高等数学课件微分方程D12_11微分方程的幂级数解法.ppt

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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法:积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容:第十二章 1/8/2023高等数学课件一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 幂级数解法:将其代入原方程,比较同次幂系数可定常数 由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解.设所求解为本质上是待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件例例1.解解:根据初始条件,设所求特解为代入原方程,得比较同次

2、幂系数,得故所求解的幂级数前几项为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件二、二阶齐次线性微分方程二、二阶齐次线性微分方程 定理定理.则在R x 4 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件因此注意到:此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解解:求解勒让德(Legendre)方程 展成幂级数,满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为代入:1/8/2023高等数学课件整理后得:比较系数,得例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件于是得勒让德方程的通解:上式中两个级数都在(1,1)内收敛,可以任意取,它们是方程的两个线性无关特解.作业作业 P323 1(1),(4);2(2)第12节 目录 上页 下页 返回 结束 1/8/2023高等数学课件