数正交函数傅里叶变换，建立信号频谱的概念；通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。第二节第二节周期信号的傅里周期信号的傅里叶级数分析叶级数分析一、三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 1 1、一种三角函数形式的傅里叶级数、一种三角函数形式的傅里叶级数 为了积分方便，通常取积分区间为：三角函数集是一组完备函数集。2 2、另一种三角函数形式的傅里叶级数、另一

5、种三角函数形式的傅里叶级数 3 3、傅里叶级数展开的充分条件、傅里叶级数展开的充分条件 通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。4 4、基波、谐波、基波、谐波 通常把频率为：称为基波。频率为：称为二次谐波。频率为：称为三次谐波。频率为：称为三次谐波。可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形。5 5、幅度谱、相位谱、幅度谱、相位谱 周期信号的主要特点：二、指数形式的傅里叶级数二、指数形式的傅里叶级数 1 1、指数形式的傅里叶级数的形式、指数形式的傅里叶级数的形式 2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系指数形式的傅里叶级

6、数中各个量之间的关系 3.指数形式表示的信号频谱指数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。4.周期信号的功率特性周期信号的功率特性时域和频域能量守恒定理时域和频域能量守恒定理周期信号的平均功率平均功率P：在一个周期内求平方再求积分。帕塞瓦尔帕塞瓦尔定理定理1.函数的对称性函数的对称性三、函数的对称性与傅里叶系数的关系三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，

7、则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。波形对称性有两类：波形对称性有两类：（1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。（2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。2.傅里叶级数的系数求解傅里叶级数的系数求解(1)偶函数信号偶函数信号例如：周期三角波信号是一偶函数其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：例如：周期锯齿波信号是一奇函数（2）奇函数信号）奇函数信号（3）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐函数信号（半波对称函数）奇谐奇谐函数信号函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：00a=例子例子例如：奇谐函数四、傅里叶有限级数与最

8、小方均误差四、傅里叶有限级数与最小方均误差实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。例子例子以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。只取基波分量一项解解：其傅里叶级数表达式为：从上面例子看出：（1）n愈大，则愈逼近原信号f(t)。(2)当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。(3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，

9、输出波形一般要发生失真。取基波分量和三次谐波分量取基波、三次谐波分量和五次谐波分量当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。五、吉布斯（五、吉布斯（Gibbs）现象现象举例举例3.1：解：解：举例举例3.2：作业P1603-1，3-2，3-3，3-8第三节第三节典型周期信号的典型周期信号的傅里叶级数傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的傅里叶级数典型周期信号的频谱分析可利用：典型周期信号的频谱分析可利用：傅里叶级数傅里叶级数或傅里叶变换或傅里叶变换介绍的典型周期信号有如下：介

10、绍的典型周期信号有如下：1、周期矩形脉冲信号、周期矩形脉冲信号2、周期锯齿脉冲信号、周期锯齿脉冲信号3、周期三角脉冲信号、周期三角脉冲信号4、周期半波余弦信号、周期半波余弦信号5、周期全波余弦信号、周期全波余弦信号1 1、周期矩形脉冲信号周期矩形脉冲信号(1)(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。解：（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱幅度谱相位谱复数频谱：实数频谱：幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并 周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：a.是正负

11、交替正负交替的信号，其直流分量a0等于零。b.它的脉宽恰等于周期的一半，即t=T1/2（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数解：解：幅度谱相位谱(2)(2)周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解周期锯齿脉冲信号，是奇奇函数。解：它是奇函数可求出傅里叶级数的系数bn,留给同学们做。其傅里叶级数表达式为：此信号的频谱只包含正弦分量正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛规律收敛。(3)(3)周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解周期三角脉冲信号，是偶偶函数。解：它是偶函数可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同

12、学们做。此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。其傅里叶级数表达式为：(4)(4)周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号的傅里叶级数求解周期半波余弦信号，是偶偶函数。解：它是偶函数可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做。此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。其傅里叶级数表达式为：(5)(5)周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号的傅里叶级数求解周期全波余弦信号，是偶偶函数。解：令余弦信号为此信号的频谱只包含直流、基波及

