量子力学3-1.ppt

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1、第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量 经典力学中物质运动的状态总是用坐标、速度、动量、经典力学中物质运动的状态总是用坐标、速度、动量、角动量、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描角动量、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数 这样一这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但态。但 并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念一个重要的基本概念算符，用

2、它表示量子力学中的力学算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。始终。本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容：习的重点。重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用线性厄密算符表示，状态用线性厄米两个假设：力学量用线性厄密算符表示，状态用线性厄米 算符的本征态表示；算符的本征态表示；三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；三个力学量计

3、算值：确定值、可能值、平均值；四个本征态及本征值：坐标四个本征态及本征值：坐标 或或 、动量、动量 或或 、角动量、角动量 及及 、能量（哈密顿量、能量（哈密顿量 ）。）。本部分的难点是任意态本部分的难点是任意态 与力学量算符本征态与力学量算符本征态 及力及力 学量概率态学量概率态 的区别。的区别。3.1 3.1 表示力学量的算符表示力学量的算符一、一、力学量用算符表达力学量用算符表达算符是作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号，如算符是作用在一个函数上得到另一个函数的运算符号，如3.1-1就称为就称为算符。算符。3.1-33.1-4动量的直角坐标分量式为动量的直角坐标分量式为 根据上一章的

4、学习，如根据上一章的学习，如 我们可看我们可看出，出，量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式现为一种运算形式,与经典力学量对应的量子力学中的算与经典力学量对应的量子力学中的算符形式：符形式：另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对另一类经典力学量是与动量有关，其量子力学所对应的算符可用动量的对应关系得出，例如动能算符应的算符可用动量的对应关系得出，例如动能算符的表达式：的表达式：除了位置和动量以外，其中一类以坐标为函数的力除了位置和动量以外，其中一类以坐标为函数的力学量学量,其量子力学所对应的算符形式不变。如势能其量子力学所

5、对应的算符形式不变。如势能 和作用力和作用力 。体系的能量跟体系的能量跟哈密顿算符哈密顿算符对应对应3.1-5二、二、本征值和本征函数本征值和本征函数当力学量算符当力学量算符 作用在波函数作用在波函数 上，其结果是上，其结果是同一个函数乘以一个常量时：同一个函数乘以一个常量时：是力学量是力学量A 取确定值取确定值 时的时的本征态本征态称上式为算符称上式为算符 的本征值方程的本征值方程。是力学量是力学量A的一个的一个本征值本征值。由本征值方程解出的全部本征值就是相由本征值方程解出的全部本征值就是相应力学量的应力学量的可能取值可能取值。3.1-2三、三、力学量算符表达的规则力学量算符表达的规则 如

6、果量子力学中的力学量如果量子力学中的力学量F在经典力学中有相应的力学在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符量，则表示这个力学量的算符 由经典表达式由经典表达式F(r,p)中将中将p换为算符换为算符 而得出，即而得出，即3.1-6例如，粒子相对于某点的角动量例如，粒子相对于某点的角动量其角动量算符为其角动量算符为3.1-7四、四、基本假定基本假定（根据上章中哈密顿算符本征态、本征值）（根据上章中哈密顿算符本征态、本征值）如果算符如果算符 表示力学量表示力学量F，则体系处于则体系处于 的本征态的本征态时，时，力学量力学量F有确定值，它就是有确定值，它就是 在在态中的本征值。态中的本征值

7、。五、五、厄厄密密算符算符 力学量算符必须是力学量算符必须是 线性厄密算符。线性厄密算符。*厄密算符的本征值必为实数。厄密算符的本征值必为实数。*厄密算符的平均值必为实数。厄密算符的平均值必为实数。*当出现简并时，可以证明：总可以适当地线性组当出现简并时，可以证明：总可以适当地线性组合简并态，使之彼此正交。合简并态，使之彼此正交。线性厄线性厄密密算符的性质算符的性质：*厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。若算符满足下列等式若算符满足下列等式称称 为为厄厄密密算符算符。3.1-8证明厄密算符的本征值是实数证明厄密算符的本征值是实数设设厄密算符满

