连续函数的运算与性质.ppt

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1、高等数学高等数学连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质一、连续函数的和、差、积、商的 连续性定理定理1 1例如例如,1/8/20232函数与极限二、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2例如例如,1/8/20233函数与极限定理定理3 3证证反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.1/8/20234函数与极限将上两步合起来将上两步合起来:1/8/20235函数与极限意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1解解1/8/20236函数与极限例例2 2解解同理可得同理可得1/8/20237函数与极限定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3

2、的特殊情况的特殊情况.例如例如,1/8/20238函数与极限三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.1/8/20239函数与极限定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.1/8/202310函数与极限 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一

3、定连续;例如例如,这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义.在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.注意注意1 注意注意2 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.1/8/202311函数与极限例例3 3例例4 4解解解解1/8/202312函数与极限四、最大值和最小值定理定义定义例如例如,函数在闭区间上连续的定义函数在闭区间上连续的定义.1/8/202313函数与极限定理定理7 7(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在在闭区间闭区间上连续的函数上连续的函数 在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最 小值小值.1/8/2

4、02314函数与极限注意注意:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.1/8/202315函数与极限五、介值定理定义定义1/8/202316函数与极限几何解释几何解释:1/8/202317函数与极限几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,1/8/202318函数与极限推论推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.例例5 5证证由零点定理由零点定理,1/8/202319函数与极限例例6 6证证由零点定理由零

5、点定理,1/8/202320函数与极限六、小结1.连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理;两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间；2连续函数连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立 2.四个定理四个定理1/8/202321函数与极限思考题思考题1/8/202322函数与极限思考题解答思考题解答是它的可去间断点是它的可去间断点 1.1/8/202323函数与极限不正确不正确.例函数例函数 2.1/8/202324函数与极限思考题思考题1/8/202325函数与极限作业作业 P70 3,4,6 P75 9，10 1/8/202326函数与极限