13、偶次谐波分量只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛规律收敛。其傅里叶级数表达式为：则，全波余弦信号为：作业P1603-4，3-6，3-7，3-10，3-11(a)，3-12，第四节第四节傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换（非周期信号）1.1.傅里叶变换引入傅里叶变换引入 由于周期信号的周期T1，谱线的间隔w10，则离散谱变成连续谱离散谱变成连续谱。由于周期信号的周期T1，谱线的长度F(nw1)趋于零，则其频谱失去频谱失去应有的意义。应有的意义。但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分解，必须存在频谱分布。2.2.频谱密度的概念频谱密度的概念 对非周期

14、信号不能采用周期信号的频谱定义方式。而必须引入一个新的量。频谱密度函数：在T1，谱线的间隔w10,不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，简称为频谱函数。3.3.傅里叶变换定义傅里叶变换定义由：得：4.4.非周期信号的幅度频谱与相位频谱非周期信号的幅度频谱与相位频谱频谱函数F(w)：一般是复函数。：是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的相对相对大小。：是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系相位关系。人们习惯上也把：为非周期信号的幅度频谱；：为非周期信号的相位频谱。5.5.傅里叶变换形式的三角形式傅里叶变换形式的三角形式6.6.傅里叶变换的特点傅里叶变换的特点非周期信号和

15、周期信号一样，可以分解成许多不同频率的正、余弦分量。由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量包含了从零到无限高的所有频率分量。由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零。非周期信号的频谱用频谱密度频谱密度来表示。看出：周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数）非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换）周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。7.7.傅里叶变换的存在充分条件傅里叶变换的存在充分条件 傅里叶变换存在的充分条件是在无限内满足绝对

16、可积条件：借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换存在傅里叶变换。第五节第五节典型非周期信号典型非周期信号的傅里叶变换的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换典型非周期信号的傅里叶变换 本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。1、单边指数信号2、双边指数信号3、奇双边指数信号4、矩形脉冲信号5、钟形脉冲信号6、符号函数7、升余弦脉冲信号一、单边指数信号的傅里叶变换一、单边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：代入傅里叶变换定义公式中解：单边指数信号的频谱如下：时域波形频域频谱二、双边指数信号的傅

17、里叶变换二、双边指数信号的傅里叶变换 其傅里叶变换为：代入傅里叶变换定义公式中解：双边指数信号的频谱如下：频域频谱时域波形相位等0三、奇双边指数信号的傅里叶变换三、奇双边指数信号的傅里叶变换 频域频谱时域波形四、矩形脉冲信号的傅里叶变换四、矩形脉冲信号的傅里叶变换 时域有限时域有限的矩形脉冲信号，在频域频域上是无限分布无限分布。通常，认为信号占有频率范围（频带）为五、钟形脉冲信号的傅里叶变换五、钟形脉冲信号的傅里叶变换（高斯脉冲）（高斯脉冲）其傅里叶变换为：因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其相位频为相位频为零。零。六、符号函数的傅里叶变换六、符号函数的傅里叶变换 其傅里叶变换为：这种信号不满

18、足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而求得符号函数的频谱。七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换七、升余弦脉冲信号的傅里叶变换 升余弦脉冲信号：其傅里叶变换为：它的频谱是由三项构成的，他们都是矩形脉冲的频谱，只是有两项沿频率轴左、右平移了代入傅里叶变换定义公式中解：化简得：作业P1643-15，3-16，3-17，3-18，3-19，3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，第六节第六节冲激函数和阶跃函冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换数的傅里叶变换（1）冲激函数的傅里叶正变换

19、冲激函数的傅里叶正变换 f(t)=d(t)一、冲激函数的傅里叶变换一、冲激函数的傅里叶变换 单位冲激函数的频谱等于常数频谱等于常数，即：在整个频率整个频率范围内频谱是均匀分布均匀分布的。在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。称此频谱为“均匀谱均匀谱”或“白色谱白色谱”。其傅里叶变换为：（2）冲激函数的傅里叶反变换）冲激函数的傅里叶反变换 其傅里叶变换为：直流信号 f(t)=E求f(t)冲激函数的频谱等于常数。冲激函数的频谱等于常数。反过来，直流信号的频谱是冲激函数直流信号的频谱是冲激函数。求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为的矩形脉冲 的极限而求得。当 时，矩形脉冲成为直