8、足厄密算符满足即即可见可见 是实数是实数验证验证3.1-8式，例如：对于动量算符有式，例如：对于动量算符有 由由3.1-8式式 可得可得 请自己验证坐标算符、能量算符请自己验证坐标算符、能量算符 3.2 3.2 3.2 3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符1.动量算符动量算符本征方程本征方程3.2-1分量方程分量方程动量本征值方程的解：动量本征值方程的解：C为归一化常数为归一化常数可以看出，取可以看出，取 ，归一化为归一化为 函数，即函数，即它乘上它乘上 就是就是 的单色平面波，在量子力的单色平面波，在量子力学中，平面波代表粒子有确定的动量、

9、在空间各处出学中，平面波代表粒子有确定的动量、在空间各处出现的几率相同的状态。现的几率相同的状态。不能归一化为不能归一化为1，是因为其本征值可以取，是因为其本征值可以取任意值，组成连续谱的缘故。任意值，组成连续谱的缘故。实际问题中，需要求动量本征值时，常需要把连续实际问题中，需要求动量本征值时，常需要把连续本征值变为分立本征值来计算，最后再变为连续本征值。本征值变为分立本征值来计算，最后再变为连续本征值。例如，设想粒子被限制在长例如，设想粒子被限制在长L为的正方形箱中，如图：为的正方形箱中，如图：xyzOA 要求波函数在相对的箱壁上对应要求波函数在相对的箱壁上对应点具有相同的值，称为点具有相同

10、的值，称为周期性边界周期性边界条件条件。这样，动量的本征值就有连。这样，动量的本征值就有连续谱变为分立的。续谱变为分立的。在点在点 和点和点 值应相同，即值应相同，即 方程的解为方程的解为同理可得同理可得3.2-63.2-73.2-8式中，式中，n可取零或正负整数。可取零或正负整数。时，本征谱由分立变时，本征谱由分立变为连续。为连续。加进周期性边界条件后，动量本征函数可归一化，加进周期性边界条件后，动量本征函数可归一化，其常数为其常数为容易证明容易证明箱归一化箱归一化。角动量算符的表达式角动量算符的表达式：2.角动量算符角动量算符3.2-10角动量算符的模方定义为角动量算符的模方定义为：3.2

11、-113.2-12利用求导可分别求出利用求导可分别求出即可得出即可得出3.2-13代入代入3.2-10可得可得3.2-14代入代入3.2-11可得可得3.2-15的本征方程可写成的本征方程可写成3.2-16或或3.2-17是是 的的本征函数本征函数，本征值本征值为为为使为使 在在 变化的整个区域变化的整个区域 内有限，须有内有限，须有3.2-18是球函数，即是球函数，即3.2-19为为缔合勒让德缔合勒让德(Legendre)多项式，多项式，为归一化常数为归一化常数由归一化条件由归一化条件3.2-20可得可得3.2-21的本征方程可写成的本征方程可写成3.2-22的本征值是量子化的的本征值是量子

12、化的,l 表征轨道角动量大小称为表征轨道角动量大小称为角量子角量子数数,m表征轨道角动量的空间取向称为表征轨道角动量的空间取向称为磁量子数磁量子数由由3.2-19可知，对于一个可知，对于一个l值，值，m可取可取(2l+1)个值，故对于个值，故对于的一个本征值，有的一个本征值，有(2l+1)个个不同的本征函数不同的本征函数Ylm简并：对应于一个本征值有多个本征函数的情况简并：对应于一个本征值有多个本征函数的情况简并度：对应于一个本征值的本征函数的数目简并度：对应于一个本征值的本征函数的数目的本征值是的本征值是(2l+1)度简并的度简并的根据根据3.2-14，有，有3.2-23角动量分量的本征值角动量分量的本征值 常称常称l=0的态为的态为s态，态，l=1,2,3的态的态分别为分别为p,d,f,态。态。处于对应态的粒子分别称为处于对应态的粒子分别称为s,p,d,f,粒子。粒子。几组球函数几组球函数作业：作业：3.5,验证能量算符为厄密算符验证能量算符为厄密算符 复习所学内容，重点：力学量算符的表示，厄密算符复习所学内容，重点：力学量算符的表示，厄密算符的性质，求解算符本征函数、本征值的方法。的性质，求解算符本征函数、本征值的方法。