量子力学第七章.ppt

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1、 第七章 量子力学的矩阵形式与表象变换7.1 坐标表象与动量表象7.2 本征值为分立的力学量表象7.3 表象变换7.4 狄拉克符号 表象是什么？表象(Representation)就是态、力学量及QM公式的具体描述方式。7.1 坐标表象与动量表象一、x表象1.状态2.力学量3.QM公式i.运动方程ii.定态方程iii.正交归一条件iv.一般解v.平均值4.基函数x表象的基函数是坐标算符的本征函数二、p表象1.状态 ：几率密度2.力学量),(ppixF=hi.ii.同理3.QM公式i.运动方程 ii.定态方程若 ,可分离变量若 ，则iii.正交归一iv.一般解4.基函数p表象的基函数是动量算符的

2、本征函数v.平均值例1：在p表象计算一维谐振子的定态能量和波函数。解：求解过程略例2：在p表象中求解势阱的束缚定态能量和波函数，计算和 ，验证测不准关系。解：定态方程代入原积分方程得1.波函数2.力学量3.基函数三、表象和 表象 四、态矢及其表象1.状态可看成Hilbert空间中的矢量；2.选定一组基，就是选定一个表象；3.波函数是态矢在基上的投影或分量。五、力学量完全集1.力学量变量力学量的测值可作为波函数的变量2.力学量变量的个数等于自由度数3.作为波函数变量的力学量必须相互对易4.力学量完全集 一组线性无关相互对易的力学量如5.守恒量完全集与好量子数包含哈密顿的完全集，称为守恒量完全集对

3、应的量子数都是好量子数7.2 本征值分立的力学量表象 除了坐标和动量表象，还有别的表象吗？有！有一个完全集，就可确定一个表象。力学量本征值取分立值的也行吗？可以，下面就讨论一、一维运动的Q表象1.力学量完全集 任一力学量，其中 且2.基函数设为Q3.代表力学量Q的测值为 的几率4.Q表象中态矢用列矩阵表示 i.归一化条件ii.态矢的内积iii.本征态的正交归一比如：坐标算符本征值连续，基函数是函数，态矢也可写成列矩阵 为方便，直接以“矩阵元”描述状态。iv.的本征值连续，态矢形式上仍可写为列矩阵 5.Q表象中力学量的表示方法 i.力学量算符 在Q表象中用方阵F表示令则即ii.Q表象中表示力学量

4、的矩阵是厄密矩阵 b.证明a.厄密矩阵 满足即iii.自身表象中力学量为对角矩阵对角元是本征值6.运动方程在Q表象中的形式i.薛定谔方程若H不显含t，ii.定态方程iii.一般解若 ，则7.力学量的平均值 二、三维运动的(ABC)表象完全集基函数重排态矢、力学量、公式等与Q表象中完全相同三、量子力学的两种数学形式 波动力学矩阵力学状态力学量波函数列矩阵方阵算符运动方程平均值例1.在一维谐振子能量表象中写出坐标x与动量p的矩阵表示。解：重新标记基函数可见可见直接验证可得例2.测值 的所有态，采用 表象，与 的矩阵=?，求其本征问题。解:对角元素为零的本征问题令归一化即 时即 时即 时同理讨论：1

5、.验证可知：2.的本征值均是 ，但这并不意味着它们可同时取确定值。例3.Q表象，基求定态解。解：解久期方程得分析：其中讨论：但却有一个共同的本征函数 。i.若 ，则 和 有共同本征矢系。ii.若 ，则 和 没有共同本征矢系。Q表象中 7.3 表象变换 由于状态可看成Hilbert空间的矢量，因此选定一套基矢，就相当于确定了表示态矢量的“坐标系”表象。不同“坐标系”间的变换就是表象变换。一、平面直角坐标系的变换将新基在老基下的列矩阵排列起来就是S矩阵 可证 ，二、表象变换1.态矢量列矩阵的变换A表象(老表象)B表象(新表象)其中2.变换矩阵是幺正矩阵，即证明：同理可证即或新基于是3.S 矩阵的计