20、流信号f(t)=E,其傅氏变换为：若令比较上两式可得到：当E=1时，二、冲激偶信号的傅里叶变换二、冲激偶信号的傅里叶变换 冲激冲激偶函数偶函数：其傅里叶变换为：推导：推导：解：解：两边求导：得：推广：推广：三、阶跃信号的傅里叶变换三、阶跃信号的傅里叶变换 阶跃函数：阶跃函数u(t)不满足绝对可积条件，但它仍存在傅里叶变换。可见：单位阶跃函数u(t)的频谱的频谱在w=0点存在存在一个冲激函数，冲激函数，即：u(t)含有直流分量含有直流分量。此外：由于u(t)不是纯直流信号不是纯直流信号，它在t=0点有跳变，因此在频谱中还存在其他频率分量存在其他频率分量。第七节第七节傅里叶变换傅里叶变换的基本性质

21、的基本性质v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质傅里叶变换建立了时间函数f(t)与频谱函数F(w)之间的对应关系。其中，一个函数确定之后，另一函数随之被唯一地确定。1、对称性 2、线性（叠加性）3、奇偶虚实性 4、反折5、共轭性能 6、尺度变换特性7、时移特性 8、频移特性9、微分特性 10、积分特性v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质TTv傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质TTT其中，其中，a1,a2为常数为常数v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质为为复函数复函数v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质当当信号在时域中压缩（信号在时域中压缩（a0)，等效于在频域中扩展。等效

22、于在频域中扩展。当信号在时域中扩展（当信号在时域中扩展（a0)，等效于在频域中压缩。等效于在频域中压缩。当信号在时域中当信号在时域中 沿纵轴反折（沿纵轴反折（a=-1)，说明信号在时域中说明信号在时域中沿纵轴反折等效于在频域中频谱也沿纵轴反折。沿纵轴反折等效于在频域中频谱也沿纵轴反折。即：信号的波形压缩即：信号的波形压缩a倍，信号随时间变化加快倍，信号随时间变化加快a倍，则倍，则它所包含的频率分量增加它所包含的频率分量增加a倍。即频谱展宽倍。即频谱展宽a倍。根据能倍。根据能量守恒定律，各频率分量的大小必然减小量守恒定律，各频率分量的大小必然减小a倍。倍。在通信系统中，通信速度与占用频带宽度是一

23、对矛盾。在通信系统中，通信速度与占用频带宽度是一对矛盾。v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质 信号在时域中延时信号在时域中延时t-t0（沿时间轴右移），等效于沿时间轴右移），等效于在频域中相位产生偏差（在频域中相位产生偏差（-wt0),其幅度谱不变。其幅度谱不变。v例例3-23-2求下列所示三脉冲信号的频谱。求下列所示三脉冲信号的频谱。解：令解：令f0(t)表示矩形单脉冲信号表示矩形单脉冲信号由时移特性可得：由时移特性可得：其频谱如下：其频谱如下：v例例3-33-3求双求双Sa信号的频谱。信号的频谱。解：令解：令f0(t)表示为表示为Sa信号波形信号波形由时移特性得：由时移特性得：已知已知F0(

24、w)表示为表示为Sa信号频谱信号频谱可得可得幅度谱：幅度谱：虽然单虽然单Sa信号的频谱最为信号的频谱最为集中，但它含有直流分量，集中，但它含有直流分量，使得它在实际传输过程中使得它在实际传输过程中带来不便，而双带来不便，而双Sa信号的信号的频谱能消去直流分量。频谱能消去直流分量。v傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质频谱搬移频谱搬移技术在通信中应用广泛。如调幅、同步解调、技术在通信中应用广泛。如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频域上右移频域上右移w0,等效等效时域中信号调制时域中信号调制。即乘以因子。即乘以因子v例例3-43-4已知矩

25、形调幅信号如图所示已知矩形调幅信号如图所示其中其中G(t)为矩形脉冲，脉幅为为矩形脉冲，脉幅为E，脉宽为脉宽为，试求其频谱。，试求其频谱。解：解：G(t)矩形脉冲的频谱为：矩形脉冲的频谱为：根据频移特性：根据频移特性：f(t)的频谱的频谱F(w)为为其频谱图其频谱图为：为：v例例3-53-5已知余弦信号已知余弦信号利用频移定理求利用频移定理求其频谱。其频谱。解：已知直流信号的频谱是位于解：已知直流信号的频谱是位于w=0点的冲激点的冲激函数，即函数，即利用频移定理，可求得利用频移定理，可求得其频谱其频谱位于位于0,频谱图如下：频谱图如下：余弦、正弦信号即为单频信号。余弦、正弦信号即为单频信号。v

