角平分线的性质与判定.pptx

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1、12.312.3角平分线角平分线的性质的性质福田河中学福田河中学 八年级数学组八年级数学组 夏夏玉焰玉焰 什么是角的平分线？怎样画一什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？个角的平分线？BOAC如图，如图，ABAD，BCDC，沿着，沿着AC画一条射线画一条射线AE，AE就是就是BAC的角平分线，你知道为什么吗的角平分线，你知道为什么吗？DCBAE分别以，为分别以，为圆心大于圆心大于 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在AOB的内部交于的内部交于如何用尺如何用尺如何用尺如何用尺规规作角的平分作角的平分作角的平分作角的平分线线？A A作法：作法：以为圆心，适当以为圆心，适当长为半径作弧，交于，

2、长为半径作弧，交于，交于交于作射线作射线OC则则射线即为所求射线即为所求 探索1将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OABAOBED角平分线上的点到角的两角平分线上的点到角的两边的距离相等。边的距离相等。在在AOB的平分线的平分线OC上上任取一点任取一点P，然后，作，然后，作点点P到到AOB两边的垂线两边的垂线段段PD、PE，画一画，量，画一画，量一量，从中你有什么新一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的发现？你能说明其中的道理吗？道理吗？BOACDPE命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等命题：在角平分线上

3、的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等结论：它到角的两边的距离相等已知：已知：OC是是AOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PD OA，PE OB，垂足分别是，垂足分别是D、E.求证：求证：PD=PE.AOBPED角平分线的性质角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED121=2 PD OA，PE OB PD=PE.随堂练习随堂练习BOACDPE1.如图，如图，OC是是 AOB的平分线，的平分线，PD=PEP

4、D OA，PE OB2.2.如如图所示，在图所示，在ABC中，中，C=90，AD是是BAC的平分线交的平分线交BC于于D，BC=15，且，且CD：DB=1：2，则点，则点D到到AB的距离为的距离为_。动脑筋动脑筋3.在在Rt ABC中，中，BD平分平分ABC，DE AB于于E，则则：图中相等的线段有哪些？相等的角呢图中相等的线段有哪些？相等的角呢？哪条线段与哪条线段与DE相等？为什么？相等？为什么？若若AB10，BC8，AC6，求求BE，AE的长和的长和AED的周长。的周长。EDCBA练一练3在在ABC中，中，AC BC，AD为为BAC的平分线，的平分线，DE AB，AB7，AC3，求，求BE

5、的长。的长。EDCBA 4.4.ABCABC中中,C=90,C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB,且且BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求点求点D D到到ABAB的距离是多少？的距离是多少？ABCDE（点（点D D到到ABAB的距离是的距离是3）如图，由如图，由 于点于点 D，于点于点 E，PD=PE，可以得到什么结论可以得到什么结论？OBPE PD OA 到一个角的两边的距离相等到一个角的两边的距离相等的点，的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。已知：如图，已知：如图，垂足分别是，垂足分别是 A、B，PD=PE，求证：点求证：点P在在 的角平分线上的角平分线上。B

6、ADOPE 到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点 在角在角的平分线上。的平分线上。已知：如图，已知：如图，垂足分别是垂足分别是 D、E，PD=PE，求证：点求证：点P在在 的角平分线上的角平分线上。证明：作射线OP 点点P在在 角的平分线上角的平分线上 在 RtPDO 和RtPEO 中，（HL）（全等三角形的对应角相等）OP =OP（公共边公共边）PD =PE （已已 知知 ）角平分线角平分线的判定的判定BADOPE角平分线的判定角平分线的判定的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线PD=PE （到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）DEOPAB角平

7、分线的性质：角平分线的性质：在角的平分线上的点到这在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。个角的两边的距离相等。角平分线的判定角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的到一个角的两边的距离相等的点，点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。BADOPECPD=PEOP 是是 的平分线的平分线OP 是是 的平分线的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线用途：判定一条射线是角平分线例例1.1.如图，在如图，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中点，的中点，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别是，垂足分别是E E、F F，且且BEBECFCF。求

8、证：。求证：ADAD是是ABCABC的角平分线的角平分线。A AB BC CE EF FD D4.已知：如图，已知：如图，C=C=90，AC=AC .求证求证（1）ABC=ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不用三角形全等的判定）用三角形全等的判定）BCAC5 5已知已知：如图，：如图，BEBEACAC于于E E，CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD，BD=CD BD=CD。求证：求证：ADAD平分平分BAC BAC。ABCFED课堂练习课堂练习例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线BM、CN相相 交于点交于点P.求证：点求证：点P到三边

9、到三边AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P作作PD、PE、PF分别分别垂直于垂直于AB、BC、CA，垂足为，垂足为D、E、FBM是是ABC的角平分线，点的角平分线，点P在在BM上（已知）上（已知）PD=PE（在角平分线上的点到角的两在角平分线上的点到角的两边的距离相等）边的距离相等）同理同理 PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P到边到边AB、BC、CA的距离相等的距离相等DEFABCPMN练习：练习：如如图，三条公路相交，现在要修建一加图，三条公路相交，现在要修建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等，油站，使加油站到三条公路的距离相等，问加油站该选在什么位置上？问

10、加油站该选在什么位置上？拓展与延伸1、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA2、已知已知PA=PB，1+2=1800，求证：求证：OP平分平分AOBAOBP12EF 3 已知：如图，已知：如图，ABC的的B的外角的平分的外角的平分线线BD和和C的外角平的外角平分线分线CE相交于点相交于点P。求证：点求证：点P在在BAC的的平分线上。平分线上。CA B P DE课堂小结课堂小结 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定角平分线的判定定理定理:到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。3.角平分线的性质定理和角平分线的判定角平分线的性质定理和角平分线的判定定定理是证明角相等、线段相等的新途径理是证明角相等、线段相等的新途径.