6、算ii.在老表象中写出所有新基的列矩阵，并按列排列 i.老基证明：证明：4.力学量方矩阵的变换5.表象变换不改变 的本征值 设在老表象中 ，新表象中例：求l=1的 表象到 表象变换的S矩阵，并将 表象中的 的本征态矢及矩阵变换到 表象。解：在 表象中的本征矢 表象表象 的本征值和本征矢 表象表象 的本征值和本征矢 表象表象 的本征值和本征矢 表象表象 的矩阵 的矩阵 的矩阵自身表象对角矩阵例：若粒子处于 具有确定值 ，取 ，0和 几率均为 的态，求 的可能取值及其几率。解：在 表象中态矢列矩阵 在 表象中态矢列矩阵：解法二：的可能取值是：对应的几率：直接在 表象内按 的本征矢 展开练习：试由上

7、题的条件，求解：在 表象中态矢 7.4 狄克拉符号 状态是Hilbert空间的矢量，因此处理与状态有关的问题就必须在一定的表象里进行。不是。可以根据方便选择一定的表象，也可以不采用任何表象进行抽象的分析。不使用任何表象就好像不选取任何坐标系？这怎么可能？这怎么不可能？狄拉克符号就是不需表象的量子力学理论表述方法。量子力学：也有不依赖于表象的描述方法，这就是狄拉克符号。利用狄拉克符号可使理论表述和计算大为简化。一、右矢(ket)和左矢(bra)经典力学：牛顿第二定律在不同坐标系中有不同的形式，但也有不依赖坐标的形式矢量分析中：等是不依赖于坐标系的1.右矢表示Hilbert空间的一个矢量，即表示量

8、子态，记为 。相当于2.若标志某指定的态，则在括号 内标上某种记号。如：i.表示用波函数 描述的状态；ii.表示x坐标的本征态(本征值 )；iii.表示动量的本征态(本征值 )；iv.或 表示能量的本征态(本征值 )；v.表示 的共同本征态(本征值分别为 和 )；4.力学量算符作用在右矢 得到另一个右矢 3.7.用右矢或左矢标记的只是一个抽象的态矢量，不涉及具体的表象。5.左矢 表示共轭空间的一个抽象矢量，如 是 的共轭矢量，是 的共轭矢量6.须注意，左矢只能和左矢相加，右矢只能和右矢相加，或 没有意义。如只有在具体的表象中，算符才有具体的运算形式这里共轭是说左矢与右矢互为相伴，在不同具体表象

9、中表现出不同的数学上的关系。二、内积3.正交归一性1.定义2.，与 正交；，归一化；三、态在具体表象中的表示1.Q表象中右矢用列矩阵表示以 为基矢Q 表象 3.基矢完备性公式2.x表象中右矢用波函数表示以 为基矢x表象 i.投影算符ii.基矢完备性公式的完备性投影算符的完备性同理的完备性4.Q表象中左矢用行矩阵表示对任意的右矢和5.x表象中左矢对应波函数的复数共轭对任意的右矢和四、算符在具体表象中的表示Q表象的基矢 。设 ，记 ，则1.算符在Q表象中用方阵表示2.算符在x表象中的表示x表象的基矢 。设 ，i.坐标算符在x表象中的表示x表象中或写成设 ，ii.动量算符 在x表象中的表示点击见详细

10、过程点击见详细过程p表象的基矢 。设 ，i.动量算符在p表象中的表示3.算符在p表象中的表示p表象中或写成p表象的基矢 。设 ，ii.坐标算符 在p表象中的表示点击见详细过程点击见详细过程 的计算。点击可跳过此页。的计算。点击可跳过此页。的计算。点击可跳过此页。的计算。点击可跳过此页。例1：给出x表象中基矢的完备性公式。解：本征函数的封闭性例2：将定态方程 过渡到Q表象、x表象与p表象 解:(1)Q表象基矢 ，(2)x表象基矢 ，点击见过程(3)p表象基矢 ，点击见过程 的计算，点击可跳过此页 的计算，点击可跳过此页设则 的计算，点击可跳过此页例3：若 ，证明在Q表象中 。证法一：证法2：例4.试证 。其中 是哈密顿算符，是定态。证明：证毕例5：证明求和规则 ，其中 和 是定态能量。证明：请计算对易关系 狄拉克（Paul Adrie Maurice Dirac，19021984）英国理论物理学家，量子力学的创始人之一。英国皇家学会会员，苏联科学院通讯院士，中国物理学会名誉会员。对量子力学的建立和发展做出了重要贡献。量子力学的变换理论 费米-狄拉克统计 二次量子化方法 狄拉克方程预言正电子和磁单极存在33年与薛定谔共享诺奖