26、傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质v例子例子已知单位阶跃信号已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换的傅里叶变换利用时域微分定理，求利用时域微分定理，求(t)及及(t)。解：解：v例例3-63-6已知三角脉冲信号已知三角脉冲信号利用微分特性求其频谱利用微分特性求其频谱F(w).解：解：f(t)的波形如右的波形如右求导求导再求导再求导求其频谱求其频谱最后求出最后求出f(t)的频谱的频谱F(w).将将f(t)取一阶与二阶导数：取一阶与二阶导数：求出二阶求出二阶导数的频谱导数的频谱F2(w).求得求得f(t)的频谱为：的频谱为：其频谱图其频谱图v例例3-73-7求下列截平斜变信号的频谱求下列截平斜变信号的

27、频谱解：利用积分特性求解：利用积分特性求y(t)的频谱的频谱Y(w).已知：矩形脉冲信号已知：矩形脉冲信号f(t)，其积分就是其积分就是y(t)求积分求积分通过积分特性通过积分特性求其频谱求其频谱最后求出最后求出y(t)的频谱的频谱Y(w).已知矩形脉冲信号已知矩形脉冲信号f(t)的频谱的频谱根据积分特性求出根据积分特性求出y(t)的频谱的频谱Y(w).时移时移时移时移作业P168 3-20，3-21，3-22，3-23，3-24，3-25，3-26，3-27，3-28，3-29，3-30，第八节第八节卷积特性卷积特性（卷积定理）（卷积定理）卷卷积积特性是傅里叶变换性质之一，由于它特性是傅里叶

28、变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位应在通信系统和信号处理中的重要地位应用最广。所以单独以一节来讲。用最广。所以单独以一节来讲。共分二个定理：共分二个定理：时域卷积时域卷积定理定理频域卷积频域卷积定理定理卷积特性卷积特性v、时域卷、时域卷积积定理定理给定两个时间函数给定两个时间函数已知：已知：则：则：时域卷时域卷积积频频域域相乘。相乘。即：两个时间即：两个时间函数卷积的频谱函数卷积的频谱等于各个时间函数等于各个时间函数频谱的乘积。频谱的乘积。v证明：证明：根据卷积定义根据卷积定义则：则：v、频域卷、频域卷积积定理定理给定两个时间函数给定两个时间函数已知：已知：则：则：频域频域卷

29、卷积积时域相乘。时域相乘。即：两个时间即：两个时间函数函数频谱频谱的卷积的卷积等效于各个时间函数等效于各个时间函数的乘积（乘的乘积（乘以系数）。以系数）。v例例3-3-已知余弦脉冲信号已知余弦脉冲信号解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号解：把余弦脉冲信号看成是矩形脉冲信号(t)与周期余弦信与周期余弦信号相乘。号相乘。利用卷积定理求其的频谱。利用卷积定理求其的频谱。乘乘以以等等于于时时域：域：频域：频域：卷卷积积等等于于已知：已知：化简得：化简得：v例例3-3-题目同例已知三角脉冲信号题目同例已知三角脉冲信号利用卷积定理求其频谱利用卷积定理求其频谱F(w).解：两个同样矩形脉冲的解：两个同样矩形

30、脉冲的卷积卷积即为三角脉冲。如下：即为三角脉冲。如下：卷积卷积等于等于时域时域卷积等于频域相乘。卷积等于频域相乘。乘以乘以等于等于即求出三角脉冲的频谱即求出三角脉冲的频谱F(w).v补充例子补充例子3 3.：请请同学们画出频谱图同学们画出频谱图用用画画出频谱出频谱图：图：v补充补充3 3.：已知f(t)=g2(t)cos(500t)，求其频谱函数cos(100t)cos(1000t)v 解：v频谱图频谱图v补充例子补充例子3 3.：v频谱图：频谱图：v补充例补充例.：v补充例补充例3.3.：v频谱图：频谱图：作业P1693-31，3-32，3-33，3-34，第九节第九节周期信号的周期信号的傅

31、里叶变换傅里叶变换一、周期信号的傅里叶变换一、周期信号的傅里叶变换 周期信号周期信号-傅里叶级傅里叶级数数非周期信号非周期信号-傅里叶变换傅里叶变换周周期期无无穷穷大大求求和和变变求求积积分分 周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。目的：目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。使傅里叶变换得到广泛

32、应用。v1.正弦、余弦周期信号的傅里叶变换正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 v频谱频谱v例子例子其频谱图其频谱图为：为：有限长的余弦信号有限长的余弦信号 有限长余弦信号有限长余弦信号f0(t)的宽度的宽度 增大时，频谱增大时，频谱F0()越来越集越来越集中到中到1的附近，当的附近，当 ，有限长余弦信号就变成无穷长余弦，有限长余弦信号就变成无穷长余弦信号，此时频谱在信号，此时频谱在1处成为无穷大，而在其他频率处均为零。处成为无穷大，而在其他频率处均为零。即此时频谱变为位于即此时频谱变为位于1的两个冲激函数。的两个冲激函数。v2.一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 令周期信号f(t)的

33、周期为T1，角频率为1=2f1其中：其中：v2.单脉冲信号的傅里叶变换单脉冲信号的傅里叶变换 单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周期，得到单脉冲信号。单脉冲的傅里叶变换单脉冲的傅里叶变换F0():为非周期信号直接用傅里为非周期信号直接用傅里叶变换定义公式。叶变换定义公式。v3.利用单脉冲信号求周期信号的傅里叶变换利用单脉冲信号求周期信号的傅里叶变换 周期信号的傅里叶级数的系数Fn等于单脉冲信号的傅里叶变换F0()在在n1频率点的值乘以频率点的值乘以1/T1。或写成或写成周期信号与单脉冲信号的关系：可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信号的傅里可利用单脉冲的傅里叶变换方便求出周期性信

34、号的傅里叶级数的系数。叶级数的系数。v例例3-10求求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：画波形解：画波形单位冲激函数的间隔为T1，用符号T(t)表示周期单位冲激序列：FS 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于=0,1,2 1,n 1,的的频率分量频率分量，且分量大小相等，且分量大小相等，均等于均等于1/T1。FTT(t)是周期函数，求其傅里叶级数傅里叶级数：求T(t)的傅里叶变换傅里叶变换。可见，在周期单位冲激序列的可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换傅里叶变换中只包含位于中只包含

35、位于=0,1,2 1,n 1,频率频率处的处的冲激函数冲激函数，其强度大，其强度大小相等，均等于小相等，均等于 1。v例例3-113-11求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换。傅里叶变换。解：先求矩形单脉冲信号解：先求矩形单脉冲信号f0(t)的傅里叶的傅里叶变换变换F0(w)再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数Fn求得周期矩形脉冲信号的求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数傅里叶级数：最后求周期矩形脉冲信号的最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换傅里叶变换F(w)。看出：周期信号频谱是离散的；看出：周期信号频谱是离散的；非周期信号的频谱是

36、连续。非周期信号的频谱是连续。第十节第十节抽样信号的抽样信号的傅里叶变换傅里叶变换一、抽样、抽样信号的概念1.抽样抽样 抽样：利用抽样脉冲序列抽样：利用抽样脉冲序列p(t)从边续信号从边续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列的离散样值的过程，称之。一系列的离散样值的过程，称之。2.抽样信号抽样信号 抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。抽样信号：经抽取后的一系列的离散信号称之。请同学们注意区别：请同学们注意区别：抽样信号与抽样函数抽样信号与抽样函数Sa(t)=sint/t是完全不同的两个含义。是完全不同的两个含义。抽样也称为抽样也称为“采样采样”或或“取样取样”。二、实现抽样的原理及框图1.

37、原理原理 抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、抽样原理：连续信号经抽样成抽样信号，再经量化、编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行编码变成数字信号。将这种数字信号经传输，进行上述逆过程，就可恢复出原连续信号。上述逆过程，就可恢复出原连续信号。2.框图框图 抽样抽样量化编码量化编码抽样过程方框图抽样过程方框图连续信号连续信号f(t)抽样信号抽样信号数字信号数字信号fs(t)抽样脉冲抽样脉冲p(t)三、抽样后，提出的问题抽样后，有两个问题要解决：抽样后，有两个问题要解决：1.抽抽样样信信号号fs(t)的的傅傅里里叶叶变变换换？它它和和未未经经抽抽样样的的原原连连续续信信号号f(t)

38、的的傅傅里里叶叶变变换换有有什什么么联联系系？（本本节讨论的内容）节讨论的内容）.连连续续信信号号被被抽抽样样后后，它它是是否否保保留留了了原原信信号号f(t)的全部信息？的全部信息？即即在在什什么么条条件件下下，可可从从抽抽样样信信号号fs(t)中中无无失失真真地地恢恢复复出原连续信号出原连续信号f(t)？（下节讨论）下节讨论）四、抽样方式抽样有两种方式：抽样有两种方式：1.时域抽样时域抽样 .频域抽样频域抽样五、时域抽样五、时域抽样设连续信号设连续信号抽样脉冲信号抽样脉冲信号抽样后信号抽样后信号fs(t)若若采用均匀抽样，抽样周期为采用均匀抽样，抽样周期为Ts，抽样频率为抽样频率为抽样过程

39、抽样过程：通过抽样脉冲序列：通过抽样脉冲序列p(t)与连续信号与连续信号f(t)相相乘。即：乘。即：p(t)是周期信号，其傅里叶变换是周期信号，其傅里叶变换其中其中是是p(t)的傅里叶级数的系数的傅里叶级数的系数根据频域卷积定理：根据频域卷积定理：化简化简结论：结论：信号时域抽样：信号时域抽样：（1）其频谱）其频谱Fs(w)是连续信号频谱是连续信号频谱F(w)是原是原信号信号频谱的周期延拓；频谱的周期延拓；（2）其周期为抽样频率）其周期为抽样频率ws，（3）其幅度被其幅度被Pn加权。由于加权。由于Pn仅是仅是n的函数，所的函数，所以其形状不会发生变化。以其形状不会发生变化。六、抽样脉冲序列的形

40、状可采用不同的抽样脉冲进行抽样，讨论两种典型可采用不同的抽样脉冲进行抽样，讨论两种典型的抽样脉冲序列：的抽样脉冲序列：1.矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样(自然抽样）自然抽样）.冲激抽样（理想抽样）冲激抽样（理想抽样）1.矩形脉冲抽样(自然抽样）抽样脉冲抽样脉冲p(t)是矩形，它的脉冲幅度为是矩形，它的脉冲幅度为E，脉宽为脉宽为，抽样角频率为，抽样角频率为 s(抽样间隔为抽样间隔为Ts)，频谱频谱频谱频谱频谱频谱相相乘乘频谱频谱卷卷积积求得频谱包络幅度：求得频谱包络幅度：得到矩形抽样信号的频谱：得到矩形抽样信号的频谱：说明：矩形抽样在说明：矩形抽样在脉冲顶部脉冲顶部不是不是平平的，而是随的，而是随f(

41、t)变化的，故称之变化的，故称之“自然抽样自然抽样”。2.冲激抽样(理想抽样）若抽样脉冲若抽样脉冲p(t)是冲激序列是冲激序列频谱频谱频谱频谱得到冲激抽样信号的频谱：得到冲激抽样信号的频谱：频谱频谱相相乘乘频谱频谱卷卷积积求得频谱包络幅度：求得频谱包络幅度：不管矩形脉冲抽样或冲激抽样，其抽样后的信号不管矩形脉冲抽样或冲激抽样，其抽样后的信号其频谱是离散周期的信号，其频谱的周期为：其频谱是离散周期的信号，其频谱的周期为：结论结论：对于矩形脉冲抽样，其频谱的幅度随对于矩形脉冲抽样，其频谱的幅度随Sa函数变化。函数变化。对于冲激抽样，其频谱的幅度为常数。对于冲激抽样，其频谱的幅度为常数。冲激抽样是矩

42、形脉冲抽样的一种极限情况。实际冲激抽样是矩形脉冲抽样的一种极限情况。实际抽样为矩形脉冲抽样。抽样为矩形脉冲抽样。例子例子 钟形钟形连续信号：连续信号：用用间隔间隔矩形脉冲矩形脉冲p(t)进行抽样进行抽样则抽样信号则抽样信号其抽样信号的频谱为其抽样信号的频谱为其频谱为：其频谱为：抽样信号的傅里叶变换抽样信号的傅里叶变换 七、频率抽样七、频率抽样 设连续信号设连续信号若若已知连续信号频谱已知连续信号频谱则抽样后的频谱则抽样后的频谱:其中理想抽样信号为其中理想抽样信号为:即在频域上抽样即在频域上抽样:对对频域抽样，时域周期延拓。频域抽样，时域周期延拓。时域抽样，频域周期延拓。时域抽样，频域周期延拓。

43、根据时域卷积定理：根据时域卷积定理：八、抽样信号的傅里叶变换八、抽样信号的傅里叶变换 举例举例3.12：画出周期矩形信号经冲激抽样后的频谱。画出周期矩形信号经冲激抽样后的频谱。即：周期矩形信号其频谱为离散频谱。即：周期矩形信号其频谱为离散频谱。现现将将周期矩形信号周期矩形信号f(t)经间隔为经间隔为Ts的冲激的冲激序列抽样，即抽样信号：序列抽样，即抽样信号：频频谱谱时域抽样，信号的频谱则周期延拓时域抽样，信号的频谱则周期延拓第十一节第十一节抽样定理抽样定理Sampling Theorem一、提出问题一、提出问题 （1）如何从抽样信号中恢复原连续信号；）如何从抽样信号中恢复原连续信号；（2）在什

44、么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。）在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。“抽样定理抽样定理”作出明确面精辟的回作出明确面精辟的回答。答。应用：广泛地应用在通信系统、信息传输理论方面。应用：广泛地应用在通信系统、信息传输理论方面。特别是在数字通信系统中。（以此为理论基础）特别是在数字通信系统中。（以此为理论基础）“抽样定理抽样定理”分为：分为：时域抽样定理时域抽样定理频域抽样定理频域抽样定理二、时域抽样定理二、时域抽样定理 （1 1）时域抽样定理）时域抽样定理 即：f(t)一个频谱受限频谱受限的信号内容：由于这个定理是Nquist 1928年提出的，所以也称为奈奎斯特准则奈奎斯特准

45、则。这个定理形式的应用却是香农香农(Shannon)。（2 2）奈奎斯特间隔、奈奎斯特频率）奈奎斯特间隔、奈奎斯特频率（）时域抽样定理图解（）时域抽样定理图解 频谱频谱频谱频谱满足抽样定理，不产生混叠（高采样率）满足抽样定理，不产生混叠（高采样率）频谱频谱不满足抽样定理，产生混叠（低采样率）不满足抽样定理，产生混叠（低采样率）（3）时域抽样定理物理意义）时域抽样定理物理意义 为保留波形所有频率分量的全部信息，要为保留波形所有频率分量的全部信息，要求：求：一个周期的间隔内至少抽样两次一个周期的间隔内至少抽样两次。即满足：即满足：对于一个对于一个频率受限频率受限的信号波形决不可能在的信号波形决不可

46、能在很短的时间内产生独立的、实质的变化，它的很短的时间内产生独立的、实质的变化，它的最高变化速度最高变化速度受受最高频率分量最高频率分量wm的限制。的限制。(4)信号无失真恢复信号无失真恢复 矩形函数矩形函数H(w)与与Fs(w)相乘。相乘。举例：抽样定理与信号恢复举例：抽样定理与信号恢复 频谱频谱频谱频谱满足抽样定理，不产生混叠（高采样率）满足抽样定理，不产生混叠（高采样率）频率受限信号，还原出原信号频率受限信号，还原出原信号信号还原信号还原相相乘乘抽样定理与信号恢复原理框图抽样定理与信号恢复原理框图 模拟信号模拟信号 f(t)抽样信号抽样信号 fs(t)低通滤波器低通滤波器恢复原信号恢复原

47、信号 f(t)由上图可见，抽样信号通过一个低通滤波器，则可由上图可见，抽样信号通过一个低通滤波器，则可恢复出原信号。恢复出原信号。(5)信号时域内插公式信号时域内插公式 根据低通滤波器的频谱可以求出还原的时域波形。根据低通滤波器的频谱可以求出还原的时域波形。根据频域相乘，则时域卷积根据频域相乘，则时域卷积信号时域内插公式信号时域内插公式 抽样信号：抽样信号：还原信号：还原信号：此此公式称为公式称为时域内插公式时域内插公式。可以根据此公式计算出原信号在可以根据此公式计算出原信号在t等于任意值时等于任意值时的值，而不仅仅在的值，而不仅仅在t=nTs的抽样值。且有的抽样值。且有三、频域抽样定理三、频域抽样定理 即即f(t)时间受限信号时间受限信号抽样定理与信号恢复抽样定理与信号恢复 作业P1703-37,3-38,3-39,3-40,3-41,3-42